Đề thi học sinh giỏi Toán 7 – Huyện Hoằng Hoá năm học: 2012 201343496

đề thi HSG toán huyện hoằng hoá Năm học: 2012-2013 Câu 1(4,5 điểm) a/ Tính giá trị biểu thøc : M    3,5  :  4    7,5 7    1 b/ T×m x biÕt : 2 x  3  16 c/ T×m x, y biÕt r»ng : 2 x   2012  3 y   2014 0 C©u (4,5 điểm) a/ Tìm đa thức M biết : M  5 x  xy  x  xy  y b/ Tìm giá trị lớn biểu thức : B  c/ T×m x, y, z biÕt : x2  y  x2  y  x y y z  ;  vµ x – y + z = 49 C©u (5,0 điểm) a/ Tìm hai số hữu tỷ a vµ b biÕt a  b  a  b a : b b/ Tìm giá trị nhá nhÊt cđa bĨu thøc : M  2012  x  2013  x c/ Chøng minh r»ng kh«ng tồn số tự nhiên n để n2 + 2002 số phương Câu (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía tam giác ABC tam giác vuông A : ABD, ACE cho AB = AD, AE = AC KỴ AH vu«ng gãc víi BC, DM vu«ng gãc víi AH, EN vu«ng gãc víi AH a/ Chøng minh DM = AH b/ Chøng minh MN ®i qua trung ®iĨm cđa DE Câu (2,0 điểm) : Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác cho MA : MB : MC = 3:4:5 TÝnh sè ®o góc AMB Hết ThuVienDeThi.com Đáp án Toán Nội dung Câu Điểm 1 7 25 22 15   a/ M    3,5  :  4    7,5     :  7     3 2  35 43 15 35 42 15 245 15 490 645 155 69 M :         1 42 43 43 86 86 86 86 2 2 x  3  2 x    x  3,5   b/ 2 x  3  16     x  0,5 x   4 2 x  32  4 2    1,5 1,5 VËy : x = 3,5 ; x = -0,5 C©u c/ 2 x  2012  3 y  2014  4,5 2012 2 x    2012 2014  2 x    3 y    Ta cã :  2014 3 y   Mµ 2 x   2012 0  3 y   2014  => 2 x    2 x  2012   x  2 =>  VËy   2014 3 y     y  1  2012  3 y   2014 0 1,5   x  2   y  1  a/ M  5 x  xy  x  xy  y  M  x  xy  y  5 x  xy  => M  x  xy  y  x  xy  x  11xy  y 1,5 x2  y  x2  y   1   1 2 2 x  y 2 x  y 2 x  y2  B lín nhÊt x  y  nhá nhÊt b/ B   x   x  y   => x  y  nhá nhÊt b»ng 2, x = Ta cã   y  1,5 C©u y=0 4,5 Khi ®ã B lín nhÊt =  2 x y y z x y y z c/  ;  =>  ;  => 10 15 15 12 x y z x yz 49      7 10 15 12 10  15  12 1,5 => x = -70 ; y = -105 ; z = -84 a/ Tìm hai số hữu tỷ a vµ b biÕt: a  b  a  b   a : b (1) C©u Tõ a  b  a  b   a  b  2a  2b  a 3b a 3b 5,0 Mặt khác : a  b  a : b  3b  b  3b : b  4b  3  b  ThuVienDeThi.com 2,0 => a  3  VËy : a  9 ;b 4 b/ Tìm giá trị nhá nhÊt cđa bĨu thøc : M  2012  x  2013  x Sư dơng : A  B  A  B DÊu “=” x¶y A,B cïng dÊu (*) Ta cã : M  2012  x  2013  x  2012  x  x  2013  2012  x  x  2013  1  1,5 VËy M (min) = ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ => 2012 ≤ x ≤ 2013 NhËn xÐt : NÕu sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho a ( số nguyên tố) chia hết cho a2 Giả sử A = n2 + 2002 số chỉnh phương - Xét trường hợp : n số ch½n => n = 2k => n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002 Ta cã : 4k2 chia hÕt cho , 2002 chia hÕt cho => A chia hÕt cho => A chia hÕt cho Do 4k2 chia hÕt cho 4, 2002 không chia hết cho => A không chia hết cho 4(loại) - Xét trường hợp : n số lẻ => n = 2k +1 => A số phương lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + chia cho d­ Mµ : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho dư ( loại) Vậy không tồn số tự nhiên n để n2 + 2002 số phương Hình vẽ 1,5 E N I Câu 4,0 M D 2,0 1 A B H C ThuVienDeThi.com a/ Chøng minh DM = AH XÐt MAD vµ HBA cã ฀AMD  BHA ฀  900 (gt) (1) AD = AB (gt) (2) ฀  ฀A  900  D  1 ฀ ฀   D1  A2 (3) ฀A  ฀A  90   Tõ 1,2,3 => MAD = HBA (C¹nh hun – gãc nhän) => DM = AH ( Hai cạnh tương ứng)(ĐPCM) (4) b/ Chứng minh MN ®i qua trung ®iĨm cđa DE Chøng minh t­¬ng tù câu a => EN = AH (5) Gọi giao điểm MN DE I C/m : MID = NIE (Cạnh góc vuông góc nhọn) 2,0 ID = IE (Hai cạnh tương ứng) I trung ®iĨm cđa DE => MN ®i qua trung ®iĨm I cđa DE (§PCM) A Do MA : MB : MC : : => Đặt MA MB MC   a N => MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác AMN => AM = AN = MN = 3a vµ ฀AMN  600 XÐt ABN vµ ACM cã AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2) C©u 2,0 ฀A  ฀A  600   ฀ ฀   A1  A3 (3) ฀A  ฀A  600   3a M 5a 4a Tõ 1,2,3 => ABN = ACM (c.g.c) => BN = CN = 5a XÐt BMN cã BN2 = (5a)2 = 25a2 B 2 2 BM + MN = (4a) + (3a) = 25a => BN2 = BM2 + MN2 =>  BMN vuông M (đ/l pytago đảo) 900 => NMB ฀ Suy : ฀AMB  ฀AMN  NMB  900  600  1500 ThuVienDeThi.com 2,0 C Phßng giáo dục đào tạo Huyện Hoằng hóa đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012 Môn toán - líp Thêi gian lµm bµi : 120 phó t( không kể thời gian giao đề) Bài 1( 4.0 điểm): a) Cho biÓu thøc : M  a  2ab b Tính giá trị M với a 1,5 ; b = - 0,75 b) Xác định dÊu cđa c, biÕt r»ng 2a 3bc tr¸i dÊu víi  3a b c Bµi 2( 4.0 điểm): a) Tìm số x, y, z biết r»ng: x y y z  ;  vµ 2x – 3y + z = b) Cho d·y tØ sè b»ng : 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a  Tính giá trị biểu thức M, víi M  cd d a ab bc Bµi 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = – x2 a) H·y tÝnh : f(0) ; f(  ) b) Chøng minh : f(x – 1) = f(1 x) Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đ-ờng trung tuyến AM Qua A kẻ đ-ờng thẳng d vuông góc với AM Qua M kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với AB AC, chúng cắt d theo thứ tự D E Chøng minh r»ng: a) BD // CE b) DE = BD + CE Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ sè cđa A vµ B, biÕt r»ng: 1 1      n.(1980  n) 1.1981 2.1982 25.2005 1 1      B m.(25  m) 1.26 2.27 1980.2005 A Trong A có 25 số hạng B có 1980 số hạng Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy ®iÓm D 1฀ ฀ cho: CD = BD Chøng minh r»ng: BAD  CAD HÕt ThuVienDeThi.com H-íng dÉn chÊm to¸n lơp Phòng giáo dục đào tạo Hoằng hóa Câu HD chấm a.(2.5đ) Ta có: a  1,5  a  1,5 a  1,5 Với a = 1,5 b = -0,75 M  a  2ab  b = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = Với a = - 1,5 b = - 0,75 M  a  2ab  b = Câu b (1.5đ) Do 2a 3bc  3a b c trái dấu nên : a  0; b  0; c  (4,0đ) 2a 3bc (  3a b c ) < Vậy c > tức mang dấu dương 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ a( 2.0đ) 0.5đ  6a8b c3   a8b c3   c3   c  ( a8b4 > với a  0; b  ) Câu (4,0 đ) Điểm 0.5đ 1.0đ 1.0đ x y x y y z y z    ;    12 12 20 x y z 2x 3y z       12 20 18 36 20 0.5đ Theo tính chất dãy tỉ số ta có: 2x 3y 2x  3y  z z  3    18 36 20 18  36  20 0.5đ Suy x = 27; y = 36; z = 60 b.(2đ) Từ giả thiết suy 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 a b c d abcd abcd abcd abcd     a b c d 0.25đ 0.25đ * Nếu a + b + c + d = a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c) Khi M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 0.25đ 0.5đ * Nếu a + b + c + d  1 1    nên a = b = c = d a b c d Khi M = + + +1 = Câu 0.5đ a.(2.0đ) f(0) = – 02 = 2; ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.5đ 1.0đ (3,0 đ) 2 f(  ) = – ( ) = 1.0đ b.(1.0đ) f(x – 1) = – ( x – )2; f(1 – x ) = – ( – x )2 (x – 1) (1 – x) hai số đối nên bình phương Vậy – ( x – )2 = – ( – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x) 0.25đ 0.25đ 0.5đ Câu (4,0 đ) Câu (3,0 đ) a (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông: MA = MB Gọi H giao điểm MD AB Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy A nên đường trung trực, suy : DA = DB D Chứng minh MBD  MAD(c.c.c) H suy góc MBD = góc MAD = 900; DB  BC M B Tương tự ta có : EC  BC Vậy BD // CE (vì vng góc với BC), đpcm b (1,5đ) Theo câu a, DB = DA Tương tự, EC = EA Suy DE = DA + AE = BD + CE Ta có : 1 1  (  ) n(1980  n) 1980 n 1980  n 1 1  (  ) m(25  m) 25 m 25  m d 0.5đ E 0.5đ 0.25đ C 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Áp dụng tính A B ta được: 1 1 1 (       ) 1980 1981 1982 25 2005 1 1 1  [(    )  (    )] 1980 25 1981 1982 2005 1 1 1 B (       ) 25 26 27 1980 2005 1 1 1  [(    )(    )] 25 1980 26 27 2005 1 1 1  [(    )  (    )] 25 25 1981 1982 2005 A 1 Vậy  :  B 1980 25 396 A ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu (2,0 đ) Gọi M trung điểm DC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Ta có hai tam giác AMC EMD ฀ Vì MD = MC, MA = ME, ฀AMC  EMD ฀ ฀ Nên DE = AC, góc A3  DEM B Mặt khác , ฀ B ฀ ( theo tính chất góc ngồi tam giác) D A 0.25đ 23 M C D 0.25đ E mà B฀  C฀ ( tam giác ABC cân, đáy BC) ฀ C ฀ suy AC > AD nên D ฀ Từ DE > DA, suy ฀A2  DEM ,hay ฀A2  ฀A3 Vì ฀A3  ฀A1 ( ABD  ACM ) ฀  ฀A  ฀A nên góc ฀A2  ฀A3  ฀A1  ฀A3 hay 2A 1฀ ฀ Suy BAD  CAD Chú ý : Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình, vẽ sai khơng chấm điểm ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm)  4   3  a) Tính giá trị biểu thức A    :    :  5  5 b) Tính giá trị biểu thức B = 2x2 – 3x + với x  x y y z c) Tìm số x, y, z biết rằng:  ;  x + y + z = - 110 Câu 2: (4,5 điểm) a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng: 5 31   1  :   x   : 3,2  4,5.1  :  21  18 45   2  b) T×m x, biÕt: x  1 1  x  x  x   x   11x 12 20 110 c) Tính giá trị biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 x, y thỏa mãn: x  + (y + 2)20 = Câu 3: (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: 2: b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho : 2a + 37 = b  45 + b - 45 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh rằng: ADC = ABE ฀ = 600 b) Chứng minh rằng: DIB c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác : a1, a2, a3, … , a20 có tính chất sau: * a1 số dương * Tổng ba số viết liền số dương * Tổng 20 số số âm Chứng minh : a1.a14 + a14a12 < a1.a12 Hết Giám thị xem thi không giải thích thêm! ThuVienDeThi.com Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN Nội dung  4   3  A  :    :  5  5  4 3  =    : a  7 5 (1,5)  4 3     2         :  :    5  3  Vậy : A = Vì x  CÂU (4,5đ) Với b (1,5) 1 nên x = x = 2 x= Với x = - Điểm 0,75 0,5đ 0,25đ 0,75 1 thì: A = 2.( )2 – + = 2 0,25đ 1 thì: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 0,25đ Vậy : A=0 với x = 1 A=3 với x = 2 x y x y y z y z x y z    ;    Suy   14 14 35 14 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: c x y z xyz 110     = -2 (1,5) 14 35  14  35 55 Suy x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70 Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70 Từ 5 41 18 2) Ta có: :       5 18 41 Lạicó: CÂU a (4,5đ) (1,5)  :3,2  4,5.1 31  :  21    16  76  :   43   1  38  2  43 2  2           45     16 45      43 43  0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ThuVienDeThi.com 2 mà x  Z nên x {-4; -3; -2; -1} a) NhËn xÐt: VÕ trái đẳng thức nên vế phải  suy 11x  hay x  víi x  ta cã: 1 1 x  x  x  x   x   11x 12 20 110 b 1 1   x   11x (2,0)  x   x   x   x  12 20 110 10 suy x = 1= (TM) 11 11 10 Vậy:x = 11 20 1) Do x  ≥ 0; (y + 2) ≥  x  + (y + 2)20 ≥ với x, y Kết hợp x  + (y + 2)20 = suy x  = (y + 2)20 = c  x = 1; y = - (1,0) Giá trị biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 x = 1; y = - Do đó: - < x < là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = + 40 + 2015 = 2057 Vậy C=2057 Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c  Ta có  a + b + c  27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội 9, a + b + c = a + b + c = 18 a + b + c = 27 a a b c abc ; (1,5) Theo đề ta có:    Như a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18 Từ suy a = 3, b = 6, c = Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, CÂU hai số cần tìm là: 396; 936 (3,5đ) Nhận xét: Với x ≥ x + x = 2x 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25 0,25đ 0,25 0,25đ 0,25 0,5 đ 0,25 0,25 0,25 Với x < x + x = Do x + x ln số chẵn với  xZ 0,5 đ Áp dụng nhận xét b  45 + b – 45 số chẵn với b  Z b Suy 2a + 37 số chẵn  2a lẻ  a = (2,0) Khi b  45 + b – 45 = 38 + Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38  = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19  b = 64 (TM) (a; b) = (0; 64) CÂU a (6,0đ) (1,0) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 E A D K I C B ฀ ฀  BAE Ta có: AD = AB; DAC AC = AE Suy ADC = ABE (c.g.c) ฀ ฀ Từ ADC = ABE (câu a)  ABE ,  ADC b ฀  AKD ฀ mà BKI (đối đỉnh) (1,5) ฀  DAK ฀ Khi xét BIK DAK suy BIK = 600 (đpcm) 0,75 0,25 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ E A D N J c (1,5) K M I C B ฀ ฀ Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN ACM  AEN ฀ ฀  EAN ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN CAM ฀ ฀ = 600 Do AMN MAN  CAE d Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB  BIJ  BJ = BI (2,0) JBI ฀  DBA ฀ ฀  JBD ฀ , kết hợp BA = BD = 600 suy IBA ฀  DJB ฀ ฀ = 600 IBA = JBD (c.g.c)  AIB = 1200 mà BID ฀  DIA = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < ; a1 > ; a2 + a3 + a4 > ; … ; a11 + a12 + a13 > ; a15 + a16 + a17 > ; a18 + a19 + a20 > => a14 < CÂU Cũng : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (1,5) (1,5đ) (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < => a13 + a14 < Mặt khác, a12 + a13 + a14 > => a12 > Từ điều kiện a1 > ; a12 > ; a14 < => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm) ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 0,25 Chú ý: +)Nếu HS làm theo cách khác cho điểm tối đa +)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm +)Câu 2a);3a) Nếu thiếu giá trị trừ 0,1 điểm +)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm ThuVienDeThi.com ... 1500 ThuVienDeThi.com 2,0 C Phòng giáo dục đào tạo Huyện Hoằng hóa đề thi học sinh giỏi - năm học 2011 -2012 Môn toán - lớp Thời gian làm : 120 phú t( không kể thời gian giao đề) Bài 1( 4.0 điểm):... f(0) = – 02 = 2; ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.5đ 1.0đ (3,0 đ) 2 f(  ) = – ( ) = 1.0đ b.(1.0đ) f(x – 1) = – ( x – )2; f(1 – x ) = – ( – x )2 (x – 1) (1 – x) hai số đối nên bình phương Vậy – ( x – )2... : Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình, vẽ sai khơng chấm điểm ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC