ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 28/10/2013 PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) x2 x Cho biểu thức: P : x x 1 x x 1 x a Rút gọn biểu thức P b Tìm x để P x 1 Với x > 0, x 2 c So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a Tính giá trị biểu thức: A 74 42 b Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 1 1 ba số a, b, c phải có số 2013 a b c 2013 Bài 3: (4,0 điểm) a Giải phương trình: x x x 30 b Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ab bc ca a b2 c2 ( a b c )3 abc Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC, E AB, F AC) a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B b Chứng minh rằng: AB3 AC BE CF c Chứng minh rằng: BC CF BE d Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF Bài 5: (2,0 điểm) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: Giám thị khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm II u cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a (2,0đ)Ta có: x x x x x 1 x 1 P : ( x 1)( x x 1) x x 1 2 ( x 1)( x x 1) x x x b.(1,5đ) P (4điểm) 2 x x 6 x x 1 x ( x 3) x ( x ) x = ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = c (0,5đ) 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ * Do x x = x nên P > 2 * Với x > x x nên x x > 1 suy ra: 1 P 2 x x 1 x x 1 Do đó: < P < nên P.(P – 2) < P2 < 2P a.(2,0đ) A (2 3)2 (1 3)2 1 (2 3) ( 1) (4điểm) =1 b (2,0đ)Từ giả thiết suy ra: 0,25đ 0,25đ 1.0 đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1 1 1 1 ( )( )0 a b c abc a b c abc 0,5đ ab ab 0 ab c(a b c) 0,25đ ThuVienDeThi.com 0.5đ (a b)(b c)(c a ) a b b c c a (4điểm) 0,5đ Từ suy điều phải chứng minh a.(2,0đ) Đk: x 5 x x x 30 (x2 – 8x + 16) + (x + - x + 9) = ( x – 4)2 + ( x - 3)2 = x x x 0.25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy x = b.(2,0đ) Với x, y, z > Ta có: 0,25đ x y (1) y x 1 +) (2) x y z x yz +) +) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx x2 y z (3) xy yz zx Xảy đẳng thức (1), (2), (3) x = y = z.Ta có: P ab bc ca 2 (a b c)2 (a b c) abc a b c (a b c) ab bc ca (a b c 2ab 2bc 2ca ) abc a b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ab bc ca (a b c ) 2.9 P 2 ab bc ca a b c ab bc ca a b c a b2 c2 18 a b c ab bc ca ab bc ca 18 28 2 Dấu “ =” xảy a b c ab bc ca a b c ab bc ca 2 0,25đ Vậy Min P = 28 a = b = c 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ ThuVienDeThi.com Cho tam giác ABC vuông A, AH BC, HE AB, HF AC ( (6điểm) H BC, E AB, F AC) e Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B f Chứng minh rằng: AB3 AC BE CF g Chứng minh rằng: BC CF BE h Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF a.(2,0đ) A * AHB vng H, có HE AB nên F AH = AB.AE (1) Tương tự: AH = AC.AF (2) E Từ (1) (2) suy ra: AB.AE = AC.AF * BH = AB.cosB; AB = BC.cosB C B H Suy BH = BC.cos2B b.(1,5đ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH; BH2 = AB.BE; CH2 = AC.CF AB 2 nên AC 0,25đ 0,25đ BH AB BH AB.BE CH AC CH AC.CF AB3 AC 0,5đ BE CF 0,5đ c (1,5đ) Ta có BE = BH.cosB; BH = AB.cosB; AB = BC.cosB; Do đó: BE = AB.cos2B = BC.cos3B BE2 = BC2.cos6B 0,25đ 0,5đ 0,25đ BE BC cos B Tương tự ta có: CF BC sin B 3 0,5đ BE CF BC (cos B sin B) BC A F E d (1,0đ) Ta có: SAEHF = AE.AF Lại có: AE B H C O 0,25đ AH AB Tương tự: AF AH AC 0,25đ ThuVienDeThi.com Do đó: S AEHF Max SAEHF = 0,25đ AH AH AH AO3 a3 a AB AC BC AH BC BC 2a 0,25đ a2 ABC vuông cân A Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên 0,25đ Suy ra: 2016k = a - 0,25đ 0,25đ Ta chứng minh a – không chia hết cho 0,25đ Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1; 2; 2;3; 3 (2điểm) Trong tất trường hợp ta có a3 – khơng chia hết 0,5đ cho Mà 2016k chia hết cho 7, 0,25đ nên a3 – 2016k 0,25đ Bài toán chứng minh Hết Người làm đáp án: Người thẩm định: ThuVienDeThi.com Người duyệt: ... TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Hướng dẫn chấm có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh. .. =1 b (2,0đ)Từ giả thi? ??t suy ra: 0,25đ 0,25đ 1.0 đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 1 1 1 1 ( )( )0 a b c abc a b c abc 0,5đ ab ab 0 ab c(a b c) 0,25đ ThuVienDeThi.com 0.5đ (a ... Từ suy điều phải chứng minh a.(2,0đ) Đk: x 5 x x x 30 (x2 – 8x + 16) + (x + - x + 9) = ( x – 4)2 + ( x - 3)2 = x x x 0.25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy x