Cuc va doi cuc

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Thái Vấn – Trường THPT Chuyên Lương văn Chánh Trong chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi, Cực đối cực chuyên đề thú vị, dùng để chứng minh số tốn hình học phẳng như: tốn quan hệ vng góc quan hệ song song hai đường thẳng; chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng; Các toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định, điểm nằm đường thẳng cố định… Việc dùng cực đối cực giúp tìm lời giải nhanh phức tạp Trong khn khổ viết đề cập đến cực đối cực đường tròn ứng dụng I Đặt vấn đề Định lý Pascal : Cho điểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn Khi giao điểm cặp cạnh AB DE, BC EF, CD FA thẳng hàng + Xét trường hợp đặc biệt AD, BE, CF đồng qui I P J B C A I D L O E F ( Hình ) L P M N J Q H B C A I D O F G E ( Hình ) Bây lấy G (O), gọi giao điểm của tia GI vòng tròn (O) H Gọi AB  ED  J , BC  EF  L, CD  AF  P, AC  FD  Q, FH  CG  M , HA  DG  N , + Theo định lý Pascal điểm A, B, C, D, E, F định lý Desargues cho hai tam giác ABC DEF, ta suy J, L, P, Q thẳng hàng + Tương tự với điểm A, H, F, D, G, C hai tam giác AHF DGC, ta suy M, N, P, Q thẳng hàng + Từ , ta mở rộng thêm rằng, giao điểm cặp đường thẳng tạo điểm thuộc đường tròn cho tồn đường thẳng qua điểm qua I đường thẳng qua hai điểm lại qua I nằm đường thẳng tạo điểm thẳng hàng Như đồng qui đường thẳng I với thẳng hàng giao điểm có mối quan hệ khơng ? Ta có kết sau: Định lí : Cho 2n điểm thứ tự nằm vòng tròn (O) A1, A2, … , A2n, cho đường thẳng qua Ai Ai+ n đồng qui điểm I Khi đó, giao điểm cặp đường thẳng  Ai Ai 1 ; Ai  n Ai  n 1  thẳng hàng Chứng minh: + Định lí với n=2 + Định lý với n= Do định lý Pascan trường hợp đặc biệt Từ n  , lần tăng n lên đơn vị, tức thêm điểm nữa, ta coi thêm hai điểm có sẵn điểm, tức chứng minh cho trường hợp n = 4, trường hợp khác hiển nhiên + n = Ta có định lí cho điểm A, B, C, D, E, F đường tròn, lấy điểm G (O), gọi giao điểm tia GI đường tròn (O) H Gọi AB  ED  J , BC  EF  L, CD  AF  P, AC  FD  Q, FH  CG  M , HA  DG  N , + Theo định lý Pascal điểm định lý Desargues cho hai tam giác ABC DEF, ta suy J, L, P,Q thẳng hàng + Tương tự với điểm A, H, F, D, G, C hai tam giác AHF DGC, ta suy M, N, P, Q thẳng hàng Suy J, L, M, N thẳng hàng Vậy định lí với n = 4, hay định lý với n  Nhận xét: Từ kết ta thấy mối quan hệ giao điểm I đường thẳng chứa điểm thẳng hàng liên quan đến khái niệm trình bày sau cực đối cực II Khái niệm cực, đối cực Định nghĩa 1: Ta nói hai đường tròn (O,R) (O’, R’) hai đường tròn trực giao nếu: OO '  R  R ' O' O ( Hình ) Định nghĩa 2: Ta nói hai điểm M, N liên hiệp với qua đường tròn(O, R) đường tròn (O, R) đường tròn đường kính MN hai đường tròn trực giao N O' O B M A ( Hình ) Mệnh đề 1: Cho đường tròn (O;R) Giả sử M, N hai điểm không nằm đường tròn (O; R) khác O Đường thẳng MN cắt đường tròn (O; R) điểm A, B Khi đó, hai điểm M, N liên hợp với đường tròn (O; R) (ABMN) = -1 N M A H B O ( Hình ) Chứng minh : Gọi O’ trung điểm MN R’ bán kính đường tròn đường kính MN Khi hai điểm M, N liên hợp với đường (O) OO’2 = R2 + R’2  OO '  R  R '  PO ' /(O )  R '  O ' A O ' B  O' M  O ' N   ABMN   1 Mệnh đề 2: Cho đường tròn (O; R) điểm M khác O Tập hợp điểm N cho M N liên hợp với đường tròn (O; R) đường thẳng vng góc với OM Chứng minh: + Nếu N điểm liên hợp M đường tròn (O) đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) Khi đường kính AB qua M đường tròn (O) bị đường tròn đường kính MN chia điều hòa với đường thẳng AB Ta có (ABMH) = -1 + Nếu N điểm liên hợp M đường tròn (O) đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) Khi đường kính AB qua M đường tròn (O) bị đường tròn đường kính MN chia điều hòa với đường thẳng AB Ta có (ABMH) = -1 + Trong hàng điểm điều hòa A, B, M, H H xác định MH  NH hay N nằm đường thẳng d vng góc với OM H Ngược lại N’ d đường tròn đường đường kính MN’ qua H (ABMH) = -1 nên đường tròn đường kính MN’ trực giao với đường tròn (O) Vậy N’ liên hợp với M (O) Định nghĩa Cho đường tròn (O; R) điểm M khác O Tập hợp điểm N cho M N liên hợp với đường tròn (O; R) đường thẳng dM Ta gọi dM đường đối cực điểm M đường tròn (O, R) điểm M cực đường thẳng dM đường tròn (O; R) Từ ta thu kết : 1) Với hai điểm S, P mặt phẳng mà P nằm đường đối cực S (O) SP cắt (O) M, N bốn điểm S, P, M, N lập thành hàng điểm điều hòa 2) Với hai điểm S, P mặt phẳng mà SP cắt (O) M, N thỏa mãn bốn điểm S, P, M, N lập thành hàng điểm điều hòa P nằm đường đối cực S S nằm đường đối cực P Mệnh đề 3: OS vng góc với đường đối cực S Mệnh đề 4: Đối với đường tròn cho trước, đường đối cực điểm A qua điểm B đường đối cực điểm B qua điểm A Chứng minh: Nếu điểm B nằm đường a điểm A A B hai điểm liên hợp đường tròn cho trước Mặt khác ta biết tập hợp điểm liên hiệp điểm B đường đối cực b điểm B qua điểm A Mệnh đề 5: Đối với đường tròn cho trước, đường đối cực điểm thẳng hàng đồng quy cực đường thẳng đồng quy thẳng hàng Chứng minh: Theo định lí 3, giả sử điểm A1, A2, …, An nằm đường thẳng b nghĩa điểm Ai thuộc b với i=1, 2,… n điểm B thuộc đường thẳng (i=1, 2,…n) điểm B cực đường thẳng b đường đối cực điểm Ai Vậy đường đối cực điểm Ai đồng qui điểm B Ý sau chứng minh tương tự Mệnh đề 6: (Một số cách xác định đường đối cực thông dụng) Trường hợp 1: Khi cực S ngồi đường tròn (O) A F S S' O B A E (Hình 6) S B M O N (Hình 7) Trường hợp : Khi cực S nằm đường tròn (O) E A P S C O A S F B O D ( Hình ) B ( Hình ) Trường hợp : S nằm (O) S O ( Hình 10 ) III Ứng dụng cực, đối cực Bài toán 1: ( HSG quốc gia Việt Nam năm 2012) Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có cặp cạnh đối không song song Gọi M,N tương ứng giao điểm đường thẳng AB CD, AD BC Gọi P,Q,S,T tương ứng giao điểm đường phân giác cặp ∠MAN ∠MBN,∠MBN ∠MCN,∠MCN ∠MDN,∠MDN ∠MAN Giả sử bốn điểm P,Q,S,T đôi phân biệt 1) Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp Gọi I tâm đường tròn 2) Gọi E giao điểm đường chéo AC BD Chứng minh ba điểm E, O, I thẳng hàng P S N T I Q A B O E M C D ( Hình 11 ) Bình luận lời giải: + Ý1 : Ta chứng minh TPQ  QST  90  C  D  nên tứ giác PQTS nội tiếp + Ý 2: Ta cần chứng minh OE OI vng góc với MN - Ta chứng minh MN trục đẳng phương hai đường tròn (I) (O) - Còn OE chứng minh E trực tâm tam giác OMN hay dùng định lý Brocard Tuy nhiên dùng định lý Brocard ta cần phải chứng minh lại đầy đủ Điều làm cho việc chứng minh tốn phức tạp Còn ta dùng cực, đối cực việc chứng minh OE vng góc với MN đơn giản định hướng ta cần chứng minh thêm OI  MN tốn hồn tất Mặt khác việc chứng minh định lý Brocard, dùng cực đối cực đơn giản so với dùng trục đẳng phương Sau lời giải chi tiết cho câu 2) Chứng minh ba điểm E, O, I thẳng hàng Ta có Q, T tâm đường tròn bàng tiếp tam giác BCM ADM nên chúng phải nằm phân giác ngồi góc AMC hay M,Q,T thẳng hàng Hơn tâm đường tròn bàng tiếp nên MQB  90  BCM BAD  90   BAT 2 Hay tứ giác ABQT nội tiếp Suy MA.MB  MQ.MT hay M có phương tích đến hai đường tròn (O), (I) Hoàn toàn tương tự điểm N, từ suy MN trục đẳng phương hai đường tròn (O), (I) nên OI  MN (1) Mặt khác MN đường đối cực E đường tròn (O) Nên OE  MN (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, O, I thẳng hàng Bài toán phụ: ( Định lý Brokard ) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, AD giao BC M, AB giao CD N, AC giao BD I Chứng minh O trực tâm tam giác MIN ( Hình 12 ) Chứng minh: Cách 1: Gọi H giao thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AID,BIC Xét tứ giác DOHC,ta có: Từ suy tứ giác DOHC nội tiếp.Tương tự ta suy tứ giác AOHB nội tiếp Dễ thấy suy N nằm trục đẳng phương hai đường tròn > thẳng hàng Ta có: Từ suy , Tương tự ta có: Suy O trực tâm tam giác MIN (đpcm) Cách 2: + Xét cực đối cực đường tròn (O) + MI đường đối cực N, suy ON  MI + NI đường đối cực M, suy OM  NI Vậy I trực tâm tam giác IMN Bài toán 2: (HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2004-2005) Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) cố định bán kính R Cho A, B hai điểm cố định nằm (O) cho ba điểm A, B, O không thẳng hàng Xét điểm C nằm đường tròn (O), C khơng trùng với A B Dựng đường tròn (O1) qua A tiếp xúc với đường thẳng BC C; dựng đường tròn (O2) qua B tiếp xúc với đường thẳng AC C.Hai đường tròn cắt điểm thứ hai D khác C Chứng minh rằng: 1) CD  R 2) Đường thẳng CD qua điểm cố định , điểm C di động đường tròn (O) cho C khơng trùng với A B.((O) kí hiệu đường tròn tâm O) 10 C O2 O1 O D B S A ( Hình 13 ) Ta thấy O1C  CB, OO2  CB  O1C // OO2 Tương tự O2 C // OO1 Suy OO1CO2 hình bình hành Nên O1O2 qua trung điểm OC Mà O1O2 qua trung điểm CD nên O1O2 // OD Lại O1O2  CD nên Từ có CD  OC  R 2) Chú ý DA, DB   DA, DA  DC , DB   O1 A, O1C   O2C , O2 B   2CA, CB   OA, OB  mod   + Suy A, D, O, B đồng viên Ta thấy OD, AB, tiếp tuyến C (O) trục đẳng phương cặp đường tròn (ADOB) (COD), (O) (ADOB) , (O) (COD) + Do đường nói đồng quy điểm S Xét cực đối cực (O) + Chú ý đường đối cực S phải qua C vuông góc với OS nên CD đường đối cực S Vì S thuộc AB cố định nên CD qua cực AB điểm cố định Bài toán 3: (HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2002-2003) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định O1  , O2  tiếp xúc điểm M bán kính đường tròn O2  lớn bán kính đường tròn O1  Xét điểm A nằm đường tròn O2  cho ba điểm O1 , O2 , A không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB AC đến đường tròn O1  (B,C tiếp điểm ) Các đường thẳng MB MC cắt lại đường tròn O2  tương ứng 11 E F Gọi D giao điểm đường thẳng EF tiếp tuyến A đường tròn O2  Chứng minh điểm D di động đường thẳng cố định A di động đường tròn O2  cho ba điểm O1 , O2 , A không thẳng hàng D A B F M O1 O2 C G E H (Hình 14 ) + Có hai trường hợp tiếp xúc với Ở giải chúng tiếp xúc ngoài, tiếp xúc hồn tồn tương tự AM cắt lại O1  G.Tiếp tuyến O1  G, M cắt H + Xét cực đối cực O1  Ta thấy đường đối cực H MG qua A nên đường đối cực A qua H, nói cách khác B, C, H thẳng hàng Trong phép vị tự tâm M biến O1  O2 thì: Suy ra: qua phép vị tự Do : D, M, H thẳng hàng + Lại ý HM tiếp tuyến chung nên D thuộc đường cố định tiếp tuyến chung O1  , O2  Bài toán 4: ( Chuyển thể từ MEMO - 2010) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F AD cắt lại (I) M Đường thẳng qua M vng góc với AD cắt EF N Chứng minh AN//BC Giải 12 A N P E M J G F B I D C ( Hình 15 ) Xét cực đối cực (I) Gọi P giao điểm thứ hai MN với (I), dễ thấy D, P, I thẳng hàng EF cắt IP, IA J, G Ta thấy suy M, G, I, D đồng viên Do Suy MGJP nội tiếp Từ có : Chú ý G trung điểm FE nên suy (NJEF)= -1 (Theo Maclaurine) Hay N thuộc đường đối cực J (theo hệ 2) (1) + Mặt khác đường đối cực A EF qua J nên đường đối cực J qua A Từ (1) (2) suy đường đối cực J AN , Nên IJ vng góc với AN Mà IJ vng góc với BC nên suy điều phải chứng minh Bài toán ( MOP- 1995) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA M, N, P, Q AN, AP cắt (O) E, F Chứng minh ME, QF, AC đồng qui 13 K B N M C P E J O F A Q D ( Hình 16 ) Giải : Gọi K cực AC Xét tứ giác nội tiếp MNPQ theo tính chất cực đối cực tứ giác nội tiếp ta có MQ NP cắt K Lại xét đến tứ giác nội tiếp EFPN có EF NP cắt K, suy MQ EF cắt K Ta thấy ME QF cắt điểm thuộc đường đối cực K tức thuộc AC hay ME, QF, AC đồng qui Bài toán (MOP- 1997) Cho ABC tam giác O tâm đường tròn ngoại tiếp Các đường thẳng AB AC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC B1 ,C1 tương ứng Gọi D giao điểm BC B1C1 Chứng minh đường tròn tiếp xúc với AD A có tâm nằm B1C1 trực giao với đường tròn đường kính OD Giải : 14 A O C1 I B1 D B C ( Hình 17 ) Gọi ( I ) đường tròn tiếp xúc với AD A có tâm nằm B1C1 Xét cực đối cực ( I ) Ta thấy:  AB1 , AC1   OB, OC   C1 B, C1C  mod   2 (1) Mà OA= OB (2) Từ (1) (2) suy : C1O  AB (3) Tương tự : B1O  AC (4) Từ (3) (4) suy AO  B1C1 Từ dễ có O thuộc đường đối cực D suy điều phải chứng minh Bài toán 7: Cho tam giác ABC với đường cao BB', CC' Gọi E, F trung điểm AC AB EF cắt B'C' K Chứng minh AK vng góc với đường thẳng Euler tam giác ABC 15 A E F I C' K B' G H B C ( Hình 18 ) Ta xét cực đối cực đường tròn Euler tam giác ABC ( kí hiệu (S) với S tâm ) + Gọi I giao điểm FB' EC', G giao điểm CF BE, H giao điểm BB' CC' + Sử dụng định lí Pappus cho hai điểm (F,C',B) (E,B',C) ta suy H, G, I thẳng hàng, SI đường thằng Euler tam giác ABC (1) + Mặt khác, ý E, F, B', C' nằm (S) suy AK đường đối cực I, suy SI vng góc với AK (2) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh Bài tốn 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Các phân giác BE, CF cắt lại (O) M, N Đường thẳng qua M vng góc với BM cắt đường thẳng qua N vng góc với CN S Chứng minh SO vng góc với EF 16 S A L G P Q H K M N O E F V D I C B ( Hình 19 ) Nhận xét: Xét cực đối cực với (O), ta xác định đường đối cực S , chứng minh song song với EF + SN, SM cắt lại (O) L, G, ta có C, O, G thẳng hàng; B, O, L thẳng hàng + Tiếp tuyến (O) G, N cắt Q, Tiếp tuyến (O) L, M cắt P OP cắt LM H , OQ cắt NG K + Ta thấy đường đối cực Q GN qua S nên đường đối cực S qua Q + Tương tự có đường đối cực S qua P, Do đường đối cực S PQ Bây ta cần chứng minh PQ // EF Chú ý IE // OP, IF // OQ nên để có PQ // EF ta cần chứng minh : FI , FE   QO, QP  mod 2  Mặt khác nhận thấy : OK OQ  OG  OL2  OH OP    Từ suy Q, K, H, P đồng viên nên QO, QP  HK , HO     Suy ta cần có (*) FI , FE  HK , HO mod 2  Kẻ ID, IV vng góc với AC, AB ý : 17  mod 2  C  ID sin  A   IE sin IED sin IFV  sin NAC CM OK        IV B  sin MAB BM OH IF sin IED  sin  A   sin IFV 2  (Vì OK đường trung bình tam giác GNC, OH đường trung bình tam giác LBM)     Lại có IE // OH, IF // OK nên IE , IF  OH , OK mod 2  Từ (1) (2) suy tam giác IEF đồng dạng với tam giác OKH , Do (*) Bài toán 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Đường tròn (I) nội tiếp tam giác Gọi M tiếp điểm BC (I), D giao điểm thứ hai AM (O) Chứng minh OI  AM tứ giác ABCD điều hòa Giải: A N P I O F B M C D ( Hình 20 ) Ta cần xét với tam giác ABC không cân A Khi OI cắt BC F Gọi N, P tiếp điểm (I) với AC, AB Ta có FM tiếp tuyến (I), Suy đường đối cực F qua M Mà OI  AM nên AM đường đối cực F (I) suy đường đối cực A (I) qua F, hay F, N, P thẳng hàng Lại có AM, BN, CP đồng qui điểm Gergonne tam giác ABC nên (FMBC) = -1 Do AM đường đối cực F (O) 18 Suy FA tiếp tuyến (O) Vì A đối xứng với D qua FO nên FD tiếp tuyến (O) Vậy ABCD tứ giác điều hòa  Với kiến thức cực đối cực trình bày định lý ban đầu đặt vấn đề chứng minh dễ dàng điểm I cực giao điểm P, Q, M, N, L, J , … nằm đường đối cực I nên chúng thẳng hàng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hai điểm A,B cố định (O;R) thay đổi cho d ( A, b)  , a, b theo thứ d ( B, a ) tự đường đối cực A, B (O) Xác định vị trí O để SOAB lớn Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Hai đường thẳng d1,d2 qua A Các đường thẳng qua B,C tương ứng vng góc với d1,d2 cắt D Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt d1 E.Đường thẳng qua C vng góc với AC cắt d2 F Chứng minh AD vng góc với EF Bài 3: Cho tam giác ABC với (I) đường tròn nội tiếp Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F.Gọi M, N, P điểm chung cặp đường thẳng (EF,BC) ,(DF,CA) ,(DE,AB) Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE M, P , N Chứng minh AM, BP, CN đồng quy Bài 5: Gọi M,N,P giao điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh AB,BC,CA tương ứng Chứng minh trực tâm tam giác MNP,tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thẳng hàng Bài 6: Cho tam giác ABC nhận (I) tâm đường tròn nội tiếp Tiếp điểm (I) BC,CA,AB D,E,F.Phân giác I tam giác BIC cắt BC M AM cắt FE N Chứng minh DN phân giác góc EDF Bài 7: Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm (O) AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Một điểm S nằm cung nhỏ PN (O) Tiếp tuyến (O) S cắt BC, CD H, K Chứng minh MH//AK 19 Bài 8: ( Liên Xơ - 1985) Một đường tròn tâm O qua đỉnh A C tam giác ABC cắt lại đoạn AB, BC K N Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC KBN cắt hai điểm phân biệt B M Chứng minh góc OMB vuông Bài 9: ( Ukraina-1998) Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB K, L, M Đường thẳng qua B song song với MK cắt LM, LK R, S Chứng minh góc RIS nhọn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Quốc Khánh – Khám phá ứng dụng cực đối cực [2] O Bottema Topics in Elementary Geometry, Second edition 2008 [3] Nguyễn Mộng Huy- Các phép biến hình mặt phẳng [4] Đào Huy Cường- Hàng điểm điều hòa, cực đối cực [5] Toán học tuổi trẻ [6] Lê Hải Châu , Vơ địch tốn quốc tế IMO, 2007 20