bài toán về cực và đối cực

Cực và ñối cực 1 CỰC VÀ ðỐI CỰC Dương Bửu Lộc-Trường THPT chuyên Trần ðại Nghĩa A. ðường ñối cực của một ñiểm ñối với 2 ñường thẳng 1. ðịnh nghĩa: Hai ñiểm A, B gọi là liên hợp ñối với 2 ñường thẳng a, b khi chúng liên hợp với 2 ñiểm C, D là giao ñiểm của AB với a, b. Ở ñây khái niệm A, B liên hợp với C, D có nghĩa là A, B, C, D là hàng ñiểm ñiều hòa hay (ABCD) = -1 2. Bài toán: Cho 2 ñường thẳng c, d và ñiểm A ở ngoài. Tìm quỹ tích những ñiểm B liên hợp của A ñối với c, d. Kẻ một cát tuyến AC’D’. Lấy một ñiểm B’ liên hợp của A ñối với C’D’. Kẻ cát tuyến di ñộng ACD. Nối OB’ cắt ACD tại B. Ta có (O,AB’C’D’) là một chùm ñiều hòa nên (O,ABCD) cũng là một chùm ñiều hòa. Do ñó A, B liên hợp với ñối với c, d. Vậy quỹ tích những ñiểm liên hợp của A ñối với c, d là ñường thẳng liên hợp của OA ñối với c, d. ðường thẳng này gọi là ñường ñối cực của A ñối với c, d. ðiểm A gọi là cực. Chú ý - khi c // d thì ñường ñối cực cũng song song với c,d. - Trong mt hình 4 cnh ñ mi ñng chéo ñc 2 ñng chéo kia chia ñiu hòa ñi vi 2 ñnh. B. ðường ñối cực của ñiểm ñối với một ñường tròn 1. ðịnh nghĩa: Hai ñiểm A, B gọi là liên hợp ñối với ñường tròn (O) khi ñường tròn ñường kính AB trực giao với (O). ðường tròn (O;R) gọi là trực giao với ñường tròn (O’;R’) khi và chỉ khi phương tích của O ñối với (O’) bằng R 2 . Khi ñó ñường tròn (O’) cũng trực giao với (O). Cực và ñối cực 2 2. Bài toán: Tìm quỹ tích những ñiểm liên hợp của ñiểm A ñối với ñường tròn (O). Lấy một ñiểm B bất kỳ liên hợp của A ñối với ñường tròn (O). Theo ñịnh nghĩa ta có ñường tròn (O) trực giao với ñường tròn ñường kính AB. AO cắt ñường tròn (O) tại C, D và ñường tròn (O’) tại H. Ta có OC 2 = OD 2 = OH.OA ⇒ (AHCD) = - 1 hay H là liên hợp của A ñối với C,D. Vì A, C, D cố ñịnh nên H cố ñịnh. Vậy quỹ tích những ñiểm liên hợp của A ñối với ñường tròn (O) là một ñường thẳng a vuông góc với OA tại H với 2 OH.OA R = . ðường thẳng a gọi là ñường ñối cực của A ñối với ñường tròn (O) và A gọi là cực của a ñối với (O). Chú ý: Trong mt t giác ni tip, giao ñim ca 2 ñng chéo s liên hp vi 2 giao ñim ca 2 cp cnh ñi. Giả sử IJ cắt CD, AB lần lượt tại M, N ta có M,K liên hợp với C,D và N, K liên hợp với B, A ⇒ IJ là ñường ñối cực của K ñối với ñường tròn. Tương tự IK là ñường ñối cực của J và KJ là ñường ñối cực của I. Cực và ñối cực 3 3. Tính chất của ñường ñối cực. a) ðường ñối cực của một ñiểm A (khác O) ñối với ñường tròn (O) là một ñường thẳng hoàn toàn xác ñịnh vì 2 OH.OA R = b) Hai ñiểm A, B có 2 ñường ñối cực khác nhau ñối với một ñường tròn. c) Nếu ñường ñối cực của A ñi qua B thì ñường ñối cực của B sẽ ñi qua A. Thật vậy nếu ñường ñối cực của A ñi qua B thì B là ñiểm liên hợp của A ñối với (O) cho nên A cũng là ñiểm liên hợp của B ñối với (O) ,vậy A nằm trên ñường ñối cực của B. d) Nếu một ñiểm A chạy trên ñường thẳng (d) thì ñường ñối cực của A luôn ñi qua cực B của (d). e) Nếu 4 ñiểm ABCD lập thành một hàng ñiểm ñiều hòa thì 4 ñường ñối cực của chúng lập thành một chùm ñiều hòa. Giả sử A,B,C,D nằm trên ∆. Gọi I là cực của ∆ ñối với (O). Gọi d 1 , d 2 , d 3 , d 4 lần lượt là các ñường ñối cực của A, B, C, D , chúng ñồng qui tại I và lần lượt vuông góc với OA, OB, OC, OD. Vì chùm (O,ABCD) ñiều hòa nên chùm I(d 1 d 2 d 3 d 4 ) cũng là chùm ñiều hòa. 4. ðịnh lý Brianchon. Một hình lục giác ngoại tiếp có 3 ñường chéo ñồng qui. Các ñiểm A,B,C,D,E,F có các ñường ñối cực là SM,MN,NP,PQ,QR,RS. Gọi , , α β γ là giao ñ i ể m c ủ a các ñườ ng th ẳ ng (MN,QR), (NP,RS), (PQ,SM). G ọ i a, b, c là các ñườ ng ñố i c ự c c ủ a , , α β γ . Vì MN qua α nên a qua B Vì QR qua α nên a qua E V ậ y BE là ñườ ng ñố i c ự c c ủ a α. T ươ ng t ự CF là ñườ ng ñố i c ự c c ủ a β , DA là ñườ ng ñố i c ự c c ủ a γ . Theo ñị nh lý Pascal , , α β γ th ẳ ng hàng nên BE, CF, DA ñồ ng qui. Cực và ñối cực 4 ðối với ngũ giác ngoại tiếp : AD, BE, CM ñồng qui. ðối với tứ giác ABCD ngoại tiếp: hai ñường chéo AC, BD và hai ñường thẳng nối các tiếp ñiểm các cạnh ñối thì ñồng qui. Cực và ñối cực 5 C. Một số bài toán áp dụng: Bài 1 . (Trung Qu ố c 97) Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p ñườ ng tròn(O) . G ọ i P là giao ñ i ể m c ủ a AD và BC, Q là giao ñ i ể m c ủ a AD và BC. T ừ Q v ẽ các ti ế p tuy ế n QE, QF v ớ i (O). Ch ứ ng minh: P, E, F th ẳ ng hàng Giải T ứ giác ñầ y ñủ ABCDPQ cho ta P n ằ m trên ñườ ng ñố i c ự c c ủ a P mà EF là ñườ ng ñố i c ự c c ủ a P do ñ ó P,E,F th ẳ ng hàng. Bài 2 . (Úc-Balan 98) Cho các ñ i ể m phân bi ệ t A, B, C, D, E, F n ằ m trên cùng m ộ t ñườ ng tròn theo th ứ t ự ñ ó. Các ti ế p tuy ế n t ạ i A, D và các ñườ ng th ẳ ng BF, CE ñồ ng qui. Ch ứ ng minh r ằ ng các ñườ ng th ẳ ng AD, BC, EF ho ặ c cùng song song ho ặ c ñồ ng qui. Giải N ế u BC//EF thì do tính ñố i x ứ ng ta có BC ⊥ IO mà AD ⊥ IO nên AD//BC. N ế u BC c ắ t EF t ạ i K thì K n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a I mà AD là ñố i c ự c c ủ a I nên K thu ộ c AD. V ậ y AD,BC,EF ñồ ng qui t ạ i K Bài 3 . Cho ∆ABC n ộ i ti ế p ñườ ng tròn (O). Ba ñườ ng phân giác c ủ a ∆ABC c ắ t (O) l ầ n l ượ t t ạ i A’, B’, C’. Ba c ặ p ti ế p tuy ế n v ớ i (O) t ạ i A,A’, B,B’ và CC’ c ắ t nhau t ạ i A 1 , B 1 , C 1 . Ch ứ ng minh A 1 , B 1 , C 1 th ẳ ng hàng. Giải A 1 , B 1 , C 1 có các ñườ ng ñố i c ự c là AA’, BB’, CC’ mà 3 ñườ ng này ñồ ng qui t ạ i tâm ñườ ng tròn n ộ i ti ế p ∆ABC nên A 1 , B 1 , C 1 n ằ m trên ñườ ng ñố i c ự c c ủ a tâm ñườ ng tròn n ộ i ti ế p ñố i v ớ i (O). Cực và ñối cực 6 Bài 4 . Cho t ứ giác ABCD ngo ạ i ti ế p ñườ ng tròn (O) có các c ạ nh AB, BC, CD, DA ti ế p xúcv ớ i (O) l ầ n l ượ t t ạ i G, H, K, L. G ọ i E là giao ñ i ể m c ủ a AB và CD, F là giao ñ i ể m c ủ a AD và BC và P là giao ñ i ể m c ủ a GK và HL. Ch ứ ng minh: OP ⊥ EF Giải P ∈ HL là ñố i c ự c c ủ a F nên F n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a P T ươ ng t ự E c ũ ng n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a P ⇒ EF là ñố i c ự c c ủ a P ⇒ EF ⊥ OP Bài 5 . Cho ∆ABC n ộ i ti ế p ñườ ng tròn (O). Ti ế p tuy ế n t ạ i A c ủ a (O) c ắ t BC t ạ i D. DO c ắ t AB, AC l ầ n l ượ t t ạ i E và F. G ọ i M, N là trung ñ i ể m c ủ a AB và AC. Ch ứ ng minh: EN, FM và AO ñồ ng qui. Giải T ừ A k ẻ ñườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i OD c ắ t BC t ạ i H. Chùm (A, BCHD) là chùm ñ i ề u hòa. M ặ t khác ta có OM ⊥ AB, ON ⊥ AC, OD ⊥ AH, OA ⊥ AD ⇒ (O, MNDA) là chùm ñ i ề u hòa ⇒ cát tuy ế n MN c ủ a chùm ấ y cho ta QPMN là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa ⇒ APO là ñườ ng ñố i c ự c c ủ a Q ñố i v ớ i AB,AC ⇒ APO ph ả i ñ i qua giao ñ i ể m c ủ a EN và MF. Bài 6 . Cho ∆ABC và m ộ t ñ i ể m D trên AC, m ộ t ñ i ể m E trên AB. BD và CE c ắ t nhau t ạ i O. Trên AO l ấ y m ộ t ñ i ể m L b ấ t k ỳ . LD c ắ t CE t ạ i H, LE c ắ t BD t ạ i I. Ch ứ ng minh DE, HI và BC ñồ ng qui. Cực và ñối cực 7 Giải G ọ i P là giao ñ i ể m c ủ a ED và BC; P’ là giao ñ i ể m c ủ a ED và IH. T ứ giác hoàn toàn AEBOCD cho ta EDMP là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa. T ứ giác hoàn toàn LIEODH cho ta EDMP’ là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa. V ậ y P trùng P’. Bài 7 . Cho góc xOy và m ộ t ñ i ể m P c ố ñị nh trên Ox. ðườ ng tròn (C) di ñộ ng luôn ti ế p xúc v ớ i Ox, Oy t ạ i A, B. T ừ P v ẽ ti ế p tuy ế n PM v ớ i (C). Ch ứ ng minh BM qua m ộ t ñ i ể m c ố ñị nh. Giải G ọ i H, D, E l ầ n l ượ t là giao ñ i ể m c ủ a BM v ớ i OC,NA và OA. E n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a N nên N n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a E E n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a A nên A n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a E v ậ y AN là ñố i c ự c c ủ a E ñố i v ớ i ñườ ng tròn (C) ⇒ AN là ñố i c ự c c ủ a E ñố i v ớ i NO, NP ⇒ EAOP là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa ⇒ (H, EAOP) là chùm ñ i ề u hòa mà HO là phân giác c ủ a góc EHA nên HP ⊥ HO hay H là hình chi ế u c ủ a P lên phân giác c ủ a góc xOy. V ậ y H c ố ñị nh. Cực và ñối cực 8 Bài 8 . Cho ñườ ng tròn tâm I n ộ i ti ế p ∆ABC ti ế p xúc v ớ i các c ạ nh t ạ i A’, B’, C’. Hai ñườ ng phân giác c ủ a góc B và C l ầ n l ượ t c ắ t B’C’ t ạ i D và E. BE và CD c ắ t nhau t ạ i M. Ch ứ ng minh IM ⊥ BC. Giải G ọ i F là giao ñ i ể mc ủ a B’C’ v ớ i BC, ta có AA’ là ñố i c ự c c ủ a F ñố i v ớ i ñườ ng tròn (I) ⇒ AA’ c ũ ng là ñố i c ự c c ủ a F ñố i v ớ i AB, AC ⇒ BCA’F là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa ⇒ A’ liên h ợ p v ớ i F ñố i v ớ i MB, MC Mà IM là ñườ ng ñố i c ự c c ủ a F ñố i v ớ i MB, MC nên A’ thu ộ c IM Hay IM ⊥ BC Bài 9 . (T7/317 t ạ p chí THTT) Cho t ứ giác ABCD ngo ạ i ti ế p (O). G ọ i E, F là giao ñ i ể m c ủ a BD v ớ i (O). H là hình chi ế u c ủ a O lên AC. Ch ứ ng minh:   BHE DHF = Giải G ọ i K = MN ∩ PQ, L = NP ∩ MQ, I = MP ∩ NQ ⇒ KI là ñố i c ự c c ủ a L, LI là ñố i c ự c c ủ a K L∈ NP ⇒ C ∈ KI L∈ MQ ⇒ A ∈ KI v ậ y A,C,K,I,H th ẳ ng hàng K ∈ MN ⇒ B ∈ LI K ∈ PQ ⇒ D ∈ LI v ậ y L,B,E,I,F, D th ẳ ng hàng AC là ñố i c ự c c ủ a L ⇒ AC ⊥ OL ⇒ O,H,L th ẳ ng hàng AC là ñố i c ự c c ủ a L ñố i v ớ i (O) ⇒ LIEF là h ññ h ⇒ (H,LIEF) là chùm ñ i ề u hòa ,l ạ i có HL ⊥ HI ⇒ HI là phân giác góc EHF (1) AC là ñố i c ự c c ủ a L ñố i v ớ i (O) ⇒ AC là ñố i c ự c c ủ a L ñố i v ớ i CB, CD ⇒ LIBD là h ññ h ⇒ (H, LIBD) là chùm ñ i ề u hòa , l ạ i có HL ⊥ HI ⇒ HI là phân giác c ủ a góc BHD (2) T ừ (1) và (2) suy ra   BHE DHF = Cực và ñối cực 9 Bài 10. (Trung Qu ố c 2006) Cho ñườ ng tròn (O) ñườ ng kính AB. T ừ ñ i ể m C trên AB n ằ m bên ngoài (O) k ẻ cát tuy ế n CDE. G ọ i OF là ñườ ng kính c ủ a ñườ ng tròn ngo ạ i ti ế p ∆BOD có tâm là O 1 . ðườ ng th ẳ ng CF c ắ t l ạ i (O 1 ) t ạ i G. Ch ứ ng minh O, A, E, G cùng n ằ m trên ñườ ng tròn. Giải C n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a P FD,FB là các ti ế p tuy ế n c ủ a (O) ⇒ BD là ñố i c ự c c ủ a F P thu ộ c BD ⇒ F n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a P ⇒ CF là ñố i c ự c c ủ a P ⇒ CF ⊥ OP m ặ t khác CF ⊥ OG ⇒ O,G, P th ẳ ng hàng Ta có PE.PA PD.PB PG.PO = = ⇒ AEGO n ộ i ti ế p. Bài 11 . (IMO 98) Cho ∆ABC. ðườ ng tròn (I) n ộ i ti ế p tam giác ti ế p xúcv ớ i các c ạ nh BC, CA, AB l ầ n l ượ t t ạ i K, L, M. ðườ ng th ẳ ng qua B và song song v ớ i MK c ắ t LM, LK l ầ n l ượ t t ạ i R, S. Ch ứ ng minh r ằ ng góc RIS nh ọ n. Giải D ễ th ấ y MK là ñố i c ự c c ủ a B và RS là ñố i c ự c c ủ a H S n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a H ⇒ H n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a S S n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a C ⇒ C n ằ m trên ñố i c ự c c ủ a S v ậ y CH là ñố i c ự c c ủ a S t ươ ng t ự AH là ñố i c ự c c ủ a R ⇒ CH ⊥ IS và AH ⊥ IR ⇒ góc RIS bù v ớ i góc AHC G ọ i N là trung ñ i ể m c ủ a AC. Ta có 2HN HA HC HM MA HK KC MA KC = + = + + + = +          Do AM, KC không song song v ớ i nhau nên 2HN < MA + KC = AC ⇒ góc AHC tù ⇒ góc RIS nh ọ n Bài 12 . Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p ñườ ng tròn(O). AC c ắ t BD t ạ i I. Các ñườ ng tròn ngo ạ i ti ế p các tam giác AOD và COD c ắ t nhau t ạ i J khác O. Ch ứ ng minh IJ ⊥ OJ Giải G ọ i K là giao ñ i ể m c ủ a AB và CD. KO c ắ t ñườ ng tròn t ạ i M,N. Ta có KA.KB = KC.KD ⇒ K thu ộ c OJ là truc ñẳ ng ph ươ ng c ủ a 2 ñườ ng tròn (AOB),(COD) ⇒ KJ.KO KM.KN (KO OJ).KO (KO OM)(KO ON) = ⇒ + = + + ⇒ 2 2 2 KO OJ.KO KO KO.ON KO.OM OM.ON OJ.OK R + = + + + ⇒ = ⇒ K,J,M,N là hàng ñ i ể m ñ i ề u hòa hay J thu ộ c ñố i c ự c c ủ a K ⇒ IJ là ñố i c ự c c ủ a K ⇒ IJ ⊥OK V ậ y IJ ⊥ OJ Cực và ñối cực 10 Bài 13 . Cho ∆ABC có các ñườ ng cao BE, CF c ắ t nhau t ạ i H. G ọ i N, P l ầ n l ượ t là trung ñ i ể m c ủ a AC và AB. EF c ắ t PN t ạ i K. Ch ứ ng minh r ằ ng AK vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng Euler c ủ a ∆ABC. Giải G ọ i L là tâm ñườ ng tròn Euler c ủ a ∆ABC ⇒ HL là ñườ ng th ẳ ng Euler c ủ a ∆ABC. G ọ i I là giao ñ i ể mc ủ a PE và NF, ta có PENF n ộ i ti ế p ⇒ AK là ñố i c ự c c ủ a I ⇒ AK ⊥ LI. Ta c ấ n ch ứ ng minh L, I, H th ẳ ng hàng. Xét 2 ñườ ng tròn (BPE), (FNC) có tâm l ầ n l ượ t là O 1 , O 2 . P I/(O1) = IP.IE=IF.IN = P I/(O2) P H/(O1) = HB.HE = HF.HC = P H/O2) O 1 P là trung tr ự c c ủ a BE O 1 L là trung tr ự c c ủ a PE ⇒   0 0 1 1 PO L 90 A, PLO 180 C = − = − ⇒  0 1 O PL 90 B = − ⇒ 1 1 0 0 O L PL PLcosB RcosB O L sin(90 B) sin(90 A) cos A 2cosA = ⇒ = = − − ⇒ 1 RsinC O P 2cos A = ⇒ 1 2 2 2 2 2 L/(O ) 1 1 2 R P O L O P (cos B sin C) 4cos A = − = − Ch ứ ng minh t ươ ng t ự ta có 2 2 2 2 L/(O ) 2 R P (cos C sin B) 4cos A = − ⇒ 1 2 L/(O ) L/(O ) P P= Ba ñ i ể m I, H, L có cùng ph ươ ng tích ñố i v ớ i 2 ñườ ng tròn (O 1 ), (O 2 ) nên chúng th ẳ ng hàng. V ậ y AK vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng Euler cùa tam giác ABC. Bài 14 . Cho ∆ABC, ñườ ng tròn n ộ i ti ế p ti ế p xúc v ớ i BC, CA, AB l ầ n l ượ t t ạ i D, E, F. ðườ ng tròn n ộ i ti ế p ∆DEF ti ế p xúc v ớ i EF, ED, DF l ầ n l ượ t t ạ i M, N, P. Ch ứ ng minh: AM, BP, CN ñồ ng qui. Giải [...]... t t i D, E và c t (O) t i P, Q BD, CE c t (O) l n lư t t i M,N G i I là giao ñi m c a MP,NQ và K là giao ñi m c a MN,PQ Ch ng minh AI ⊥ OK Bài 17 Cho ∆ABC n i ti p ñư ng tròn (O) ðư ng tròn (I) n i ti p tam giác ti p xúc v i 3 c nh t i D, E, F a) Ch ng minh OI là ñư ng th ng Euler c a ∆DEF b) Các phân giác ngoài các góc A, B, C c t các c nh l n lư t t i M,N,P Ch ng minh M, N, P th ng hàng và ñư ng th... BP, CN ñ ng qui D Bài t p t luy n Bài 15 Cho ∆ABC có 3 ñư ng cao AA’, BB’, CC’ ðư ng tròn (I) n i ti p tam giác ti p xúc v i 3 c nh BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F G i A1, B1, C1 l n lư t là trung ñi m c a AA’, BB’, CC’ a) Ch ng minh DA1, EB1, FC1 ñ ng qui b) G i A2, B2, C2 l n lư t là giao ñi m c a các ñư ng th ng DA1, EB1, FC1 v i ñư ng tròn (I) Ch ng minh AA2, BB2, CC2 ñ ng qui Bài 16 Cho ∆ABC n...C c và ñ i c c G i O, I l n lư t là tâm các ñư ng tròn n i ti p các tam giác ABC và DEF G i H, K, L l n lư t là giao ñi m c a các c p ñư ng th ng (EF,PN), (DF,MN), (DE,MP) ME NF PD ⋅ ⋅ = 1 nên theo ñ nh lý Ceva thì DM,FN,EP ñ ng qui Ta có MF ND PE Các ñư ng th ng này có các c c l n lư t là H,L,K ñ i v i ñư ng tròn (I) ⇒ H,L,K th ng hàng G i A’ là giao ñi m c a DM và PN ta có (HA’PN)... c nh t i D, E, F a) Ch ng minh OI là ñư ng th ng Euler c a ∆DEF b) Các phân giác ngoài các góc A, B, C c t các c nh l n lư t t i M,N,P Ch ng minh M, N, P th ng hàng và ñư ng th ng MNP vuông góc v i OI Bài 18 Cho ∆ABC ðư ng tròn (I) n i ti p ti p xúc v i BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F P là m t ñi m b t kỳ sao cho PA, PB, PC c t (I) l n lư t t i X, Y, Z Ch ng minh DX, EY, FZ ñ ng qui 11 . liên hợp với C,D và N, K liên hợp với B, A ⇒ IJ là ñường ñối cực của K ñối với ñường tròn. Tương tự IK là ñường ñối cực của J và KJ là ñường ñối cực của I. Cực và ñối cực 3 3. Tính. Cực và ñối cực 1 CỰC VÀ ðỐI CỰC Dương Bửu Lộc-Trường THPT chuyên Trần ðại Nghĩa A. ðường ñối cực của một ñiểm ñối với 2 ñường thẳng 1. ðịnh. qui. Cực và ñối cực 5 C. Một số bài toán áp dụng: Bài 1 . (Trung Qu ố c 97) Cho t ứ giác ABCD n ộ i ti ế p ñườ ng tròn(O) . G ọ i P là giao ñ i ể m c ủ a AD và BC, Q là giao