Skkn ứng dụng của cực và đối cực trong bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA Người thực : Nguyễn Viết Sơn Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Chuyên Lam Sơn SKKN thuộc lĩnh vực: Chuyên môn THANH HÓA NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khái niệm 2.1.1.1 Đường tròn trực giao 2.1.1.2 Cực đối cực 2.1.2 Một số tính chất cực đối cực Định lý (LaHire) Định lý (Một số cách xác định đường đối cực bản) Định lý Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực đối cực) thẳng hàng ba đường đối cực chúng đồng quy đôi song song Định lý Phép đối cực bảo toàn tỉ số kép 2.1.3 Ứng dụng cực đối cực 2.1.3.1 Áp dụng vào chứng minh vng góc, song song 2.1.3.2 Chứng minh thẳng hàng, đồng quy 2.1.3.3 Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định 12 2.1.3.4 Các toán khác 13 Bài tập tự luyện 16 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 17 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường .17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong mơn Tốn trường THPT, tốn hình học chiếm vị trí quan trọng Hình học ngày quan tâm mức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp, tính độc đáo phương pháp kỹ thuật giải chúng yêu cầu cao tư cho người giải Trong kỳ thi tuyển chọn Học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế, tốn hình học ln xuất Có nhiều cách, nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh tìm hướng giải cho tốn như: Phép biến hình; Hàng điểm điều hịa; Định lý Ceva, Menelauyt; tính chất đường thẳng Simson, Steiner Khái niện cực đối cực có quan hệ mật thiết với hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, tứ giác điều hịa Lý thuyết, tính chất cực đối cực tương đối đơn giản, dễ hiểu lại có nhiều ứng dụng tốn: Chứng minh quan hệ song song, vng góc; Chứng minh đồng quy; Ba điểm thẳng hàng; Điểm cố định tốn tập hợp điểm Sử dụng cơng cụ cực đối cực thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu, tránh số bước vẽ hình lập luận phức tạp 1.2 Mục đích nghiên cứu Việc sử dụng kiến thức cực đối cực hình học phẳng khai thác nhiều khía cạnh khác nhau, tùy theo yêu cầu toán Tuy nhiên, nhằm khai thác mạnh kiến thức này, đề tài “ Ứng dụng cực đối cực bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia” tập trung vào vài ứng dụng chính, là: Chứng minh quan hệ song song, vng góc; Chứng minh đồng quy; Ba điểm thẳng hàng; Điểm cố định toán tập hợp điểm 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm học sinh chuyên, trang bị kiến thức sâu sách hình học 10 dành cho chuyên toán, đội tuyển HSG Quốc gia trường THPT Chuyên Lam Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu có liên quan khái niệm, định lí cực đối cực, tốn áp dụng định lí cực đối cực Quan sát, đánh giá: Thông qua thực trạng Dạy-Học đội dự tuyển lớp chuyên Toán đội tuyển HSG Quốc gia mơn Tốn trường THPT Chun Lam Sơn năm học 2019-2020 năm học 2020-2021 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu xem xét tính khả thi việc vận dụng cực đối cực để dạy mơn hình học cho đối tượng đội dự tuyển lớp đội tuyển HSG Quốc gia mơn Tốn trường THPT Chuyên Lam Sơn năm học 2019-2020 năm học 2020-2021 1.5 Những điểm SKKN Thông qua khái niệm, tính chất cực đối cực để xây dựng hệ thống tốn hình học theo dạng tư rõ ràng skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khái niệm 2.1.1.1 Đường trịn trực giao + Hai đường trịn có điểm chung Khi góc hai đường trịn góc hai tiếp tuyến chúng + Hai đường trịn gọi trực giao chúng có điểm chung góc hai tiếp tuyến chúng P N Nhận xét: + Q A O2 O1 M Kí hiệu + + + ( đường kính ) hay nói cách khác đường kính đường trịn bị đường tròn chia điều hòa 2.1.1.2 Cực đối cực Nếu đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt điều kiện cần đủ để trước liên hợp với đường trịn Hai điểm liên hợp với đường trịn mà đường thẳng khơng cắt đường trịn Ta xét tốn sau: Cho đường trịn điểm Tìm tập hợp điểm cho đường trịn đường kính Hướng dẫn cho trực giao với N O I H M skkn Gọi chân đường vng góc Khi cố định Vậy thuộc đường thẳng qua vng góc với Từ tốn ta có định nghĩa đường đối cực sau: Định nghĩa Cho đường tròn điểm Tập hợp tất điểm cho đường trịn đường kính trực giao với đường thẳng Đường thẳng gọi đường đối cực Trong tài liệu này, ta kí hiệu đường đối cực điểm đường thẳng Từ định nghĩa ta có 2.1.2 Một số tính chất cực đối cực Định lý (LaHire) Điểm thuộc đường đối cực điểm thuộc đường đối cực Tức là, Nhận xét: Hai đường thẳng gọi liên hợp với đường tròn cho trước đường qua cực đường Định lý (Một số cách xác định đường đối cực bản) a) Nếu nằm , kẻ tiếp tuyến , đến ( tiếp điểm) đường đối cực P O M Q b) Nếu nằm , từ kẻ hai cát tuyến Giả sử cắt , cắt Khi đường thẳng đường đối cực điểm đường tròn m E B A P F M O C Q D skkn c) Nếu điểm góc với nằm cắt đường trịn , từ cắt Đường đối cực vng góc với ta kẻ đường thẳng vuông Hai tiếp tuyến đường thẳng qua M' P O M H Q d) Nếu điểm nằm , vẽ hai dây sử cắt , cắt đường đối cực điểm đường tròn qua Giả Khi đường thẳng m F D A M O E e) Nếu C nằm đường trịn B đường đối cực tiếp tuyến M O skkn Định lý Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực đối cực) thẳng hàng ba đường đối cực chúng đồng quy đôi song song c b d a A c a B b d O O A B C C Định lý Phép đối cực bảo toàn tỉ số kép Hệ Phép đối cực biến chùm đường thẳng điều hòa thành hàng điểm điều hòa ngược lại Như vậy, phép đối cực công cụ tương đối hiệu việc chuyển đổi hai toán chứng minh đồng quy chứng minh thẳng hàng 2.1.3 Ứng dụng cực đối cực 2.1.3.1 Áp dụng vào chứng minh vng góc, song song Ý tưởng: Cho đường tròn điểm khác Đường đối cực đường trịn vng góc với đường tròn ta sử dụng Định lý Bài Cho đường trịn tuyến và điểm khơng qua , hai tiếp tuyến vng góc Để xác định đường đối cực khác Hai tiếp tuyến Qua cắt kẻ hai cát cắt Chứng minh Lời giải A D C M O E F B Đường đối cực đường thẳng đường đối cực Đường đối cực qua , suy thuộc đường thẳng qua , skkn suy thẳng thuộc đường đối cực Khi đường đối cực , tức vng góc Bài Cho tam giác khơng cân với đường cao trung điểm Gọi giao điểm Chứng minh vuông góc với đường thẳng Euler tam giác Lời giải đường Gọi A I B' E C' K H F G B C Xét cực đối cực với đường tròn Euler tam giác , kí hiệu Gọi giao điểm , giao điểm , giao điểm Sử dụng định lí Pappus cho hai hàng điểm ta suy thẳng hàng Do đường thẳng Euler tam giác Mặt khác đường đối cực đường tròn , suy vng góc với Bài Cho tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song, ngoại tiếp đường tròn nội tiếp đường tròn Gọi điểm tiếp xúc với đường trịn Chứng minh vng góc với Lời giải F M B U N A Q I O E D P V C skkn Xét cực đối cưc đường tròn cắt , cắt Ta thấy đường đối cực đường thẳng , đường đối cực đường thẳng Để giải toán, ta chứng minh Ta có với đường phân giác góc và Gọi giao điểm cân Bài Cho tam giác tiếp điểm có đường trịn nội tiếp với đường tròn Đường thẳng qua Lời giải Gọi vng góc với Gọi là giao điểm thứ hai cắt Chứng minh A N P E M G J I F B Xét cực đối cực đường tròn với Dễ thấy với nội tiếp Do đó, Gọi thẳng hàng Gọi Ta thấy giao điểm thứ hai giao điểm , suy tứ giác tứ giác tiếp Khi thuộc C D nội (theo Maclaurin) đường đối cực Mặt khác nên Bài Cho tam giác với phân giác cắt Lấy điểm cho Lấy điểm cho cắt Gọi trực tâm tam giác Chứng minh skkn Lời giải Bổ đề Cho tam giác đường tròn nội tiếp giác Chứng minh đường đối cực bình ứng với tam giác trực tâm tam đường trung K A L S Q R I B C Chứng minh Gọi hình chiếu đường trung bình ứng với lên tam giác Dễ thấy tam giác vuông Gọi tiếp xúc với Từ tứ giác tiếp Từ nên liên hợp đường đối cực Tương tự đường đối cực Trở lại toán nội Vậy Mặt khác Vậy liên hợp Vậy K A L S E P R N F M T Q I B C Dễ thấy điểm nằm đường trịn đường kính dụng định lý Pascal cho suy Tương tự Áp đồng quy đồng quy skkn Từ theo đề bốn đường thẳng Chú ý cực theo bổ đề đồng quy cực Từ suy cực Vậy Nhận xét Bổ đề tính chất tiếng cực đối cực Trong tốn này, khơng vng góc với mà cịn đối cực 2.1.3.2 Chứng minh thẳng hàng, đồng quy Bài Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn Gọi điểm tiếp xúc ; Lời giải với ; Gọi giao điểm Chứng minh thẳng hàng P N A E F I M B C D Xét cực đối cực đường tròn Dễ thấy đường đối cực Mặt khác, đồng quy nên thẳng hàng Bài Cho tam giác khơng cân, đường trịn nội tiếp tam giác tiếp xúc với Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với Chứng minh đồng quy Lời giải Z Y A E M F N I P O X B D C skkn Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm cặp đường thẳng , Theo kết trước, thẳng hàng Hơn nữa, đồng quy nên Do đường đối cực Mặt khác Gọi , thuộc thuộc đường đối cực nên đường đối cực Tương tự, ta có đường đối cực Mà thẳng hàng nên ba đường thẳng đồng quy Bài Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn Trên đường thẳng Chứng minh cho Lời giải Tiếp điểm lấy điểm đồng quy N A E P S F I Q M B C D Xét cực đối cực đường trịn Hạ vng góc với Gọi giao điểm Ta chứng minh thẳng hàng Ta thấy đường đối cực phải qua vng góc với mà nên suy đường đối cực Mà thuộc đường đối cực nên suy đường đối cực Tương tự, đường đối cực Suy đường đối cực Mặt khác, (tứ giác tiếp tuyến dây cung) nên Bài Gọi với cạnh nội tiếp), (góc tạo hay Khi thẳng hàng tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh trực tâm tam giác , tâm 10 skkn đường tròn nội tiếp tam giác thẳng hàng Lời giải , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A P D H I M O E B U C N V Gọi Gọi tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác trực tâm tam giác Hạ cho đường đối cực Xét cực đối cực đường tròn Trên đường thẳng lấy điểm Theo kết toán trước, đường thẳng đường tròn nên Mặt khác nên thuộc trục đẳng phương hai đường tròn Tương tự, thuộc trục đẳng phương Từ suy tiếp xúc hàng Từ thẳng bán kính đường tròn nằm đường tròn kẻ tiếp tuyến đến cắt lại đường trịn Do cố định thẳng hàng Bài 10 (HSGQG.A 2002-2003) Cho hai đường tròn Xét điểm lớn bán kinh đường trịn cho ( khơng thẳng tiếp điểm) Các đường Gọi giao điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Chứng minh điểm di động đường thẳng cố định di động đường tròn cho không thẳng hàng 11 skkn Lời giải D A F B M O1 O2 C G H E Ta xét trường hợp tiếp xúc Trường hợp tiếp xúc tương tự Gọi giao điểm thứ hai Tiếp tuyến cắt Xét cực đối cực Đường đối cực đường thẳng qua nên đường đối cực qua hay thẳng hàng Xét phép vị tự tâm biến Suy hay qua Vậy di động tiếp tuyến chung 2.1.3.3 Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Đường đối cực điểm đường tròn cho trước tập hợp điểm liên hợp điều hịa với điểm Do khai thác tính chất cực đối cực để giải tốn tìm điểm cố định qua toán cụ thể Bài 11 Cho góc cố định điểm cố định nằm tia Đường tròn thay đổi tiếp xúc với hai tia Gọi tiếp điểm Từ kẻ tiếp tuyến tới ( tiếp điểm, khác ) cắt Gọi đường thẳng qua vng góc với Chứng minh di động ln qua điểm cố định Lời giải x A B E D I y O C F 12 skkn Xét cực đối cực , cắt Đường đối cực , suy đường đối cực qua Đường đối cực đường thẳng qua , suy đường đối cực qua Khi đường đối cực , suy Mà phân giác góc nên cố định Vậy ln qua điểm cố định Bài 12 Cho hai đường tròn thẳng Điểm chạy Đường qua song song với , cắt cắt Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Lời giải A C M O S O1 O2 D B Gọi giao điểm  ; tâm đường tròn và suy tiếp xúc với tiếp xúc với tiếp xúc với cắt đường thẳng tiếp xúc với Hơn nữa, , nên Kết hợp với cố định tâm đường tròn nội tiếp tam giác tại Suy cực đường tròn 2.1.3.4 Các toán khác Bài 13 (IMO 1998) Cho trục đẳng phương Ta có Suy  ; Đường thẳng qua Chứng minh Đường tròn song song với nhọn Lời giải 13 skkn A L M T R I B' B C K S Xét cực đối cực với đường tròn Đường đối cực Gọi giao điểm Theo định lý LaHire, điểm nằm đường đối cực Do nên đường đối cực Dễ thấy đường đối cực đường thẳng Tương tự ta có Khi Để kết thúc chứng minh, ta điểm , tức suy nằm đường trịn đường kính Ta có Vì khơng phương nên Bài 14 Cho đường tròn tâm Một đường thẳng qua sử Do đường kính cắt đường trịn đường kính đường trịn tâm cắt lại đường tròn điểm tia đối tia ( nằm ngoại tiếp tam giác Chứng minh ) Giả Đường thẳng đồng viên Lời giải P E G D H A F O1 O B C 14 skkn Gọi Dễ thấy với đường tròn suy đường đối cực Gọi Ta có thuộc đường tròn Suy đường tròn thuộc (cùng giao điểm thứ hai khác đường kính Do với đường trịn ) suy Bài 15 Cho tam giác đồng viên Các đường cao cắt trực tâm trung điểm cắt đối tam giác cắt tâm đường tròn Euler tam giác Gọi Chứng minh hai đồng dạng Lời giải A Hb T Mc L Mb Hc E O H P Q B K Gọi , R giao điểm N C Ma với , đường tròn ngoại tiếp tam giác  lần lượt trung điểm thẳng hàng cắt suy Áp dụng định lý Pascal cho điểm ta có thẳng hàng Ta lại có đường đối cực lượt trung điểm suy Khi nên Suy Do lần 15 skkn Bài tập tự luyện Bài Từ điểm , Gọi cho đường tròn điểm thuộc đoạn trung điểm hai điểm nằm Giả sử tiếp tuyến Chứng minh Bài Tứ giác lồi và có Điểm cắt nội tiếp đường tròn Gọi giao điểm nằm tứ giác cho Chứng minh thẳng hàng ngoại tiếp đường tròn với cạnh Chứng minh Bài Cho tam giác Bài (MOP – 1995) Cho tứ giác lượt , kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn Tiếp điểm cắt lần đồng quy nội tiếp đường tròn Các đường phân giác cắt lại Đường thẳng qua vng góc với cắt đường thẳng qua vng góc với Chứng minh Bài Cho tứ giác toàn phần , tứ giác có đường trịn nội tiếp tâm Gọi tiếp điểm với cạnh Gọi hình chiếu vng góc Hình chiếu đường thẳng Chứng minh thẳng hàng Bài Cho tam giác ngoại tiếp Tiếp điểm lượt Phân giác tam giác Chứng minh phân giác Bài Cho tứ giác nội tiếp đường tròn , , cắt Bài Cho tam giác nhọn , cắt Gọi lần cắt cắt ở , cắt cắt Chứng minh trung điểm cạnh , đường cao tam giác Gọi (khác ) điểm nằm đường tròn cho Chứng minh Bài Cho tứ giác nội tiếp đường tròn cắt trực tâm tam giác Gọi điểm Bài 10 Cho tam giác Đường thẳng giao điểm tiếp tuyến Chứng minh nội tiếp đường tròn Gọi Gọi cắt giao thẳng hàng đồng quy ba đường đối trung) cắt Chứng minh điểm Lemoine tam giác điểm Lemoine (điểm 16 skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, em lớp chun tốn cuối học kì lớp 10 đầu học kì lớp 11 giải toán đơn giản cách sử dụng hàng điểm điều hòa, tứ giác điều hòa Các tài liệu chuyên sâu cực đối cực nên em chưa tiếp xúc nhiều với lời giải hay cho hình khó phương pháp cực đối cực mà em phải vẽ nhiều hình phức tạp, lời giải thơng thường dài dịng 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Trước hết hướng dẫn học sinh nắm vững khái niệm tính chất cực đối cực - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kĩ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề - Hướng dẫn học sinh biết cách nên dùng định lí tương ứng trường hợp nào, biết cách phân nhỏ toán, biết cách tương tự hóa để tìm lời giải cho tốn - Hướng dẫn học sinh biết cách tổng quát toán số trường hợp, tạo toán từ toán cho - Đưa phân tích tư duy, phương pháp suy nghĩ đến lúc áp dụng tính chất cực đối cực để tìm lời giải 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Là giáo viên dạy chuyên toán, thành viên đội ngũ giáo viên tham gia huấn luyện đội tuyển HSG Quốc gia tỉnh Thanh hóa năm 2019-2020 đồng thời lãnh đội đội tuyển Quốc gia mơn tốn tỉnh Thanh Hóa năm 20202021 có học sinh tham dự vịng năm học 2019-2020, 02 học sinh tham dự vòng năm học 2020-2021, vịng chọn đội tuyển tốn Quốc tế, tác giả nhận thấy mặt tích cực sau triển khai sáng kiến kinh nghiệm cho lớp Chuyên toán em đội tuyển HSG Để triển khai dạy sáng kiến kinh nghiệm, tác giả trang bị kĩ kiến thức hình học phẳng, hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, tứ giác điều hòa, đường trịn trực giao số định lí Pappus, Pascal cho em học sinh Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này: Tác giả đưa tập có áp dụng tính chất cực đối cực, em lớp Tốn gặp khó khăn tìm lời giải, khoảng 3,4 em đội dự tuyển lớp tìm hướng giải, nhiên lời giải tương đối dài dịng, hình vẽ phức tạp, thời gian để giải xong toán nhanh khoảng 45 phút em đội Các em cịn lại giải trọn vẹn tốn tới tiếng đến 1,5 tiếng Sau áp dụng sáng kiến: Các em có cơng cụ mạnh để giải tốn, em khơng phải nhiều thời gian để vẽ thêm hình phụ khơng phải suy luận nhiều bước Thời gian làm khác em rút ngắn xuống khoảng 20 phút cho em 30 phút đến 40 phút cho bạn cịn lại 17 skkn Trong kì thi HSG khu vực duyên hải đồng Bắc bộ, lớp có em tham dự hình giải tốt, kết đoạt huy chương Bạc Trong kì thi HSG Quốc gia năm học 2019-2020, hai ngày có hai hình em làm tốt, kết 10 em tham dự dành giải giải nhì, giải ba giải khuyến khích Lớp 11T1 đạt giải nhì giải ba, em lớp 11T1 giải 1,5 hình hai ngày Trong kì thi TST năm học 2019-2020, có em lớp 11T1 tham dự, không lọt vào đội tuyển tốn Quốc tế nói em giải tốt hình hai ngày chọn đội tuyển Trong kì thi HSG Quốc gia năm học 2020-2021, hai ngày có hai hình em làm tốt, kết 10 em tham dự dành giải giải nhất, giải nhì giải ba Lớp 12T1 đạt giải nhì, có em lớp 12T1 giải hai hình hai ngày Trong kì thi TST năm học 2020-2021, có hai em lớp 12T1 tham dự, khơng lọt vào đội tuyển tốn Quốc tế nói em giải tốt hình hai ngày chọn đội tuyển sử dụng dến tư cực đối cực Sáng kiến với tập xây dựng cách có hệ thống tài liệu tốt dành cho em đội tuyển HSG Quốc gia đội dự thi TST Thông qua tập, em có tư mẻ cách giải tốn hình học khó KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu đội ngũ thầy cô trường THPT chuyên Lam Sơn, thầy tổ Tốn ln cố gắng giảng dạy, cố gắng tự học, tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức để góp phần đào tạo nhân tài cho tỉnh Thanh Hóa Trong kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế, số lượng hình ln nhiều thách thức cho em học sinh Đặc biệt sử dụng công cụ mạnh cực đối cực Chính địi hỏi độ sâu, rộng kiến thức nên cực đối cực cịn gây nhiều khó khăn học sinh trình tiếp cận vận dụng Với đề tài “Ứng dụng cực đối cực bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia” tác giả mong em có thêm phương pháp để hình khó, góp phần nâng cao tính ứng dụng kiến thức việc giải toán học sinh Tác giả mong rằng, em củng cố khắc sâu kiến thức có liên quan, biết phân tích chọn lời giải tối ưu cho toán, biết phát huy tính sáng tạo, biết khái qt hóa tốn Trên số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần hình học người viết Trong phạm vi có hạn, tác giả đưa số dạng tốn điển hình số toán minh họa Rất mong đồng nghiệp, người đọc góp ý kiến, bổ sung để đề tài hoàn thiện để đưa đề tài vào khai thác cách hiệu 18 skkn 3.2 Kiến nghị Rất mong Sở SD ĐT ủng hộ tạo điều kiện để giáo viên gặp gỡ, giao lưu, rút kinh nghiệm có thêm nhiều sáng kiến kinh nghiệm hay, góp phần giảng tốt đội tuyển cấp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2022 Tôi cam đoan SKKN không chép nội dung người khác Nguyễn Viết Sơn 19 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu chun tốn hình học 10 Nxb GD, 2010 [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình: Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 NXBGD, 2006 [3] Nguyễn Đăng Phất: Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học NXBGD [4] Viktor Prasolov: Problems in plane and solid geometry, vol 1, Plane geometry [5] Các tài liệu nguồn internet: www.mathlinks.ro, www.diendantoanhoc.net, www.mathscope.org 20 skkn ... sử dụng công cụ mạnh cực đối cực Chính địi hỏi độ sâu, rộng kiến thức nên cực đối cực gây nhiều khó khăn học sinh trình tiếp cận vận dụng Với đề tài ? ?Ứng dụng cực đối cực bồi dưỡng học sinh giỏi. .. tròn xét cực đối cực) thẳng hàng ba đường đối cực chúng đồng quy đôi song song Định lý Phép đối cực bảo toàn tỉ số kép 2.1.3 Ứng dụng cực đối cực 2.1.3.1 Áp dụng vào chứng minh... cực đối cực đường tròn Hạ vng góc với Gọi giao điểm Ta chứng minh thẳng hàng Ta thấy đường đối cực phải qua vng góc với mà nên suy đường đối cực Mà thuộc đường đối cực nên suy đường đối cực