Phương pháp chiếu và phương pháp cực đối cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HUỆ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VÀ PHƯƠNG PHÁP CỰC-ĐỐI CỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HUỆ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VÀ PHƯƠNG PHÁP CỰC-ĐỐI CỰC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2018 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 10 11 15 16 17 18 21 22 25 28 Dựng đường đối cực ED, GH, BC đồng quy N, A, N thẳng hàng Quỹ tích N = A B ∩ AB Điểm H cố định IM ⊥BC (AHCD) = −1 A liên hợp với B qua (O, R) Dựng đường đối cực điểm M đường tròn (O, R) 2.10 Điểm Gergone đường thẳng Gergone 2.11 BHE = DHF 30 31 32 33 34 35 36 37 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng AS, BT, CR đồng quy P Hình minh họa Mệnh đề 1.8 Phép chiếu song song Phép chiếu M → M Hệ 1.2,P R0 : Π → Π = Π, C → C , l → δ Hệ 1.3,P R0 : Π → Π = Π, C → C l → δ , Minh họa Định lý Desargues P R0 : Π → Π = Π, C → C , I = AC ∩ BD → I Hình thoi ngoại tiếp Hai toán tương tự Cắt nhau; tiếp xúc; đồng tâm 38 40 44 ii 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 E trực tâm ∆F OS Bốn đường thẳng đồng quy M M1 , N N1 , P P1 đồng quy song song Đường tròn sở (O) Điểm C thuộc đường đối cực A Dựng hình nhờ cực-đối cưc Trường hợp Trường hợp D thuộc tiêp tuyến chung (O1 ), (O2 ) CD qua điểm cố định M N ⊥OH RIS góc nhọn 45 46 47 49 50 52 53 54 55 56 57 58 iii Mục lục Lời cảm ơn v Mở đầu 1 Phương pháp chiếu ứng dụng 1.1 Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng 1.1.1 Phép chiếu xuyên tâm tỷ số đơn 1.1.2 Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa 1.2 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng 1.2.1 Các tính chất phép chiếu P RO 1.2.2 Phép chiếu song song từ mặt phẳng lên mặt phẳng 1.3 Biến đổi chiếu đường thẳng, đường tròn mặt phẳng 1.4 Phép chiếu không gian 1.5 Ứng dụng phép chiếu giải toán 1.5.1 Phương pháp chiếu với đường thẳng kỳ dị 1.5.2 Phương pháp chiếu toán chứng minh 1.5.3 Phương pháp chiếu tốn dựng hình 13 14 17 17 20 24 Phương pháp cực-đối cực 2.1 Cực-đối cực cặp đường thẳng 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Các ứng dụng 2.2 Cực-đối cực đường tròn 2.2.1 Định nghĩa tính chất 29 29 29 31 35 36 4 11 iv 2.3 2.2.2 Đường tròn sở đường 2.2.3 Đường tròn sở đường 2.2.4 Tạo đường tròn sở Một số toán nâng cao Tài liệu tham khảo tròn nội tiếp tròn ngoại tiêp 39 44 47 52 62 v Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân có hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình quý thầy cô, ủng hộ động viên gia đình, nhà trường bạn bè trình học tập nghiên cứu luận văn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng, người hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho hoàn thành luận văn Xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phịng Đào tạo, q thầy giảng dạy lớp Cao học K10B (2016 - 2018) Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ban giám hiệu đồng chí tổ Tốn trường THPT Lý Thường Kiệt, Thủy Nguyên, Hải Phòng, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2018 Người viết luận văn Bùi Thị Huệ Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa bất biến quan trọng hình học Những ứng dụng phép chiếu, khái niệm cực-đối cực phong phú hình học xạ ảnh hình học Euclid sách giáo khoa hình học chưa có điều kiện khai thác vận dụng nhiều Với ý định muốn phát triển khái niệm thành phương pháp ứng dụng có hiệu giải tốn hình học phẳng, tơi đặt vấn đề tìm hiểu đề tài "Phương pháp chiếu phương pháp cực-đối cực" làm luận văn Mục đích đề tài là: - Nhắc lại bổ sung phép chiếu xuyên tâm chiếu song song mặt phẳng không gian Các ứng dụng phép chiếu giải tốn hình học phẳng: dạng tốn chứng minh, dựng hình, tìm quỹ tích Đặc biệt, ứng dụng giải tốn dựng hình dụng cụ hạn chế, loại tốn khó, có tài liệu đề cập đến - Trình bày sở toán học phương pháp cực-đối cực, phương pháp giải toán hiệu quả, hay gặp kỳ thi học sinh giỏi Khái niệm cực-đối cực không đường tròn mà xét trường hợp cực-đối cực cặp đường thẳng, cực-đối cực tam giác, - Hai phương pháp giải tốn nói dựa vào khái niệm tỷ số kép, bất biến quan trọng hình học xạ ảnh Qua giới thiệu cách áp dụng Tốn cao cấp vào hình học sơ cấp 2 Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Xuất phát từ khái niệm phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng, luận văn trình bày tính chất phép chiếu (xuyên tâm song song), sau xét đến phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng, đường tròn lên đường tròn, Từ số tính chất, định lý xây dựng phương pháp cực-đối cực cặp đường thẳng cực-đối cực đường tròn Ứng dụng phương pháp chiếu phương pháp cực-đối cực vào việc giải tốn hình học phẳng Trong ví dụ minh họa luận văn có xét đến toán dành cho học sinh giỏi quốc gia quốc tế với cách giải sử dụng hai phương pháp xét (khác với cách giải có) Nội dung luận văn chia làm chương Chương Phương pháp chiếu ứng dụng Nội dung chương trình bày phép chiếu xuyên tâm (bao gồm chiếu song song) từ mặt phẳng lên mặt phẳng, từ đường thẳng lên đường thẳng, từ đường tròn lên đường tròn tính chất chúng Phép biến đổi chiếu, thực chất biến đổi xạ ảnh, định nghĩa cách sơ cấp thơng qua tích phép chiếu Sau luận văn chứng minh tính chất hay sử dụng phép biến đổi chiếu, hình thành phương pháp giải tốn hình học nhờ vào kỹ thuật chọn phép chiếu thích hợp Một loạt ví dụ loại tốn chứng minh (tính đồng quy, thẳng hàng), tốn dựng hình, tìm quỹ tích minh họa cho phương pháp Nội dung chương gồm mục: 1.1 Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng 1.2 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng 1.3 Biến đổi chiếu đường thẳng, đường tròn mặt phẳng 1.4 Phép chiếu không gian 1.5 Ứng dụng phép chiếu giải toán Chương Phương pháp cực-đối cực ứng dụng Khái niệm cực liên quan đến tỷ số kép bốn điểm, bất biến quan trọng phép chiếu Nội dung phương pháp cách lựa chọn điểm cực cặp đường thẳng cực đường tròn, từ áp dụng tính chất cực-đối cực để giải toán Các loại toán thường gặp phong phú: Chứng minh đồng quy, thẳng hàng, đường tròn trực giao, tốn đường trịn Cách áp dụng