Sử dụng cực và đối cực trong giải toán hình học phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN - LƯƠNG THỊ DIỆU LINH SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN - LƯƠNG THỊ DIỆU LINH SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS Lưu Thị Thu Huyền Phú Thọ, 2018 i    LỜI CẢM ƠN  Khóa luận này được hồn thành tại trường Đại học Hùng Vương dưới  sự  hướng  dẫn  khoa  học  của  ThS.Lưu  Thị  Thu  Huyền.  Để  hồn  thành  khóa  luận tốt nghiệp, ngồi sự nỗ lực của bản thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban  giám hiệu, các thầy cơ trong khoa Tốn – Tin trường Đại học Hùng Vương đã  tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong q trình nghiên cứu  và thực hiện đề tài khóa luận.  Đặc biệt, emxin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cơgiáo hướng dẫn của  mình là ThS.Lưu Thị Thu Huyền đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong  suốt q trình nghiên cứu và hồn thiện khóa luận.  Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức xong do thời gian có hạn cùng với  khối  lượng  kiến  thức  lớn  và  khó nên  khóa  luận  khó  tránh khỏi  những  thiếu  sót. Em rất mong nhận được sự góp ý các thầy giáo, cơ giáo cùng các bạn đọc  để khố luận được hồn thiện hơn.  Em xin chân thành cảm ơn!    Việt Trì, ngày    tháng     năm 2018                                                                                                Sinh viên                                                                                              Lương Thị Diệu Linh      ii    MỤC LỤC  Trang  MỞ ĐẦU   1 1. Lý do chọn đề tài khóa luận.   1 2. Mục tiêu khóa luận.   2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.   2 4. Phương pháp nghiên cứu.  . 2 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.   2 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.  . 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở   3 1.1. Hàng điểm điều hòa  . 3 1.1.1. Tỉ số kép   3 1.1.1.1. Định nghĩa   3 1.1.1.2. Các tính chất của tỉ số kép   3 1.1.2. Hàng điểm điều hòa  . 4 1.1.2.1. Định nghĩa   4 1.1.2.2. Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm đìểu hịa  . 5 1.2. Chùm điều hịa   6 1.3. Tứ giác toàn phần   9 1.4. Đường tròn trực giao   10 1.5. Cực và đối cực   13 1.5.1. Đường đối cực của một điểm với hai đường thẳng cắt nhau  . 13 1.5.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn   16 1.5.3. Các tính chất của cực và đối cực với một đường trịn   20 iii    1.5.4. Cách xác định cực và đường đối cực   23 Chương 2: SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN  HÌNH HỌC PHẲNG   26 2.1. Một số bài tốn chứng minh vng góc  . 26 2.2. Một số bài toán chứng minh song song   37 2.3. Một số bài toán chứng minh thẳng hàng   41 2.4. Một số bài toán chứng minh đồng quy  . 46 2.5. Một số bài toán chứng minh điểm cố định   53 KẾT LUẬN   61 TÀI LIỆU THAM KHẢO   62     1    MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Tốn học là mơn khoa học có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển  năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận logic, tính độc lập sáng tạo, có  khả  năng ứng dụng rộng  rãi trong  nhiều khoa học  và  rất cần thiết trong đời  sống. Chính vì thế, tốn học cần được khai thác để góp phần phát triển năng  lực trí tuệ chung và hình thành nhiều phẩm chất đáng q chongười học Trong bộ  mơn tốn, hình học giữ vị trí quan trọng trong suốt chương  trình  tốn  phổ  thơng.  Đặcbiệt  trong  hình  học  phẳng,  cực  và  đối  cực  là  một  cơng cụ mạnh giúpchúng ta chứng minh các bài tốn về quan hệ vng góc,  song song, tínhđồng quy, thẳng hàng,…Nhờ các kiến thức vềcực và đối cực  màchúng ta có thể giải các bài tốn khó, phức tạp, thậm chí có những bài tốn  chỉ giảiđược khi sử dụng cực và đối cực. Việc vận dụng cực và đối cực vào  giải một số dạng tốn hình học phẳng sẽ giúp học sinh tăng cường khả năng  tư duy sáng  tạo,  góp phần  phát huy  tính tích  cực,  chủ động  trong giải tốn.  Bên cạnh đó, cực và đối cực cịn đem lại cho người học một phương pháp tốt,  nâng cao hứng thú học tập, rèn luyện khả năng tìm tịi nghiên cứu. Do đó, cực  và đối cực là một nội dung được sử dụng nhiều trong việc bồi dưỡng học sinh  giỏi. Bằng cách sử dụng kiến thức về cực và đối cực, chúng tasẽ đưa ra được  hướng giải quyếtmột số dạng tốn hình học sơ cấp tối ưu hơn mà các phương  pháp thơng thường mất nhiều cơng sức mới giải quyết được.Tuy nhiên, việc  vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu và   giải quyết một số dạng tốn hình học phổ thơng địi hỏi học sinh phải có khả  năng tư duy cao mà lại có ít tài liệu tham khảo,học sinh chưa được tiếp xúc  nhiều, vì vậy khi tiếp cận vấn đề này học sinh cịn gặp nhiều khó khăn.  Vì những lí do trên mà emquyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng cực đối cực giải tốn hình học phẳng”cho  khóa  luận  tốt  nghiệpcủa mình.     2    Mục tiêu khóa luận Xây  dựngđược hệ  thống cácbài tốn hình  học phẳngvề  chứng minh quan  hệ  vng  góc,  song  song,  tínhđồng  quy,  thẳng  hàngvàđiểm  cốđịnhcósửdụngcựcvàđối cực để giải.  Nhiệm vụ nghiên cứu -Tìm hiểu các kiến thức liên quan đến đề tài và phân loại các nội dung đó - Tuyển  chọn  và  giới  thiệu  các  bài  toán  sửdụngcực  và  đối  cực,so  sánhđượcưu điểm khi sửdụngcực và đối cực so với các phương pháp khác.  Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, sách có liên  quan  đến  sử  dụng  cực  và  đối  cực  trong  giải  tốn  hình  học  phẳng  rồi  phân  dạng, hệ thống hóa kiến thức - Phương pháp lấy ý kiến chun gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp  hướng dẫn, các giảng viên khác để hồn thiện về mặt nội dung và hình thức  của khóa luận.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng:  nghiên cứu kiến  thứcvà  một sốdạng tốn hình học  phẳng sử  dụngcực và đối cực - Phạm vi: ứng dụng của cực và đối cực trong giải một số dạng tốn hình  học phẳng.  Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa  luận trình  bày  những  kiến thức  cơ  bản  về  cực  và  đối  cực  trong  mặt phẳng và sử dụng chúng trong việc giải một số dạng tốn hình học phẳng.  Qua  đó  cho  thấy  sự  linh  hoạt,  sáng  tạo và  có  một  phương  pháp  tốt  khi  giải  tốn là rất quan trọng. Đồng thời khóa luận cịn là tài liệu tham khảo hữu ích  giúp bản thân emcũng như các bạn học sinh và sinh viên ngành tốn học tập  tốt hơn.    3    Chương Kiến thức sở 1.1 Hàng điểm điều hòa 1.1.1 Tỉ số kép 1.1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa1.1.Cho một tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm A,B, C, D phân biệt  cùng nằm trên một đường thẳng đã được địnhhướng.Ta gọi tỉ số  CA DA : là tỉ CB DB số kép  của  bốn  điểm  A, B, C, D  (Hình  1.1)  vàđược  kí  hiệu  là  (ABCD).  Ta  có:(ABCD) = CA DA : CB DB         D   C  O    A  B  Hình 1.1  Trên đường thẳng đó nếu chọn O là gốc tọa độ và giả sử a, b, c, d lần  lượt là tọa độ các điểm A, B, C, D ta dễ dàng suy ra:    (ABCD) = ac ad :       (1)  bc bd 1.1.1.2 Các tính chất tỉ số kép 1) Tỉ số kép điểm không đổi trường hợp sau: - Nếu ta hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa là:    (ABCD) = (CDAB).  - Nếu ta đồng thời hoán vị 2 điểm đầu và 2 điểm cuối, nghĩa là:  (ABCD) = (BADC)   4    - Nếu ta viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là:  (ABCD) = (DCBA) 2) Tỉ số kép điểm thay đổi trường hợp: - Nếu ta hốn vị 2 điểm đầu hoặc 2 điểm cuối thì tỉ số kép của 4 điểm  trở thành sốđảo ngược của nó nghĩa là:  (BACD) = (ABCD) =     ( ABCD) - Nếu ta hốn vị 2 điểm ở giữa, hoặc 2 điểm đầu và cuối thì tỉ số kép  của 4 điểm trở thành phần bù của 1 nghĩa là:  (ABCD) = (DBCA) = - (ABCD) 1.1.2 Hàng điểm điều hòa 1.1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa1.2.Nếu  (ABCD) = - 1  thì  ta  nói  rằng  bốn  điểm  A, B, C, D lậpthành một hàng điểm điều hịa.  Lúc đó ta có  CA DA   nghĩa  là các điểm C, D chia đoạnAB theo các tỉ số  CB DB đối nhau. Mặt khác, ta cũng có thể viết tỉ số trên dưới dạng AC BC   nghĩa  AD BD là các điểm A và B chia đoạn CD theo các tỉ số đối nhau. Dựa vào các biểu  thức trên đây ta nhận thấyvai trị bình đẳng của A, B và C, D.  Chú ý: Khi nói tới tỉ số kép cũng như nói tới hàng điểm điều hịa,chúng  ta cần viết đúng thứ tự của các điểm. Dựa vào các tính chất nêu trên, ta biết  được  khi  thay  đổi  thứ  tự  các  điểm  nào  thì  giá  trị  của  tỉ  số  kép  được  giữ  ngun và khi thay đổi thứ tự các điểm nào thì giá trị của tỉ số kép đó thay đổi  theo những quy luật nào. Do đó nếu (ABCD) = -1 ta suy ra:  (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = -1 Mặt khác nếu (ABCD) = -1 thì   1  do đó ta có:  (ABCD) (BACD) = (ABDC) = -1 5    1.1.2.2 Biểu thức tọa độ hàng điểm đìểu hịa  Ta hãy định hướng đường thẳng ABCD, chọn trên đó một điểmO làm  gốc  và  một  vectơ  đơn  vị.  Giả  sử  OA  a , OB  b , OC  c , OD  d thì  vì  (ABCD)= - 1nên ta có:    CA DA ac ad   và  do  đó     ,  ta  có  Hình  1.2   CB DB bc bd   1) (ABCD )  1  ac ad  hay 2(ab+cd ) = (a+b)(c+d ) (2)  bc bd A  D O  C  B  Hình 1.2  2) Nếu ta chọn điểm O trùng với điểm A thì khi đó a = 0 và hệ thức  (2)trở thành 2cd = bc + bd hay  (ABCD )  1    1   ( Hình 1.3)  b d c 1   (3)  b d c   Từ hệ thức (3) ta suy ra      (ABCD )  1    1   (3’)   AB AC AD   A  D O  C  B  Hình 1.3  Hệ thức (3’) được gọi là hệ thức Descartes   49    Lời giải   L K A E M F I P N O H B D C Gọi I,O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF và ∆ABC  H = MP∩EF K =MN∩FD L = MP∩DE  Theo bài tốn 1 ta có H,K,L thẳng hàng(1)   Và DM,FN,EP đồng quy nên (HMFE)=-1   Do đó M thuộc đường đối cực của H đối với (O)  Mặt khác,A thuộc đường đối cực của H đối với (O) nên ta có:  AM là đường đối cực của H đối với (O) (2)   Tương tự có, BP là đường đối cực của K đối với (O) (3)  CN là đường đối cực của L đối với (O) (4)   Từ (1),(2),(3), (4)ta có AM, BP, CN đồng quy Nhận xét: Bài tốn này có thể mở rộng như sau: Cho  ∆ABC D, E, F thuộc  BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF đồng quy M, P, Nthuộc EF, FD, DE sao cho  DM, EP, FN đồng quy. Chứng minh rằng AM, BP, CN đồng quy.   Bài toán 3:Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm thuộc các cạnh AB,  BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q AN, AP cắt (O) tại E, F. Chứng minh rằng  ME, QF, AC đồng quy.  50    Lời giải K   B N  C      E      P  M    F  A Q  D  Gọi K là cực của AC.   Xét tứ giác nội tiếp MNPQ, theo tính chất cực và đối cực của tứ giác nội tiếp  Ta có:MQ và NP cắt nhau tại K (1)  Mặt khác xét đến tứ giác nội tiếp EFPN, có:  EF và NP cắt nhau tại K (2)  Suy ra:MQ và EF cắt nhau tại K.  Ta thấy ME và QF cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường đối cực của Knên thuộc  AC hay ME, QF, AC đồng quy.  Bài toán 4:Cho  tứ  giác  ABCD  nội  tiếp  (O).Gọi  M,N  lần  lượt  là  trung  điểm  của AB,CD. Đường tròn (ABN) cắt lại cạnh CD ở P, đường tròn(CDM) cắt lại  ABở Q.Chứng minh rằng AC,PQ,BD đồng quy.   Nhận xét: Ta  thấy  bài  tốn  xuất  hiện  các  đường  trịn  (O), (ABN), (CDM)  và  các  dây  cung nên ta nghĩ đến sử dụng cực và đối cực giải bài toán này.  51    Lời giải   B M Q A O I S D P N C TH1: AB//CD  Khi đó, ABCD là hình chữ nhật   Q ≡ M, P ≡ N   AC, BD, PQ đồng quy tại tâm của hình chữ nhật ABCD.  TH2:  Gọi S là giao điểm của AB và CD.   d là đường đối cực của S đối với (O)   I là giao điểm của AC và BD thì I ∈d (1)   Ta có : SM SQ  SC.SD  SA.SB   Vì M là trung điểm của AB nên ta có (SQAB)=-1    Q ∈ d (2)   Tương tự, ta có:P ∈ d (3)   Từ (1),(2) và (3) suy ra AC,PQ,BD đồng quy.   Bài tốn5:Cho  ∆ABC  ngoại  tiếp  (I),  tiếp  điểm  của  (I)  trên  BC, CA, AB  lần  lượt là  D, E, F.  Trên BC  lấy  M,  trên AC lấy  N  sao  cho IM // EF, IN // DF.  Chứng minh rằng AM, BN, IF đồng quy.  52    Lời giải N  A    E    P  S    F  I  Q    C  D      B  M    Xét cực và đối cực với (I) Kẻ DP, EQ lần lượt vng góc với EF, FD.  Gọi S = AM∩BN, khi đó I, F, S thẳng hàng.  Ta thấy:  Đường đối cực của M đi qua D và vng góc với IM mà IM // EF nên ta suy  ra DP là đường đối cực của M.   P thuộc đường đối cực của M (1)  Mà P thuộc EF là đường đối cực của A (2)  Từ (1), (2) suy ra AM là đường đối cực của P (3)  Tương tự, B là đường đối cực của Q (4)  Từ (3) và (4) ta suy ra đường đối cực của S là PQ.  Mặt khác, có:(PF, PQ) ≡ (DE, DQ) ≡ (FB, FQ) (modπ)  Suy ra: PQ // AB.  Vậy AM, BN, IF đồng quy.  Bài tốn 6:Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O). Tiếp điểm thuộc các  cạnh  AB,  BC,  CD,  DA lần  lượt  là  M,  N,  P,  Q.  Các  đường  thẳng  AN, APcắt  đường tròn (O) tại E, F. Chứng minh rằng: các đường thẳng MP, NQ, AC, BD đồngquy 53    Lời giải B  M  N  A  E  F  O  I  Q  C  P  D    J  HạCJMP.Tacó: OMP  OPM    BMP  CPM  CJCP.  Gọi    I   AC  MP  IA AM AM        (1)   IC JC PC Tương tự:   I '  AC  NQ  I ' A AQ       (2)   I ' C NC Vì AM = AQ và PC = PN nên từ (1) và (2) suy ra I ≡I '.   Ta suy ra các đường thẳngMP, NQ, AC đồng quytạiI(3)  Tươngtự,tacũngcóMP,NQ,BDđồngquytạiI(4)   Kết hợp (3) và (4) ta có MP, NQ, AC, BD đồngquy.  2.5 Một số tốn chứng minh điểm cố định Nhận xét: Ta sẽ chứng minh đường thẳng cần xét đi qua 1 điểm là cực của một đường  thẳng cố định.  54    Bài tốn 1: Cho đường trịn (O) và một đường thẳng d nằm ngồi (O). Một  điểm S chạy trên (O) Từ S ta kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA,SB (A,B là các tiếp  điểm).Chứng  minh  rằng khi  S  chạy  trên  d  thì  AB  ln  đi  qua  một  điểm  cố  định   Nhận xét: Bài tốn xuất hiện các đường tiếp tuyếnSA và SB đối với đường trịn(O), do  đó chúng ta có thể sử dụng cực và đối cực để giải bài tốn này một cách ngắn  gọn, hiệu quả.  Lời giải A O d B S Xét cực và đối cực đối với (O) Gọi I là cực của d, vì d cố định nên I cố định.  S ∈ d  Đường đối cực của S sẽ đi qua cực của d   hay ABln đi qua I cố định.  Bài tốn 2: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O) ta vẽ các tiếp tuyến PA và  PB tới  đường  tròn  (O).  Từ  điểm  B hạ  đường  vng  góc  BD với  đường  kínhAC Chứng minh rằng PC đi qua trung điểmBD Nhận xét: Bài tốn xuất hiện các đường tiếp tuyến đối với đường trịn, do đó chúng ta có  thể xác định các cặp điểm liên hợp điều hịa trong bài tốn này.  55    Lời giải P        B    I      E  C  D  O  A        Gọi Ilà giao điểm của PC và BD Kéo dài PB cắt AC tại điểm E.   Ta có:   Hai điểm B và E liên hợp với nhau đối với đường trịn (O).   Mà BDCE nênđườngđốicựccủađiểmEđốivớiđườngtrịn(O)làđườngthẳngBD.  VậyhaiđiểmE và D liên hợp với nhau đối với (O)  Nên suy ra (EDCA) = -1 hay P(EDCA) =-1.  Mà ta có PA // BD suy ra IB = ID.   Vậy PC đi qua trung điểm của BD.  Bài tốn 3:Cho đường (O) đường kính AB và đường thẳng d vng góc với  AB tại I ở ngồi đường trịn. Điểm M thay đổi trên (O) MA và MB cắt d lần  lượt tại P và Q; QA cắt (O) tại N. Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố  định.  Nhận xét: 56    Giảthiếtbàitốncóđườngtrịnvàđườngthẳng  dcốđịnh,điềuđólàm  xuất  hiện suy nghĩ rằng điểm cố định cần tìm có thể là cực của một đường thẳng cố  định  đốivớimộtđườngtrịnchotrước.Dođó,khaitháctínhchấtcủacựcvàđường  đốicựcđốivớiđườngtrịncũnglàmộthướngtiếpcậntrongbàitốnnày Lời giải d      Q    M      I  A  E  O  B      N    P      Đặt  E  AO  MN   Xét ∆BQP ta có: AM  QB ( chắn nửa đường tròn) AI  PQ      A là trực tâm của ∆BQP   QA  BP  hay  QN  BP   Mà  BN  QN (chắn nửa đường trịn)   P, N, B thẳng hàng.  Mặt khác ta có:  QElà đường đối cực của Pđối với đường trịn (O)nên E và P liên hợp với nhau  đối với đường trịn (O).  Mà  PQ  OE   Suy ra: Đường đối cực của E là QP  E cố định vì PQ cố định.  Vậy MN ln đi qua điểm E cố định.  Bài tốn 4: Cho  góc  xOy  cố  định  và  một  điểm  A  cố  định  nằm  trên  tia  Ox.  Đường tròn  (I)  thay  đổi  nhưng  luôn  tiếp  xúc  với với  hai  tia  Ox,Oy.Gọi  tiếp  57    điểm của (I) trên Ox,Oy lần lượt là B,C.Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D là  tiếp điểm , D khác B).OI cắt BD ở E.Gọi d là đường thẳng qua I và vng góc  với CE. Chứng minh rằng khi (I) di động (thỏa mãn điều kiện bài tốn) thì d  luôn đi qua một điểm cố định.   Lời giải x A d  B E I D  F O C y Xét cực và đối cực đối với (I).   d cắt Oy ở F.   Ta thấy:   Đường đối cực của F là CEđi qua E.   Đường đối cực của E sẽ đi qua F(1)   Đường đối cực của A là BDđi qua E.   Đường đối cực của E sẽ đi qua A(2)  Từ (1) và (2), suy ra: AF là đường đối cực của E    AF  EI  Mà EI là phân giác của góc xOy nên F cố định.  Bài tốn 5:Cho  đường  trịn  (O)  và  dây  cung  AB.  Từ  trung  điểm  I của  dây  cung  AB kẻ  hai  dây  cung  MN và  PQ.  Các  đường  thẳng  MP và  NQ cắt  dây  cung AB lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của JK.  Nhận xét: Đây là một bài tốn quen  thuộc,chúngta có thể chứng minh thơng qua  58    các  tam  giác  đồngdạng và  các góc bằng nhau.Tuy  nhiên,sử  dụng  khái  niệm  đường đối cực giúp lời giải trở nên hiệu quả hơn Lời giải Q M O A J K I B N P E D C x   Gọi D là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của đường trịn (O).   Khi đó,ta có AB chính là đường đối cực của điểm D đối với đường trịn (O)    I và D lhai điểm liên hợp với nhau đối với đường trịn (O).   Kẻ Dx OI suy ra : Dx chính là đường đối cực của điểm I đối với (O).   Mặt khác, I và C là hai điểm liên hợp với nhau đối với (O) nên C Dx.   Gọi E là giao điểm của PQ và Dx.   Khi đó hai điểm E và I liên hợp với nhau đối với (O).   (PQIE) = -1 hay C(PQIE) = -1.   Mà ta có JK // Cx suy ra IJ = JK.   Vậy I là trung điểm của đoạn thẳngJK.  Bài tốn 6:Trong mặt phẳng cho đường (O)cố định bán  kính R. Cho A, B là  hai điểm  cố  định  nằm  cố  định  trên  đường  tròn  (O)  sao  cho  3  điểm  A, B, O  khơng thẳng hàng. Xét một điểm C nằm trên C đường trịn (O), C khơng trùng  với A và B. Dựng đường trịn  O1  đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC ở  C;  dựng đường  tròn  O2   đi qua B và tiếp  xúc với đường thẳng AC ở  C.  Hai  đường trịn này cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Chứng minh rằng:  59    a)CD  R  b)Đường  thẳng  CDln  đi  qua  một  điểm  cố  định,  khi  điểm  C  di  động  trên  đường trịn (O) sao choC khơng trùng A và B.  Lời giải C O2 O1 O D S B A   O C  CB a) Ta có:                       O1C / / OO2   O2C  CB Tương tự, ta có:  O2C / / OO1     O O1 C O2  là hình bình hành, nên  O1 O2  đi qua trung điểm của OC  Mà  O1 O2  đi qua trung điểm của CDnên  O1 O2  // OD  Mặt khác:   O1 O2  CD nên  ODC  90  CD  OC (=R)   CD  R.  b) Ta có:                 (DA,DB) ≡ (DA,DC) + (DC,DB) ≡  2(CA, CB )  (OA, OB )  (mod )    A, D, O, B nội tiếp một đường trịn.    Ta có:   (O1 A, O1C )  (O2 A, O2C )   60    OD, AB, O1 O2  là tiếp tuyến tại C của (O) lần lượt là các trục đẳng phương của  từng cặp đường tròn (ADOB)và (COD), (O) và (ADOB), (O) và (COD).  Do đó 3 đường nói trên đồng quy tại điểm S.       Xét cực và đối cực đối với (O).  Vì đường đối cực của S phải đi qua C và vng góc với OS nên CD là đường  đối cực của S.  Vì S thuộc AB cố định nên CD sẽ đi qua cực của AB là một điểm cố định.  Bài tốn 7:ChotamgiácABCnộitiếptrongđườngtrịn(O).GọiDvàD’là  chân  hai  đường phân giác trong và ngồi của góc A. Gọi P là giao điểm của 2    tiếptuyếncủa(O)tạiBvàC.ChứngminhrằngcựccủađườngthẳngAPđốivới(O)  trung điểm của DD’ Lời giải     A   O          D’  E  B  C  D          P    Gọi E là trung điểm của DD’. Ta có:  Đường đối cực của điểm P là đường thẳng BC đi qua E.  Do vậy E và P là hai điểm liên hợp với nhauđối với đườngtrịn(O)  Mặt khác, do AD là đường phân giác của góc  BAC và AD A D’   Nên ta có  (D’DBC) = -1 (chùm tâm A).   Vì E là trung điểm của DD’ nên theo hệ thức Newton, ta có:  ED '2  ED  EB.EC   Xét ∆ADD’ với AE là đường trung tuyến. Ta có:   (1)  là  61    AE = ED = ED’  (3)  Từ (2) và (3) ta suy ra:  ED '2  ED  EB.EC    AE là tiếp tuyến của (O) tại điểm A. Do đó, E và A liên hợp với nhau đối  với đường trịn (O) (4)  Từ (1) và (4) suy ra; đường đối cực của điểm E đối với đường trịn (O) là  đường thẳng AP.    Nhưvậy,chương2củakhóa  luậnđãtrìnhbàynhữngứngdụngcủacực  và  đường  đối cực  trong  giải  các  bài  tốn hình  học  phẳng  như:chứng  minh tính  thẳng  hàng,  chứng  minh  tínhsong  song,  chứng  minhtính  vng  góc,  chứng  minh  điểm cố  định, chứng  minh  đồng quy. Có  thể nói, với  các hệ  thức liên  quan đến hàng điểm điềuhịa và các tính chất của đường đối cực có thể được  áp dụng để giải nhiều lớp bài tốn với lời giải hết sức đơn giản và thú vị.  KẾT LUẬN 62              Việc sử dụng cực và đối cực vào trong chương trình phổ thơng là một  cơng cụ rất hữu hiệu để giải quyết các bài tốn hình học. Đặc biệt là các bài  tốn liên quan đến tính vng góc, song song, đồng quy, thẳng hàng, điểm cố  định, Trên  cơ  sở  nghiên  cứu  ứng  dụng  của  cực  và  đối  cực  trong  giải  toán  hình học phẳng, khóa luận đã thu được một số kết quả sau:  Hệ thống hóa một số vấn đề cơ sở lý thuyết liên quan đến cực và đường  đối  cựcnhư hàng điểm điều  hịa, tỉ số kép, chùm đường thẳng, chùm  đường  thẳng điều hịa,tứ giác tồn phần,  Đặc biệt, lý thuyết về cực và đối cực được  trình bày trong một chương để làm rõ khái niệm phép đối cực, là cơ sở cho  việc vận dụng để chứng minh các bài tốn đồng quy, vng góc, song song,  thẳng hàng, điểm cố định   Làm rõ các tính chất liên quan đến cực và đối cực: tính chất của tứ giác  tồn phần, chùm đường thẳng điều hịa và đường đối cực đối với đường trịn  trong chứng minh các bài tốn hìnhhọc.  Tuyển chọn và phân loại các dạng tốn hình học có sử dụng cực và đối  cực trong giải ccác bài tốn chứng minh vng góc, chứng minh thẳng hàng,  chứng minh song song, chứng minh đồng quy,chứng minh điểm cố định.  Đối với mỗi dạng tốn trên, khóa luận đã đưa ra hệ thống các bài tốn  minh họa điển hình, phân tích những lợi thế của việc sử dụng cực và đối và các  khái niệm liên quan trong giảitốn. Đồng thời đưa ra được một số nhận xét về  cách chứng minh các bài tốn song song, vng góc, thẳng hàng, đồng quy,  điểm cố định,  thơng qua cực và đối cực.              TÀI LIỆU THAM KHẢO 63    [1] Văn Như Cương (2012), Hình học sơ cấp thực hành giải tốn, NXB  Đại học Sư phạm.  [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xn Bình (2014), Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10, NXB Giáodục.   [3] Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB  Giáodục.   [4]Đàm  Văn  Nhỉ,Văn  Đức  Chín,  Đảo  NgọcDũng,  Phạm  Minh  Phương,  Trần  Trung  Tình,  Nguyễn  Anh  Tuấn  (2015),  Hình học sơ cấp, NXB  Thơng  tin và Truyền thơng.  [5]  Nguyễn  Văn  Nho  (2013),  Tuyển tập Olympic toán học cácnướcĐơng Âu, NXBĐại học Quốc gia Hà Nội.  [6] Nguyễn Đăng Phất (2005), Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXB Giáodục.   [7] Đỗ Thanh Sơn (2006), Phépbiến hình mặt phẳng, NXB Giáodục.   [8] Trần Văn Tấn (2010), Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học sơ sở, NXB Giáo dục.  [9]Đào Tam (2012), Hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm.  [10] Tạp chí tốn học và tuổi trẻ, NXB Giáodục.               ... song song, tínhđồng quy, thẳng hàng,…Nhờ các kiến thức v? ?cực? ?và? ?đối? ?cực? ? màchúng ta có thể? ?giải? ?các bài tốn khó, phức tạp, thậm chí có những bài tốn  chỉ? ?giải? ?ược khi? ?sử? ?dụng? ?cực? ?và? ?đối? ?cực.  Việc vận? ?dụng? ?cực? ?và? ?đối? ?cực? ?vào  giải? ?một số dạng tốn? ?hình? ?học? ?phẳng? ?sẽ giúp? ?học? ?sinh tăng cường khả năng ... hướng dẫn, các giảng viên khác để hồn thiện về mặt nội dung? ?và? ?hình? ?thức  của khóa luận.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối? ?tượng:  nghiên cứu kiến  thứcvà  một sốdạng tốn? ?hình? ?học? ? phẳng? ?sử? ? dụngcực? ?và? ?đối? ?cực - Phạm vi: ứng? ?dụng? ?của? ?cực? ?và? ?đối? ?cực? ?trong? ?giải? ?một số dạng tốn? ?hình? ?... - Phạm vi: ứng? ?dụng? ?của? ?cực? ?và? ?đối? ?cực? ?trong? ?giải? ?một số dạng tốn? ?hình? ? học? ?phẳng.   Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa  luận trình  bày  những  kiến thức  cơ  bản  về  cực? ? và? ? đối? ? cực? ? trong? ? mặt? ?phẳng? ?và? ?sử? ?dụng? ?chúng? ?trong? ?việc? ?giải? ?một số dạng tốn? ?hình? ?học? ?phẳng.