Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia vòng 2 lớp 12 THPT năm học 2011 2012 môn: Toán31791

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA VÒNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 21/10/2011 Câu (4 điểm): Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y )  ( xy  yz  zx) ( x  y )( y  z )( z  x) Câu (5 điểm): Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Các tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt K M điểm di động (O) (M không trùng với A, B), đường thẳng AM cắt đường tròn (O’) P Đường thẳng KM cắt đường tròn (O) C, đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) Q Chứng minh rằng: a Đường thẳng MC qua trung điểm đoạn thẳng PQ b Đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường tròn (O) Câu (4 điểm): Tìm hàm số f: ℚ→ℝ thoả mãn: f(x+y) = f(x).f(y) – f(xy) + 1; ∀x, y ∈ ℚ Câu (4 điểm): u  u  a) Cho dãy số Fibonacci xác định sau:  ∀n≥3 un  un   un 1 Chứng minh với số tự nhiên n≥3 un 1 un  nguyên tố b) Với số nguyên tố p nguyên tố với 10, chứng minh hai số u p 1 u p 1 có số chia hết cho p Câu (3 điểm): Tìm số dãy số  x1 , x2 , , x2012  với xi  1, 2,3 , i = 1; 2; …; 2012 thoả mãn điều kiện: x1  x2012  Và xi  xi 1 , i = 1; 2; …; 2011 -Hết Chú ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn