Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Hoằng Hóa năm học 20132014 môn thi: Toán14941

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 28/10/2013 PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)  x2 x    Cho biểu thức: P    :  x x 1 x  x 1  x  a Rút gọn biểu thức P b Tìm x để P  x 1 Với x > 0, x  2 c So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a Tính giá trị biểu thức: A 74  42 b Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 1 1    ba số a, b, c phải có số 2013 a b c 2013 Bài 3: (4,0 điểm) a Giải phương trình: x  x  x   30 b Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ab  bc  ca a  b2  c2  ( a  b  c )3 abc Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AH  BC, HE  AB, HF  AC ( H  BC, E  AB, F  AC) a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B b Chứng minh rằng: AB3 AC  BE CF c Chứng minh rằng: BC  CF  BE d Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF Bài 5: (2,0 điểm) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: Giám thị khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm II u cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a (2,0đ)Ta có:  x   x  x  x  x 1  x 1 P    : ( x  1)( x  x  1)    x  x 1 2  ( x  1)( x  x  1) x  x  x  b.(1,5đ) P (4điểm)  2    x x 6  x  x 1   x  ( x  3)   x  ( x   )  x = ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = c (0,5đ) 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ * Do x  x  =  x     nên P > 2  * Với x > x  x  nên x  x  > 1 suy ra: 1 P  2 x  x 1 x  x 1 Do đó: < P < nên P.(P – 2) <  P2 < 2P a.(2,0đ) A  (2  3)2  (1  3)2    1  (2  3)  (  1) (4điểm) =1 b (2,0đ)Từ giả thiết suy ra:  0,25đ 0,25đ 1.0 đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1 1 1 1     (  )(  )0 a b c abc a b c abc 0,5đ ab ab  0 ab c(a  b  c) 0,25đ ThuVienDeThi.com 0.5đ  (a  b)(b  c)(c  a )  a  b   b  c  c  a  (4điểm) 0,5đ Từ suy điều phải chứng minh a.(2,0đ) Đk: x  5 x  x  x   30  (x2 – 8x + 16) + (x + - x  + 9) =  ( x – 4)2 + ( x  - 3)2 =   x    x    x    0.25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy x = b.(2,0đ) Với x, y, z > Ta có: 0,25đ x y   (1) y x 1 +)    (2) x y z x yz +) +) x2 + y2 + z2  xy + yz + zx  x2  y  z  (3) xy  yz  zx Xảy đẳng thức (1), (2), (3)  x = y = z.Ta có: P ab  bc  ca 2  (a  b  c)2 (a  b  c) abc a b c (a  b  c) ab  bc  ca   (a  b  c  2ab  2bc  2ca ) abc a  b2  c2 Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ab  bc  ca  (a  b  c )  2.9 P 2 ab  bc  ca a b c  ab  bc  ca a  b  c  a  b2  c2     18   a  b  c ab  bc  ca    ab bc ca      18  28 2  Dấu “ =” xảy  a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c ab  bc  ca 2 0,25đ Vậy Min P = 28 a = b = c 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ ThuVienDeThi.com Cho tam giác ABC vuông A, AH  BC, HE  AB, HF  AC ( (6điểm) H  BC, E  AB, F  AC) e Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B f Chứng minh rằng: AB3 AC  BE CF g Chứng minh rằng: BC  CF  BE h Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF a.(2,0đ) A * AHB vng H, có HE  AB nên F AH = AB.AE (1) Tương tự: AH = AC.AF (2) E Từ (1) (2) suy ra: AB.AE = AC.AF * BH = AB.cosB; AB = BC.cosB C B H Suy BH = BC.cos2B b.(1,5đ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH; BH2 = AB.BE; CH2 = AC.CF AB 2 nên AC   0,25đ 0,25đ BH AB BH AB.BE    CH AC CH AC.CF AB3 AC  0,5đ BE CF 0,5đ c (1,5đ) Ta có BE = BH.cosB; BH = AB.cosB; AB = BC.cosB; Do đó: BE = AB.cos2B = BC.cos3B  BE2 = BC2.cos6B  0,25đ 0,5đ 0,25đ BE  BC cos B Tương tự ta có: CF  BC sin B  3 0,5đ BE  CF  BC (cos B  sin B)  BC A F E d (1,0đ) Ta có: SAEHF = AE.AF Lại có: AE  B H C O 0,25đ AH AB Tương tự: AF  AH AC 0,25đ ThuVienDeThi.com Do đó: S AEHF  Max SAEHF = 0,25đ AH AH AH AO3 a3 a      AB AC BC AH BC BC 2a 0,25đ a2  ABC vuông cân A Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên 0,25đ Suy ra: 2016k = a - 0,25đ 0,25đ Ta chứng minh a – không chia hết cho 0,25đ Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r  0;1; 1; 2; 2;3; 3 (2điểm) Trong tất trường hợp ta có a3 – khơng chia hết 0,5đ cho Mà 2016k chia hết cho 7, 0,25đ nên a3 –  2016k 0,25đ Bài toán chứng minh Hết Người làm đáp án: Người thẩm định: ThuVienDeThi.com Người duyệt: ... TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh. .. =1 b (2,0đ)Từ giả thi? ??t suy ra:  0,25đ 0,25đ 1.0 đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1 1 1 1     (  )(  )0 a b c abc a b c abc 0,5đ ab ab  0 ab c(a  b  c) 0,25đ ThuVienDeThi.com 0.5đ  (a ... Từ suy điều phải chứng minh a.(2,0đ) Đk: x  5 x  x  x   30  (x2 – 8x + 16) + (x + - x  + 9) =  ( x – 4)2 + ( x  - 3)2 =   x    x    x    0.25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy x