Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 huyện Phù Ninh năm học 2012 2013 môn: Toán49773

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH Đề thức ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09/01/2013 Câu (3,0 điểm) a (1,5 điểm) Cho x    , Chứng minh rằng: P  x  3x  3x  số phương b (1,5 điểm): Chứng minh số nguyên tố p lớn viết dạng p = 6m  , với m số tự nhiên Tìm số nguyên tố p cho p  số nguyên tố Câu (3,0 điểm): Cho biểu thức: P  x x2   x  x x  x ( x  1)( x  x ) a Rút gọn P b Tính P x   2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (6,0 điểm): 2 10  x   x  a) (2,0 điểm) Giải phương trình:       x 1  x 1 b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m cho m số vơ tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m  b m  c  3  1 1  x  x  1    y y  c) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x3  x  x    y y3 y2  Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn (O ; R), lấy điểm cố định A vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động (A ; R), cát tuyến (O) qua A H cắt (O) điểm thứ hai K Dựng trung trực đoạn HK cắt (O) B C Chứng tỏ H trực tâm tam giác ABC Tính số đo góc A tam giác ABC Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c ba số dương Chứng minh : a  bc b  ca c 2 ab - Hết ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Câu I (3,0 điểm) a ( 1,5 điểm) Cho x    , Chứng minh rằng: P  x  3x  3x  số phương 1    3 x  1   x   1  3      1      3 1 3 1 2.x  x   2.x  x   0,75 đ 1  2.x   x  1 3 0,75 đ  2x  x  3x  3x   P  x  3x  3x    22 Vậy P số phương b (1,5 điểm): Chứng minh số nguyên tố p lớn viết dạng p = 6m  , với m số tự nhiên Tìm số nguyên tố p cho p  số nguyên tố 0,75  p  6m   - Mọi p nguyên tố lớn 3, p không chia hết cho nên  p  6m  ,  p  6m   p  6m  hay p = 6m   p  6m  từ  - Xét p>3 thay p = 6m  vào biểu thức A= p  thấy  A3 (loại) thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận) p=2, A=33 (loại) 0,75 Câu (3,0 điểm): x x2   x  x x  x ( x  1)( x  x ) Rút gọn P Tính P x   2 Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x x2   x ( x  1) x ( x  2) x ( x  1)( x  2) Cho biểu thức: P  d e f P a  x( x  2)  2( x  1)  x  x x  x  x   x   x ( x  1)( x  2) x ( x  1)( x  2)  x x  2x  x  x  x ( x  1)( x  2) x ( x  1)( x  2) ( x  1)  x ( x  1)( x  2) ( x  1) ThuVienDeThi.com 1,0 x   2  x   2   (  1)   b P ( x  1) 11 22    1 ( x  1) 1 1 ĐK: x  0; x  : c P 1,0 ( x  1)  ( x  1) 1,0 x 1   1 x 1 x 1 Học sinh lập luận để tìm x  x  Câu (6,0 điểm): Đại số 2 10  x   x  a) (2,0 điểm) Giải phương trình:       x 1  x 1 1) 2,0đ Đk: x  1 Phương trình tương đương với  x2  x  x2 10 x 10  x          2 x 1  x 1 x 1   x 1  x 1 2x2 2 10 Đặt t  , ta phương trình t  t    t  t  x 1 2x 5  (vô nghiệm) Với t  , ta x 1 3 2x2 2   suy x   Với t   , ta x 1 3 2 b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m cho m số vơ tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m  b m  c  a m  b m  c  (1) Giả sử có (1)  b m  c m  am  (2) Từ (1), (2)  (b2  ac) m  (a m  bc) a m  bc Nếu a m  bc   m  số hữu tỉ Trái với giả thiết! b  ac b  ac  b3  abc   a m  bc  bc  am  b3  a 3m  b  a m Nếu b  m  0.5 0.5 b số hữu tỉ Trái với giả thiết! a  a  0;b  Từ ta tìm c = Ngược lại a = b = c = (1) ln Vậy: a = b = c = ThuVienDeThi.com 0.5 0.5  1 1  x  x  1    y y  b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x3  x  x    y y3 y2  2) 2,0đ  x  Đk: y  Hệ tương đương với    x3     u  x  y Đặt  ta hệ x v  ,  y  1 x 4 y2 y 1 x   x    y y y u  u  2v  u  4u   u     v  u  2uv  u  u   2v  x  2  u  y x   Với  ta  (thoả mãn điều kiện)  x y  v  1,   1  y Câu (6,0 điểm) Cho đường trịn (O ; R), lấy điểm cố định A vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động (A ; R), cát tuyến (O) qua A H cắt (O) điểm thứ hai K Dựng trung trực đoạn HK cắt (O) B C Chứng tỏ H trực tâm tam giác ABC Tính số đo góc A tam giác ABC (6,0 điểm) 4.1 + Ta có: Hai tam giác BHC BKC đối xứng với (2 đ) qua BC, nên chúng nhau, suy ra: ฀ ฀ 0,25 BHC  BKC A G Vẽ tia CH cắt AB E tia BH cắt AC D ฀ ฀  BCK Ta có: BAK (góc nội tiếp chắn cung 0,25 D ฀ ฀ ฀ BK ) BCH  BCK (CI đường cao tam E H giác cân HCK, vừa phân giác góc C) O I ฀ ฀ B Suy ra: BAK  BCE 0,5 M 0 ฀ ฀ ฀ ฀ Mà BAK  ABC  90 nên BCE  ABC  90 K C ฀ Do đó: BEC  900 , nên CE đường cao thứ hai 0,5 F tam giác ABC H giao điểm hai đường cao AI CE tam giác ABC, H trực 0,5 tâm tam giác ABC 4.2 + Trường hợp H đường tròn (O): (4 đ) Kẻ đường kính FG (O) vng góc với dây BC M, M trung điểm 0,25 BC Trong đường tròn (O) hai dây AK FG song song nên chắn hai cung ฀  ฀AG  KF  AG (1) 0,25 KF Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG hình bình hành, suy ra: ThuVienDeThi.com AG = OH (2) 0,25 Từ (1) (2) suy KF = HO, nên HKFO hình thang cân (2 đ) Mà BC trung trực HK nên trung trực OF, nên 0,25 R OM ฀ ฀ OM  OF   cos FOC    FOC  600 2 OC ฀ ฀ ฀  BOC  FOC  600 (góc nội tiếp góc tâm chắn cung Mà BAC BC) A P H Q K I E C D G (1 đ) O M + Trường hợp H (O) nửa đường tròn (A)chứa điểm O, đường kính PQ tiếp tuyến (O) A Khi tam giác ABC có góc nhọn góc tù (góc C tù chẳng hạn) ฀  ฀AHB  900 , HBI ฀  IBK ฀ Ta có: HBI (đối xứng ฀  CAK ฀ qua BI), IBK (góc nội tiếp chắn ฀ ฀ cung KC), nên CAH  AHB  900 , suy ra: BH  AC D Vậy H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tương tự trên, ta có M trung điểm F B ฀ OF BAC  600 + Trường hợp H nửa đường trịn (A) đường kính PQ khơng chứa O: Khi A góc tù Ta chứng minh tương tự Q A H trực tâm tam giác ABC M trung điểm F bán kính OF P I ฀ ฀ M B C Suy MOC  600  BOC  1200 (1 đ) ฀ ฀ Mà BFC  BOC  1200 (2 góc đối xứng qua O BC) ฀ ฀  BFC Nhưng BAC (góc nội tiếp chắn cung BKC K ฀  1200 Vậy BAC Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c ba số dương Chứng minh : 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 H a  bc Bài (2,5đ) b  ca Áp dung Côsi : Suy : Tương tự : bc bc =abc  1)  ( 2a a a a 2a ( dấu " = " a = b + c)  bc abc b 2b  ac abc c 2c  ab abc b  ca 0,25 0,25 0,25 c 2 ab ( dấu " = " b = c + a) ( dấu " = " c = a + b) c 2 ab dấu " =" không xảy  0,5 0,5 0,25 0,25 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức , ta : a  bc 0,25 0,5 a  bc b  ca ThuVienDeThi.com c 2 ab 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Mơn: Tốn Câu I (3,0 điểm) a ( 1,5 điểm) Cho x    , Chứng... 1) ThuVienDeThi.com 1,0 x   2  x   2   (  1)   b P ( x  1) 11 22    1 ( x  1) 1 1 ĐK: x  0; x  : c P 1,0 ( x  1)  ( x  1) 1,0 x 1   1 x 1 x 1 Học sinh lập luận... phân giác góc C) O I ฀ ฀ B Suy ra: BAK  BCE 0,5 M 0 ฀ ฀ ฀ ฀ Mà BAK  ABC  90 nên BCE  ABC  90 K C ฀ Do đó: BEC  90 0 , nên CE đường cao thứ hai 0,5 F tam giác ABC H giao điểm hai đường cao