cực-đối cực thích hợp cho ta lời giải độc đáo, bất ngờ 2.1 Cực-đối cực qua cặp đường thẳng 2.2 Cực-đối cực qua đường tròn 2.3 Ứng dụng phương pháp cực-đối cực để giải toán Tác giả 48 Ví dụ 2.2.11 Cho ∆ABC cân A Hai đường thẳng d1 , d2 tùy ý cắt A Các đường thẳng qua B, C tương ứng vng góc với d1 , d2 cắt D Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt d1 E Đường thẳng qua C vng góc với CA cắt d2 F Chứng minh Rõ ràng tốn khơng có đường trịn Tuy nhiên yếu tố "đường tròn" xuất khai thác giả thiết AB = AC Ta xét đường trịn tâm A, bán kính AB chọn làm đường trịn sở Ký hiệu d3 đường thẳng qua B, vng góc với d1 ; d4 đường thẳng qua C, vng góc với d2 Từ giả thiết dễ thấy BE, CF tiếp tuyến đường tròn sở Nhận thấy đường đối cực E qua B vng góc với AE, d3 Từ cách xác định cực ta có cực EF D Do EF ⊥AD Ví dụ 2.2.12 Cho ∆ABC với đường thẳng BB1 , CC1 Gọi E, F trung điểm AC, AB K = EF ∩ B C Chứng minh AK vng góc với đường thẳng Euler ∆ABC Chứng minh Ở khơng có đường trịn Ta phân tích để tạo đường trịn sở: Gọi I = F B ∩ EC , G = CF ∩ BE, H = BB ∩ CC Sử dụng định lý Pappus cho ba điểm (F, C , B), (E, B , C) ta có H, G, I thẳng hàng Theo tính chất đường thẳng Euler (HGI) đường thẳng Euler ∆ABC gọi O9 tâm đường trịn Euler ∆ABC IO9 đường thẳng Euler Đến rõ ràng nên chọn đường tròn Euler làm đường trịn sở E, F, B , C ∈ (O9 ) nên AK đường đối cực điểm I Theo tính chất đường đối cực ta có IO9 ⊥AK Ví dụ 2.2.13 Cho tam giác ABC điểm O Các đường thẳng qua O vng góc với OA, OB, OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB M, N, P Khi M, N, P thẳng hàng Chứng minh Ta chọn đường trịn tâm O với bán kính R làm đường tròn sở Gọi A , B , C cực đường thẳng BC, CA, AB Vì đường đối cực B qua A nên B thuộc đường 49 đối cực điểm A Tương tự, đường đối cực C qua A nên C thuộc đường đối cực A Suy B C đường đối cực A Hoàn toàn tương tự, C A , A B đường đối cực B, C Vì đường đối cực M vng góc với OM mà OM ⊥OA nên đường đối cực M vng góc với B C ( ) Vì M ∈ BC đường đối cực A nên A” thuộc đường đối cực M ( ) Từ ( ) ( ) ta có đường đối cực M đường cao ∆A B C Tương tự, đường đối cực N, P đường cao ∆A B C Vậy M, N, P thẳng hàng Hình 2.15: Đường trịn sở (O) Ví dụ 2.2.14 Cho (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi I = AC ∩ BD, điểm M,N giao điểm thứ hai cặp đường tròn(AOB) (COD), (BOC) (ACD) Khi điểm O, I, M, N đồng viên Chứng minh Chọn (O) đường tròn sở Dễ thấy AB, OM, CD trục đẳng phương cặp đường tròn (O) (AOB), (AOB) (COD), (COD) (O) nên ba trục đồng quy điểm S (tâm đẳng phương đường tròn) Giả sử SO cắt (O) E, F , ta có SE.SF = SA.SB = SM SO Chú ý O trung 50 điểm EF nên ta có chùm điều hịa hàng điều hịa tương ứng (SM EF ) = −1, nghĩa điểm M thuộc đường đối cực điểm S, I thuộc đường đối cực S Từ đó, góc IM O = 900 Tương tự, có IN O = 900 Vậy tứ giác IM ON nội tiếp Bài tốn sau hình vẽ gợi ý cho ta sử dụng phương pháp cực-đối cực cho đường tròn sở (O, R): điểm C có đường đối cực AB (O) Ví dụ 2.2.15 Cho đường trịn (O,R) điểm A cố định mà OA < R Tại điểm B di động (O) vẽ tiếp tuyến d với đường tròn Qua O kẻ đường thẳng d⊥AB, cắt d C Tìm tập hợp điểm C Phần thuận Lấy đường tròn sở (O,R) Đường đối cực C đường thẳng qua B vng góc với OC, AB Gọi a đường đối cực A a cố định dựng biết Vì đường đối cực C, tức AB, qua A nên C ∈ a Phần đảo Lấy C ∈ a Từ C kẻ tiếp tuyến CB đến đường tròn (B tiếp điểm) Vì A đường trịn nên a khơng cắt đường trịn ln dựng điểm B tiếp điểm CO⊥AB hiển nhiên Quỹ tích điểm C a, đường đối cực A (O, R) Hình 2.16: Điểm C thuộc đường đối cực A Sử dụng phương pháp cực-đối cực cịn giúp cho việc giải tốn dựng với dụng cụ hạn chế, đặc biệt toán dựng thước (có thể có đường trịn phụ) Ta xét sơ ví dụ: 51 Ví dụ 2.2.16 Cho trước đường tròn S(O, R), thước a Dựng đường thẳng m qua điểm P cho trước, song song với đường thẳng l cho trước b Dựng đoạn thẳng MN từ điểm M cho trước, song song đoạn thẳng AB cho trước c Dựng đoạn thẳng n qua điểm P cho trước, vuông góc đường thẳng l cho trước Lời giải a Giả sử dựng m thỏa mãn toán, ta coi m qua P điểm vô tận l Như vậy, chọn S đường tròn sở điểm M cực m phải giao điểm đường đối cực p P đường đối cực q điểm vô tận L∞ l Đường đối cực p dựng được, đường thẳng q phải qua cực L l cực đường thẳng vô tận, tức tâm O Từ suy cách dựng (bằng thước): - Dựng đường đối cực p điểm P S - Dựng cực L l S - Dựng đường thẳng (OL) Đó đường thẳng q - Gọi M = p ∩ q Dựng m cát tuyến M S Các trường hợp đặc biệt P, O l thực cách đơn giản b Phân tích dựa vào câu a ta có cách dựng: - Dựng qua M đường thẳng m AB - Dựng qua B đường thẳng b AM - Gọi N = m ∩ b Đoạn thẳng M N cần dựng c Giả sử dựng n⊥l, n qua P Gọi L cực l S OL⊥l Đường thẳng n qua P song song với OL Ta suy cách dựng: - Dựng L cực l S Nối OL - Áp dụng câu a., dựng đường thẳng qua P , song song với OL Đường thẳng n cần dựng Ví dụ 2.2.17 Bằng thước dựng số điểm (nhiều tùy ý) đường trịn C biết tâm A bán kính BC lời giải Khi có cách dựng Ví dụ (2.2.16), ta giải tốn 52 Hình 2.17: Dựng hình nhờ cực-đối cưc sau: - Dựng đường thẳng m qua A, song song với BC - Trên m dựng đoạn M A, AN BC Đoạn thẳng M N đường kính C - Kẻ đường thẳng a qua M từ N dựng đường thẳng b⊥a - Gọi giao a b C CC cần dựng Cho a quay xung quanh M ta dựng vô số điểm đường trịn C 2.3 Một số tốn nâng cao Phương pháp cực-đối cực áp dụng hiệu dạng toán: Chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, Ngồi ta cịn xét đến dạng tốn khác: tìm tập hợp điểm, đường thẳng, dựng hình với dụng cụ hạn chế Trong mục ta xét tốn khó đề thi học sinh giỏi nước quốc tế Ví dụ 2.3.1 Cho đường trịn tâm (O, R) điểm M (O,R), 53 điểm I (O,R) Một đường thẳng thay đổi qua I cắt đường tròn A, A Các đường thẳng M A, M A cắt (O) điểm thứ hai B, B Chứng minh đường thẳng BB qua điểm cố định Chứng minh Chọn (O, R) đường tròn sở Tùy theo vị trí tương đối đường thẳng A B AB , AA BB ta xét trường hợp sau: Hình 2.18: Trường hợp Trường hợp A B ∩ AB = N, AA BB cắt P Ta có N P đường đối cực M Gọi Q = N P ∩ M I, R = BB ∩ M I, S = N P ∩ M A Ta suy chùm P (M SB A ) = −1 Từ đó, P (M QRI) = −1, nhận (M QRI) = −1 Vì M, Q, I cố định nên R cố định Vậy BB qua điểm R cố định Trường hợp A B AB Gọi J = AA ∩ AB Do OM trung trực A B nên M O qua J Gọi C, D giao M O với (O) Do CD đường kính nên DAC = 900 Mặt khác, A AC = CAB 54 Hình 2.19: Trường hợp suy chùm A(DCJM ) chùm phân giác, suy (DCJM ) = −1 Vậy J thuộc đường đối cực M suy J(B A SM ) = −1 hay (M QRI) = −1 Vậy R cố định Trường hợp AA BB Chứng minh DR ∩ CD nằm đường đối cực M Khi (M QRI) = (M JCD) = −1 Vậy R cố định Ví dụ 2.3.2 (VMO 2002,#4 ) Cho hai đường tròn (O1 , R1 ) (O2 , R2 ) tiếp xúc M, R1 > R2 Giả sử A ∈ (O2 , R2 ) không thẳng hàng với A, O1 , O2 Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O1 , R1 ) với B, C tiếp điểm Các đường thẳng MB, MC cắt lại (O2 , R2 ) tương ứng E, F Gọi D giao điểm EF tiếp tuyến A (O2 , R2 ) Chứng minh A di động (O2 , R2 ) D di động đường thẳng cố định Chứng minh Có hai trường hợp: tiếp xúc tiếp xúc Ta xét trường hợp đầu trường hợp sau tương tự Lấy (O1 , R1 ) làm đường tròn sở Gọi GG giao AM với (O1 ), tiếp tuyến G, M , (O1 ) cắt H Ta thấy đường đối cực H M G qua A nên đường đối cực A qua H Tức B, C, H thẳng hàng 55 Xét phép vị tự V M biến (O1 , R1 ) → (O2 , R2 ) V M : B → E, C → F, G → A Suy V M (H) = D Chú ý HM tiếp tuyến chung hai đường trịn nên D ln di động tiếp tuyến chung cố định Hình 2.20: D thuộc tiêp tuyến chung (O1 ), (O2 ) Nhận xét Lời giải sử dụng cực-đối cực để chứng minh điểm B, C, H thẳng hàng Kết hợp với phép vị tự ta nhận lời giải ngắn gọn Cách giải khác (dùng đồng dạng) thường dài phức tạp Ví dụ 2.3.3 (VMO 2004, #3) Cho đường trịn (O, R) cố định Các điểm A, B ∈ (O, R) cho điểm A, B, O không thẳng hàng Xét điểm C ∈ (O, R), C = A, B Dựng đường tròn (O1 ) qua A, tiếp xúc BC thứ hai D = C Chứng minh: (i) CD ≤ R; (ii) Đường thẳng CD luôn qua điểm cố định C thay đổi (O) Lời giải Ta có O1 C⊥CB, OO2 ⊥CB ⇒ O1 C OO2 , tứ giác OO1 CO2 hình bình hành Ta suy ra: O1 O2 qua trung điểm OC, mà O1 O2 qua trung điểm CD nên O1 O2 OD Mặt khác, O1 O2 ⊥CD nên ODC = 900 56 Hình 2.21: CD qua điểm cố định Từ đó, CD ≤ OC = R ii Dễ thấy tứ giác ADOB nội tiếp Ta thấy đường thẳng OD, AB tiếp tuyến t (O) C trục đẳng phương cặp đường tròn (ADOB) (COD), (O) ((ADOB), (COD) (O) Do ba trục đẳng phương đồng quy điểm S Bây chọn đường tròn sở (O): đường đối cực S qua C, vng góc với OS nên CD đường đối cực S Vì S ∈ AB (cố định) nên CD phải qua điểm cố định Ví dụ 2.3.4 (VMO 2016 #3) Cho tam giác ABC với B, C cố định, điểm A thay đổi cho ∆ABC nhọn Gọi D trung điểm BC, 57 E, F hình chiếu vng góc D AB, AC i Gọi O tâm đường tròn ngoại tếp tam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường thẳng AO, BC M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆AM N qua điểm cố định ii Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆AEF E F cắt T Chứng minh T thuộc đường thẳng định Hình 2.22: M N ⊥OH Chứng minh Ta chứng minh i Gọi O9 tâm Euler ∆ABC (O9 ) qua E, I, F , đồng thời theo tính chất O9 O9 trung điểm OH Dễ thấy D đối xứng với H qua BC nên tam giác BDH cân B Tam giác IEH cân I, nên IEH = IHE = BHD = BDH Suy tứ giác BDEI nội tiếp Vì DB ∩EI = M nên M E.M I = M B.M D Từ M thuộc trục đẳng phương (O) (O9 ) Tương tự N Nói cách khác M N trục đẳng phương (O) (O9 ) Vậy M N ⊥OO9 vì O9 ∈ OH nên M N ⊥OH Ví dụ 2.3.5 (IMO 1998 # 5) Giả sử I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng 58 K, L, M Đường thẳng qua B, song song với MK cắt đường thẳng LM LK tương ứng R S Chứng minh RIS góc nhọn Hình 2.23: RIS góc nhọn Chứng minh Để so sánh khai thác theo cách khác ta trình bày cách giải Cách (Phương pháp thông thường) Sử dụng Định lý Sin Cách (Tọa độ hóa) Chọn gốc tọa độ I(0, 0), điểm B(0, a) Không tính tổng quát ta coi bán kính (I) Các điểm M, K có tọa độ 1 (r, s), (−r, s) với r = a2 − , s = a a 2 tính Giả sử L(p,q), đó, p + q = Nếu R(x , a), S(x , a)√ r(a − q) + p(s − a) a2 − 1(a − q) x = = m+n; x = −m+n, với m = ; s−q − aq p(1 − a2 ) n= − aq Gọi P trung điểm SR ta thấy RIS < 900 ⇔ OP > m Bây giờ, OP = a2 + n2 > m2 ⇔ (aq − 1)2 > 0) Nhưng điều hiển nhiên Ta có điều phải chứng minh 59 Chú ý Từ cách chứng minh ta thấy kết khơng thay đổi ta thay đường trịn nội tiếp đường đường tròn ngoại tiếp tâm nội tiếp tâm ngoại tiếp Đây phương pháp tọa độ hóa với cách chọn gốc tọa độ đặc biệt Cách (Cực-đối cực) Chọn đường tròn nội tếp (I) đường tròn sở Dễ thấy M K đường đối cực B, RD đường đối cực H Vì S thuộc đường đối cực C nên C thuộc đường đối cực S Vậy CH đường đối cực S tương tự AH đường đối cực R Theo cách xác định đường đối cực ta có CH⊥IS, AH⊥IR Như vậy, góc RIS bù với AHC Gọi N trung điểm AC −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2HN = HA + HC = HM + M A + HK + KC = M A + KC Do AM KC không song song nên từ đẳng thức véc tơ suy ra: 2HN < M A + KC = AC Bất đẳng thức chứng tỏ AHC góc hay RIS góc nhọn Chương hai trình bày khái niệm cực-đối cực cặp đường thẳng đường tròn tính chất đặc biệt khái niệm Với cách chọn cặp đường thẳng sở đường tròn sở tự tạo đường tròn sở, ví dụ minh họa làm rõ tính hiệu phương pháp cực-đối cực Sau toán giải tương tự Bài toán 2.1 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Tiếp điểm (I) với cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh điểm M = EF ∩ BC, N = DF ∩ CA, P = DE ∩ AB thẳng hàng Bài toán 2.2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M, N, P, Q tiếp điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh bốn điểm sau thẳng hàng K = AD ∩ BC, L = AB ∩ DC, E = QM ∩ P N, F = QP ∩ M N Bài toán 2.3 Gọi (O) đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D kẻ cac đường thẳng dA ⊥OA, dB ⊥OB, dC ⊥OC Ký hiệu K = dA ∩ dB , L = dB ∩ dC , M = dC ∩ dD , N = dD ∩ dA Chứng minh KM ∩ LN = O 60 Bài toán 2.4 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M, N, P, Q tiếp điểm cạnh AB, BC, CD, DA Các đường thẳng AN, AP cắt (O) E, F Chứng minh rằng: a Các đường thẳng MP, NQ, AC, BD đồng quy b Các đường thẳng ME, QF, AC, đồng quy Bài tốn 2.5 Cho đường trịn (O) đường kính AB đường thẳng d⊥AB điểm I nhồi đường trịn Điểm M thay đổi (O), d cắt đường thẳng MA, MB P, Q Đường thẳng QA cắt lại (O) N Chứng minh MN qua điểm cố định Bài tốn 2.6 Từ điểm P ngồi đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến PA, PB tới đường trịn Từ B hạ BD vng góc với đường kính AC Chứng minh PC qua trung điểm BD Bài toán 2.7 Cho tam giác ABC với (I) đường tròn nội tiếp, tiếp điểm BC, CA, AB tương ứng D, E, F Đường phân giác góc BIC ∆BIC cắt cạnh BC M Đường thẳng AM cắt EF N Chứng minh DN đường phân giác góc EDF Bài toán 2.8 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi E, F giao điểm AC với (I) Hạ IH⊥DB chứng minh AHE = CHF Bài toán 2.9 (VMO 2017 # 7) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) (G) điểm thuộc cung BC, CA, AB khơng chứa O đường trịn (I) ngoại tiếp ∆OBC Đường tròn ngoại tiếp ∆ABG cắt AC E, Đường tròn ngoại tiếp ∆ACG cắt AB F (E, F = A) i K = BE ∩ CF Chứng minh AK, BC, OG đồng quy ii Cho D điểm thuộc cung BOC chứa O đường tròn (I) GB cắt CD M, GC cắt BD N Giả sử MN cắt (O) hai điểm P, Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆GP Q qua điểm cố định G thay đổi cung BOC 61 Kết luận luận văn Luận văn thu kết sau Trình bày vấn đề phép chiếu mặt phẳng không gian Phương pháp chiếu thể việc sử dụng kỹ thuật chọn đường thẳng kỳ dị, chọn tích phép chiếu, để giải tốn chứng minh, dựng hình, tìm quỹ tích toán liên quan đến đường thẳng Trình bày khái niệm cực đường thẳng đường đối cực điểm đường thẳng đường trịn Chứng minh tính chất bản, cách dựng cực, đường đối cực biết cặp đường thẳng sở đường tròn sở Phương pháp cực-đối cực thể hiên việc chọn cặp đường thẳng sở hay đường tròn sở (đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp hay tự tạo đường trịn sở mới) Các ví dụ minh họa hướng tới mục đích chứng tỏ tính hiệu cách giải tốn phương pháp Sau hồn thành vấn đề đặt ra, nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Tìm hiểu cực-đối cực Cô nic (elip, hypebol, parabol) - Nghiên cứu áp dụng phương pháp cực-đối cực tọa độ Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Tác giả mong góp ý, bổ sung cuả đồng nghiệp thầy cô giáo nhằm làm cho kết nghiên cứu hồn chỉnh có ích Xin chân thành cảm ơn 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Văn Như Cương (2009), Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] Prasolop V.(2001), Problems in Plane and Solid geometry, Plane geometry(2001), Chapter 30, Nauka, Moscow [3] www.imomath.com, AoPS, IMO problems and Solutions 19592017 Ting Nga ủốởỹồõ óợợõ ọữố õủồủợỵỗớỷừ ỡũồ ỡũốữồủờốừ ợởốỡùốọ ợủờõúờ ếởỡùốồõ ẹệ ẽợởỵủ ỵêðóỉíỵđịè✱ ✃âàíị✱ ❮ỵìåð ✵✼✲✶✾✽✻✳ è ïỵëÿðà ỵịíỵđèịåëüíỵ ... tròn, Từ số tính chất, định lý xây dựng phương pháp cực- đối cực cặp đường thẳng cực- đối cực đường tròn Ứng dụng phương pháp chiếu phương pháp cực- đối cực vào việc giải tốn hình học phẳng Trong... toán học phương pháp cực- đối cực, phương pháp giải toán hiệu quả, hay gặp kỳ thi học sinh giỏi Khái niệm cực- đối cực không đường tròn mà xét trường hợp cực- đối cực cặp đường thẳng, cực- đối cực tam... ngờ 2.1 Cực- đối cực qua cặp đường thẳng 2.2 Cực- đối cực qua đường tròn 2.3 Ứng dụng phương pháp cực- đối cực để giải toán Tác giả Chương Phương pháp chiếu ứng dụng Chương trình bày phép chiếu mặt