đề thi HSG toán 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7 CHUYÊN ĐỀ 1 CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề +Các phép toá[.]
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : HS cần nắm vững kiến thức sau trước nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất phép tốn : giao hốn; kết hợp; phân phối phép nhân phép cộng … Từ tính chất phép tốn ta chứng suy “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b) * Các Công thức b)c) HS tự chứng minh Ta gọi công thức đẳng thức đáng nhớ II DẠNG TOÁN : Dạng Các phép toán : + Khi cộng hay trừ phân số bước phải đưa phân số mẫu số cách : quy đồng ( mà thực chất nhân tử mẫu phân số với giá trị thích hợp ) rút gọn phân số , bước quan trọng đòi hỏi tư cao Qua số tập sau tìm hiểu kĩ giải vấn đề cách làm “đặc biệt “ Câu Cho số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1 Tính tổng : P x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy (HSG T.p HP – 1997) + Hướng dẫn giải : 1 1 - Ta có : P x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy x xy xyz ( nhân vào tử x xy xyz x xy xyz xy xyz x xyz x xy mẫu phân số với 1;x;xy;xyz nhớ xyzt = ) x xy xyz = 1 x xy xyz * Có thể làm theo cách khác sau : a b c d - Vì xyzt = nên ta đặt x ; y ; z ; t với a,b,c,d số thực khác Khi b c d a ta có : Biểu thức P biến đổi thành : 1 1 a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b 1 1 1 1 b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1 1 a a a b b b c c c d d d 1 1 1 1 b c d c d a d a b a b c bcd acd abd abc bcd acd abd abc acd abd abc bcd abd abc bcd acd abc bcd acd abd bcd acd abd abc bcd acd abd abc 1 Vậy P = * Chú ý : toán mà giả thiết cho biến số có tích , ta biến đổi a b c d cách làm (đặt x ; y ; z ; t ) b c d a A.B B ) Kĩ + Khi nhân ; chia phân số ta phải ý rút gọn “tử - mẫu “ ( A.C C tưởng đơn giản giúp ích lớn việc giải nhiều tốn khó Thật vây : Câu Tính : A (BD HSG tốn 8- T.77) 1 1986 + Hướng dẫn giải : n n 1 - Ta có : ( nhớ n ) A 1 1986 1 1 1 1 1986 1986 1 1 2.3 3.4 1986.1987 1987.1986 10 1987.1986 10 27 1987.1986 ;(1) 12 20 1987.1986 Mặt khác : 1986.1987 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) (2) ta có : 4.1 5.2 6.3 1988.1985 A 2.3 3.4 4.5 1986.1987 4.5.6 1988 (1.2.3 1985) (2.3.4 1986) (3.4.5 1987) 1987.1988 1.2 2.3 1986.1987 1988 994 1986.3 2979 * Lưu ý : Bài toán tổng quát : Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1 A 1 với n số tự nhiên lớn n + Với tốn có chứa luỹ thừa , cần ý số công thức sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = ; a1 = a 1) am.an = am + n am 2) am : an = am – n ( hay : n a m n ) a 3) (am)n = am.n 4) (a.b)n = an.bn n an a 5) n b b 6) a-n = n a ( Với điều kiện tương ứng có nghĩa ) 219.27 15.49.94 Câu Rút gọn : ( HSG quốc gia – 1971) 69.210 1210 + Hướng dẫn giải : 18 219.27 15.49.94 219.33 5.218.39 2.1 5.1.3 5.36 734 367 - Ta có : 10 10 19 10 20 18 12 3 3.4 10206 5103 2.1 3.2 Câu Rút gọn : A = + + 52 + 53 + … + 550 (NC&PT toán 7/T11) + Hướng dẫn giải : - Ta có : 5.A = + 52 + 53 + 54 + … + 551 551 Do : 5.A - A = 551 - Vậy A = * NX : Với biểu thức A người ta cịn thường tốn : Chứng minh A số chẵn hay chứng minh A chia hết cho chứng minh A không số nguyên Các em thử tìm lời ? Dạng Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : a b c 0 Câu Cho ba số a , b ,c đôi khác thoả mãn hệ thức : b c c a a b a b c 0 Chứng minh : ( HSG toán – 1999 – A ) 2 (b c) (c a) (a b) + Hướng dẫn giải : a b c ab b ac c - Từ giả thiết suy : , nhân hai vế với ta : b c a c a b a c a b b c a ab b ac c (b c) a c a b b c Tương tự : c a cb c ab a a c b c a b a b ca a cb b a c b c a b Cộng theo cột hai vế ba đẳng thức ta có ĐPCM Câu Chứng minh a,b,c khác : Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS b c c a a b 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a + Hướng dẫn giải : - Ta có : a c b a b c ; a b a c a b a c a b a c (Các toán chọn lọc …) a b 1 c a 1 ; c a c b c a c b b c b a b c b a Cộng theo vế kết vừa tìm , suy ĐPCM Tương tự : Dạng Tốn tìm x : Câu Tìm số hữu tỉ x , biết : x x x x 1 2000 2001 2002 2003 ( NC&PT toán -tập 1) + Hướng dẫn giải : - Ta cộng vào hai vế đẳng thức với giá trị , : x x x x 1 2000 2001 2002 2003 x4 x 3 x2 x 1 1 1 1 1 2000 2001 2002 2003 x 2004 x 2004 x 2004 x 2004 0 2000 2001 2002 2003 1 1 x 2004 0 2000 2001 2002 2003 1 1 0 ( hiển nhiên) nên x + 2004 = hay x = -2004 Vì 2000 2001 2002 2003 * Nhận xét : Với hệ thức chứa phân số có quy luật ( + 2000 = + 2001 = + 2002 = + 2003 = 2004 ) kĩ biến đổi cơng cụ hữu hiệu để giải toán x-ab x ac x bc a b c với a b; b c; c a Câu Tìm x , biết : a+b a c b c + Hướng dẫn giải : Đẳng thức cho tương đương với : x-ab x ac x bc a b c 0 a+b a c b c Quy đồng mẫu số dấu ngoặc đặt thừa số chung ta : 1 x-ab-ac-bc 0 a b b c c a 1 0 x = ab + bc + ca ; Từ a b b c c a 1 0 có vơ số giá trị x thoả mãn toán Nếu a b b c c a III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : * Các :1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45;47 - NC&PT tốn 207207 1) Tính : 201201 Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1999 199 99 ( TQ : ) (BD HSG toán 8- trang 73) 9995 99 995 1 2002 3) Tính : M (HSG toán T.p HP– 2002 – A) 2001 2000 1999 2001 1 1 4) Rút gọn : A = 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 5) Rút gọn : B = ( HSG toán T.p HP– 1999 – A) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 2) Rút gọn phân số : 6) Rút gọn : N 1 1 2.4 4.6 6.8 2006.2008 7) Biết xyz = Hãy tính tổng : 5 A= ;( KQ = 5) (HSG toán – 2001 – A) x xy y yz z zx 8*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh : 1992 x y z 1 ( BD HSG toán – trang 77) xy 1992 x 1992 yz y 1992 xz z 3 9) Tính : a) 1 : 1 3 b) 3.6 :13 c) 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 ( HSG quận Ba Đình HN – 2005) 315 x 313 x 311 x 309 x 0 ( HSG q Hoàn Kiếm HN – 2004) 101 103 105 107 11) Tìm x , biết : a ) x x 10 12 10) Tìm x,biết : 1 1 1 ( HSG Quận - T.p HCM – 2003) b) x 8 8 8 a b c c) x b c c a a b 12) TÍnh : a ) A 1 1999 2000 2001 2002 2003 b) B 1 1 1 1 1 16 25 121 ( HSG Quận - T.p HCM – 2003) 1 2 13) a)Tính : 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 x 3x 0, 25 xy c) Cho A TÌm giá trị A , biết x = y số nguyên âm lớn x y Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + = 117 15) Thực phép tính : 111 2 1,5 14 31 19 1: 1 1 93 12 6 3 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 1 a ( a b) a c b b a b c c c b c a ( HSG quốc gia – 1963) 17) Gọi n số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : 1 ( HSG quốc gia – 1978) n 1 18) Cho a,b,c số thực có tích Chứng minh : 1 1; a) a ab b bc c ca 1 1 1 1 1 1 b) a b c a b c ( Toán tuổi thơ 2- số 51) b c a b c a 19) TÌm tất số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức : b c a ( Toán tuổi thơ 2- số 51) a b b c c a a b x a c x b c x 4x 1 20) Cho abc 0 a + b + c 0 TÌm x , biết : c b a a b c 1 21) Cho x,y,z số khác không x y z Chứng minh : y z x 2 Hoặc x = y = z x y z = 16) Thực phép tính : IV HƯỚNG DẪN GIẢI : 207207 207 69 201201 201 67 1 103 1999 2.10 2 2) 10 9995 10 10 103 2 1) Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1 1 2002 3) M 2001 2000 1999 2001 1 Đặt A = ; 2002 2001 2000 1999 B= , ta có : 2001 2000 1999 2002 B ( 1) ( 1) ( 1) 2001 2002 2002 2002 2002 2002 2001 2002 1 2002 2002 2 A Vậy M B 2002 * Tương tự ta có tốn sau : Bài tốn : Tính giá trị biểu thức: 1 1 97 99 a) A 1 1 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 99 100 b) B 99 98 97 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: 1 1 1 100 100 100 100 (1 ) ( ) ( ) ( ) 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 100 100 100 99 99 100 99 100 100 100 b) Biến đổi số chia: 99 99 1 1 1 100 100 99 1 100 99 99 100 2 2 Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy B 100 1 4) Áp dụng đẳng thức : ( a 0), ta có : a a a(a 1) 1 1 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1 2009 1 2010 2009 2010 2010 1 1 5) Áp dụng kết : , ta có : a (a 1) (a 1)(a 2) a (a 1)(a 2) Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000 1 1 1999.2000 1999.2000 2.1999.2000 6) Hãy điền vào trống để có đẳng thức : 1 , sau áp dụng kết a(a 2) nhận vào giải toán * Chú ý : Từ kết 4,5,6 ta rút số quy luật ( Công thức ) sau : 1 1) n(n 1) n n k 1 k 2) n(n 1) n n 1 1 1 3) n( n k ) k n n k k 1 4) n( n k ) n n k 1 1 1 5) 2n(2n 2) 4n(n 1) 2n 2n n n 1 1 1 6) (2n 1)(2n 3) 2n 2n 1 2 7) n.(n 1) n ( n 1).n 1 1 8) a (a 1) (a 1)(a 2) a (a 1)(a 2) (Trong đó: n, k N , n ) 7) Nhân tử mẫu phân số với 1; x ; xy với ý xyz = , ta : x xy 5 5 5x 5xy A 5 x xy y yz z zx x xy xy x x xy x xy * Chú ý : Cũng đặt phần ví dụ mẫu 1992 8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy : xy (2) , thay (1) (2) vào vế trái đẳng thức z : Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1992 x y z xy 1992 x 1992 yz y 1992 xz z 1992 x y z 1992 1992 x 1992 yz y xyz xz z z xz y z xz z y ( z xz ) xz z xz z xz z z xz xz z 1 xz z xz z 1 VP 3 4 2 16 2 : 9) a) 1 : 1 1 : 27 VT 3 2 3 3 b) 3.6 :13 :13 3 :13 3 3.2 1 :13 3 13 :13 3 27 c) 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 1 1 1 1 10 90 72 56 42 30 20 12 10 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 1 1 10 90 72 56 42 30 20 10 1 1 90 72 56 42 30 9 10 10 0 10) Tìm x , biết : 315 x 313 x 311 x 309 x 0 ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 101 103 105 107 2004) + Làm tương tự Câu : 315 x 313 x 311 x 309 x 0 101 103 105 107 315 x 313 x 311 x 309 x 1 1 1 0 101 103 105 107 416 x 416 x 416 x 416 x 0 101 103 105 107 1 416 x 0 101 103 105 107 1 Vì > nên dẫn đến 416 – x = hay x = 416 101 103 105 107 Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 11) Tìm x , biết : a) Kết : x = 48 1 1 1 b) x 8 8 8 1 1 x : 8 8 1 8 1 x 64 x 64 9 x ;x 64 64 a b c c) x b c c a a b + Theo tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c a b c b c c a a b 2 a b c x 12) TÍnh : a ) A 1 1999 2000 2001 2002 2003 Vậy x = b) B 1 1 1 1 1 16 25 121 a) b) Từ đến 121 có số phương : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên : B 1 1 1 1 1 16 25 121 15 24 35 48 63 80 99 120 ( ).( ).( ).( ).( ) 16 25 36 49 64 81 100 121 20 35 54 25 54 54 ( ).( ) ( ) 10 21 36 55 27 55 55 11 1 2 7 13) a) Ta có : 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 3 15 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 + Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200 x 3x 0, 25 xy A c) Cho TÌm giá trị A , biết x = y số nguyên âm lớn x y ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) + Vì y số nguyên âm lớn nên y = -1 với x = thay vào biểu thức A , : Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 3 2 1 1 1 4 1 9 3 9 4 2 2 8 A : 6 2 1 1 2 x x +1 x+2 14) Tìm x , biết : + + = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) x x +1 x+2 +3 +3 = 117 3x(1 + + 32) = 117 13.3x = 117 3x = 117 : 13 3x = 32 x = 15) Thực phép tính : 111 2 1,5 14 31 19 1: ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 1 1 93 12 6 3 1 16) Thực phép tính : a ( a b) a c b b a b c c c b c a ( HSG quốc gia – 1963) + 17) Gọi n số tự nhiên , tính tích sau theo n : 1 ( HSG quốc gia – 1978) n 1 + Ta có : n 1 n 1 n 1 n 1 x y z 18) Vì abc = nên ta đặt : a ; b ; c với x,y,z số khác Khi ta có : y z x a) Vế trái đẳng thức a) biến đổi thành : 1 yz zx xy yz zx xy 1; x x y y z z xy yz zx xy yz zx xy yz zx xy yz zx 1 1 1 y z z x x y Vậy ta có ĐPCM b) Vế trái đẳng thức b) biến đổi thành : x z y x z y x y z y z x z x y x y z y z x z x y ;(*) 1 1 1 y z z x x y z x xyz y Tương tự ta biến đổi vế phải đẳng thức b) biểu thức (*) suy ĐPCM 19) Đẳng thức cho tương đương với : 1 ;(*) a b c 1 1 1 b c a a b c Đặt x ; y ; z ta có x,y,z số dương thoả mãn xyz = Khi ta có : b c a Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS * 1 x 1 y 1 z 1 xy yz zx x y z 0 ( quy đồng mẫu số , khai triển tích rút gọn với ý xyz = ) xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - = (x -1)(y - 1)(z - 1) = x = y = z = a b b c c a 20) Biến đổi đẳng thức cho tương đương với : 1 a b c x 0 a b c a b c 1 0 x = a + b + c Nếu : a b c a b c 1 0 có vô số giá trị x thoả mãn Nếu a b c a b c 1 y z 21) Từ giả thiết ta có : x y z y yz y x z x ;y z Tương tự : x z yx zx Nhân theo vế ba đẳng thức : x y x z y z x y x z y z x2 y z Đẳng thức xảy x2y2z2 = x = y = z Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS ... :1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26; 27; 29;30;31;33;34;38;39;40;41;42;44;45; 47 - NC&PT toán 2 072 07 1) Tính : 201201 Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi lớp 6- – – THCS 1999 199 99 ( TQ : ) (BD HSG toán 8- trang 73 )... 1986.19 87 4.5.6 1988 (1.2.3 1985) (2.3.4 1986) (3.4.5 19 87) 19 87. 1988 1.2 2.3 1986.19 87 1988 994 1986.3 2 979 * Lưu ý : Bài toán tổng quát : Tài liệu sử dụng cho ôn luyện học sinh giỏi. .. 1 2.3 3.4 1986.19 87 19 87. 1986 10 19 87. 1986 10 27 19 87. 1986 ;(1) 12 20 19 87. 1986 Mặt khác : 1986.19 87 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 –