ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 PHỊNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC VỊNG Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4 điểm): a) Cho số tự nhiên có chữ số chia hết cho Chứng minh hiệu lập phương chữ số số chia hết cho b) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2016 cho đa thức x 10 x 21 x x 1 8x : x 2 x 4 x x2 x Bài (4 điểm): Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = -1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có m( x )P > x+1 Bài (4 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của: 1 1 x y xy Bài (4 điểm): Cho ∆ABC vuông A (AB < AC) M trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vng góc BC cắt đường thẳng AC, AB H N Biết CH = a, BN = b Tính diện tích ∆ABC Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ - Hết Lưu ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….……… ThuVienDeThi.com Số BD: ……… HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VỊNG MƠN TỐN (2015-2016) Bài (4 điểm) câu điểm: a) Gọi số có chữ số : ab (a,b N ;0< a 9;0 b 9) Ta có: ab hay 10a + b suy (10a + b)3 1000a3 + b3 +3.10a.b(10a + b) (*) 1001a3 - a3 + b3 + 3.10a.b(10a + b) Ta có: 1001a3 (vì 1001 7) 3.10a.b(10a + b) (vì (10a + b) ) Suy : -a3 + b3 đpcm b) Ta có: P( x) x x x x 2016 x 10 x 16 x 10 x 24 2016 Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P( x) t t 3 2016 t 2t 2001 Do chia t 2t 2001 cho t ta có số dư 2001 Bài (4 điểm): a) ĐK: x 0; x x HS rút gọn P = 0,5 đ 4x x 3 1đ b) Với x 0; x x P = -1 4x + x - = x= x= 16 1đ c) Với giá trị x > 9, bất phương trình đưa dạng 4mx > x+1 (4m - 1)x > (*) Vì x > nên 4m – > Nghiệm bất phương trình (*) x > 1/(4m-1) Do để bất phương trình thỏa mãn với x > Từ ta m 0,5 đ 4m - > 4m 0,5 đ 0,5 18 Bài (4 điểm): Nhân vế cho 6xy ta được: 6y + 6x +1 = xy (x,y nguyên dương) Biến đổi phương trình ước số: (x – 6)(y – 6) = 37 (x,y nguyên dương) B Vai trò x,y bình đẳng nên giả sử : x ≥ y ≥ Suy ra: x -6 ≥ y -6 ≥ -5 / M Suy ra: x - = 37 y - =1 Giải : x = 43 ; y = ĐS:(43;7);(7:43) A Bài (4 điểm): H Ta có tam gác vng MHC MBN đồng dạng (góc nhọn) b MH HC MH a = = (do MB = MC) MB BN MC b N ThuVienDeThi.com / a C a.MC b ∆MHC vuông M: MH2 + MC2 = HC2 a.MC 2 +MC = a b ab a.MC a 2b2 a2 từ MH= = MC = MC = b a +b a +b a +b Hai tam gác vng MHC ABC đồng dạng (góc nhọn) MH HC MH HC = = (do BC = 2MC) AB BC AB 2MC 2ab MH 2a b a2 = (1) 2MC = AB = HC a +b a a +b a +b ∆ABC vuông A: AC2= BC2 - AB2 = (2MC)2 - AB2 4a b 2ab 4a b 4a b = 2(2), từ (1) (2) ta có diện tích = AC = a +b a +b a +b a +b B 2 3 1 2a b 2ab 2a b ∆ABC = AB.AC = 2 2 = 2 a +b a +b a +b D Bài (4 điểm): (Mỗi câu điểm) a) (2đ): DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) A E Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: 2 2 2 2 DE = AD + AE = (a – x) + x = 2x – 2ax + a = 2(x – ax) + a (0,5đ) MH= a = 2(x – )2 + a2 a2 2 (0,5đ) Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = BD = AE = a a D, E trung điểm AB, AC b) (2đ) : Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ (0,5đ) 2 (0,5đ) Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AB.AD – AD2) AB AB2 AB2 AB AB AB2 AD + )+ = – (AD – ) + 2 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC 2 = – (AD2 – -Thí sinh giải cách khác vẩn dạt điểm tối đa ThuVienDeThi.com (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) C ...HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VỊNG MƠN TỐN (2015-2016) Bài (4 điểm) câu điểm: a) Gọi số có chữ số : ab (a,b N ;0< a ? ?9; 0 b 9) Ta có: ab hay 10a + b suy (10a + b)3... Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC 2 = – (AD2 – -Thí sinh giải cách khác vẩn dạt điểm tối đa ThuVienDeThi.com (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) C ... tam gác vng MHC MBN đồng dạng (góc nhọn) b MH HC MH a = = (do MB = MC) MB BN MC b N ThuVienDeThi.com / a C a.MC b ∆MHC vuông M: MH2 + MC2 = HC2 a.MC 2 +MC = a b ab a.MC a 2b2 a2