Thông tin tài liệu
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH Đề thức ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09/01/2013 Câu (3,0 điểm) a (1,5 điểm) Cho x , Chứng minh rằng: P x 3x 3x số phương b (1,5 điểm): Chứng minh số nguyên tố p lớn viết dạng p = 6m , với m số tự nhiên Tìm số nguyên tố p cho p số nguyên tố Câu (3,0 điểm): Cho biểu thức: P x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a Rút gọn P b Tính P x 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (6,0 điểm): 2 10 x x a) (2,0 điểm) Giải phương trình: x 1 x 1 b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m cho m số vơ tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m b m c 3 1 1 x x 1 y y c) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x3 x x y y3 y2 Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn (O ; R), lấy điểm cố định A vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động (A ; R), cát tuyến (O) qua A H cắt (O) điểm thứ hai K Dựng trung trực đoạn HK cắt (O) B C Chứng tỏ H trực tâm tam giác ABC Tính số đo góc A tam giác ABC Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c ba số dương Chứng minh : a bc b ca c 2 ab - Hết ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Câu I (3,0 điểm) a ( 1,5 điểm) Cho x , Chứng minh rằng: P x 3x 3x số phương 1 3 x 1 x 1 3 1 3 1 3 1 2.x x 2.x x 0,75 đ 1 2.x x 1 3 0,75 đ 2x x 3x 3x P x 3x 3x 22 Vậy P số phương b (1,5 điểm): Chứng minh số nguyên tố p lớn viết dạng p = 6m , với m số tự nhiên Tìm số nguyên tố p cho p số nguyên tố 0,75 p 6m - Mọi p nguyên tố lớn 3, p không chia hết cho nên p 6m , p 6m p 6m hay p = 6m p 6m từ - Xét p>3 thay p = 6m vào biểu thức A= p thấy A3 (loại) thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận) p=2, A=33 (loại) 0,75 Câu (3,0 điểm): x x2 x x x x ( x 1)( x x ) Rút gọn P Tính P x 2 Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) Cho biểu thức: P d e f P a x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) x x 2x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) ( x 1) ThuVienDeThi.com 1,0 x 2 x 2 ( 1) b P ( x 1) 11 22 1 ( x 1) 1 1 ĐK: x 0; x : c P 1,0 ( x 1) ( x 1) 1,0 x 1 1 x 1 x 1 Học sinh lập luận để tìm x x Câu (6,0 điểm): Đại số 2 10 x x a) (2,0 điểm) Giải phương trình: x 1 x 1 1) 2,0đ Đk: x 1 Phương trình tương đương với x2 x x2 10 x 10 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x2 2 10 Đặt t , ta phương trình t t t t x 1 2x 5 (vô nghiệm) Với t , ta x 1 3 2x2 2 suy x Với t , ta x 1 3 2 b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m cho m số vơ tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m b m c a m b m c (1) Giả sử có (1) b m c m am (2) Từ (1), (2) (b2 ac) m (a m bc) a m bc Nếu a m bc m số hữu tỉ Trái với giả thiết! b ac b ac b3 abc a m bc bc am b3 a 3m b a m Nếu b m 0.5 0.5 b số hữu tỉ Trái với giả thiết! a a 0;b Từ ta tìm c = Ngược lại a = b = c = (1) ln Vậy: a = b = c = ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 1 1 x x 1 y y b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x3 x x y y3 y2 2) 2,0đ x Đk: y Hệ tương đương với x3 u x y Đặt ta hệ x v , y 1 x 4 y2 y 1 x x y y y u u 2v u 4u u v u 2uv u u 2v x 2 u y x Với ta (thoả mãn điều kiện) x y v 1, 1 y Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn (O ; R), lấy điểm cố định A vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động (A ; R), cát tuyến (O) qua A H cắt (O) điểm thứ hai K Dựng trung trực đoạn HK cắt (O) B C Chứng tỏ H trực tâm tam giác ABC Tính số đo góc A tam giác ABC (6,0 điểm) 4.1 + Ta có: Hai tam giác BHC BKC đối xứng với (2 đ) qua BC, nên chúng nhau, suy ra: 0,25 BHC BKC A G Vẽ tia CH cắt AB E tia BH cắt AC D BCK Ta có: BAK (góc nội tiếp chắn cung 0,25 D BK ) BCH BCK (CI đường cao tam E H giác cân HCK, vừa phân giác góc C) O I B Suy ra: BAK BCE 0,5 M 0 Mà BAK ABC 90 nên BCE ABC 90 K C Do đó: BEC 900 , nên CE đường cao thứ hai 0,5 F tam giác ABC H giao điểm hai đường cao AI CE tam giác ABC, H trực 0,5 tâm tam giác ABC 4.2 + Trường hợp H đường tròn (O): (4 đ) Kẻ đường kính FG (O) vng góc với dây BC M, M trung điểm 0,25 BC Trong đường tròn (O) hai dây AK FG song song nên chắn hai cung AG KF AG (1) 0,25 KF Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG hình bình hành, suy ra: ThuVienDeThi.com AG = OH (2) 0,25 Từ (1) (2) suy KF = HO, nên HKFO hình thang cân (2 đ) Mà BC trung trực HK nên trung trực OF, nên 0,25 R OM OM OF cos FOC FOC 600 2 OC BOC FOC 600 (góc nội tiếp góc tâm chắn cung Mà BAC BC) A P H Q K I E C D G (1 đ) O M + Trường hợp H (O) nửa đường tròn (A)chứa điểm O, đường kính PQ tiếp tuyến (O) A Khi tam giác ABC có góc nhọn góc tù (góc C tù chẳng hạn) AHB 900 , HBI IBK Ta có: HBI (đối xứng CAK qua BI), IBK (góc nội tiếp chắn cung KC), nên CAH AHB 900 , suy ra: BH AC D Vậy H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tương tự trên, ta có M trung điểm F B OF BAC 600 + Trường hợp H nửa đường trịn (A) đường kính PQ khơng chứa O: Khi A góc tù Ta chứng minh tương tự Q A H trực tâm tam giác ABC M trung điểm F bán kính OF P I M B C Suy MOC 600 BOC 1200 (1 đ) Mà BFC BOC 1200 (2 góc đối xứng qua O BC) BFC Nhưng BAC (góc nội tiếp chắn cung BKC K 1200 Vậy BAC Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c ba số dương Chứng minh : 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 H a bc Bài (2,5đ) b ca Áp dung Côsi : Suy : Tương tự : bc bc =abc 1) ( 2a a a a 2a ( dấu " = " a = b + c) bc abc b 2b ac abc c 2c ab abc b ca 0,25 0,25 0,25 c 2 ab ( dấu " = " b = c + a) ( dấu " = " c = a + b) c 2 ab dấu " =" không xảy 0,5 0,5 0,25 0,25 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức , ta : a bc 0,25 0,5 a bc b ca ThuVienDeThi.com c 2 ab 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Mơn: Tốn Câu I (3,0 điểm) a ( 1,5 điểm) Cho x , Chứng... 1) ThuVienDeThi.com 1,0 x 2 x 2 ( 1) b P ( x 1) 11 22 1 ( x 1) 1 1 ĐK: x 0; x : c P 1,0 ( x 1) ( x 1) 1,0 x 1 1 x 1 x 1 Học sinh lập luận... phân giác góc C) O I B Suy ra: BAK BCE 0,5 M 0 Mà BAK ABC 90 nên BCE ABC 90 K C Do đó: BEC 90 0 , nên CE đường cao thứ hai 0,5 F tam giác ABC H giao điểm hai đường cao
Ngày đăng: 31/03/2022, 21:29
Xem thêm:
