Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm học 20122013 môn thi: Toán33467

www.VNMATH.com S GIAO DUC VA AO TAO TH̀NH PH H CH́ MINH K Gi i h ph I TUY N H C SINH GI I L P 12 THPT N M HOC 2012-2013 MÔN THI: TÓN Ng̀y thi: 18 - 10 - 2012 Th i gian lam bai: 180 ph́t CH́NH TH C Bài (4 m) THI CH N  xy  x  y  ng trình  3 4 x  12 x  x   y  y  Bài (4 m)  u1  Cho dãy s (un ) xác đ nh b i  3u  un 1  n , n  N *  u  n Ch ng minh dãy s (un ) có gi i h n h u h n tìm gi i h n Bài (4 m) Cho x, y, z s d ng th a mãn 1    Ch ng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z Bài (4 m) Cho tam giác nh n ABC v i đ ng cao AH , BK n i ti p đ M m t m di đ ng cung nh BC c a đ th ng AM BK c t t i E ; đ ng tròn (O) cho đ ng trịn (O) trung m ng th ng c đ nh Bài (4 m) Tìm t t c đa th c P ( x) h s th c th a mãn : P ( x).P ( x  3)  P ( x2 ), x  H T ThuVienDeThi.com ng ng th ng BM AH c t t i F Ch ng minh r ng M di đ ng cung nh BC c a đ c a đo n EF n m m t đ ng tròn (O) G i www.VNMATH.com Bài (4 m) Gi i h ph ́P ́N VÒNG  xy  x  y  ng trình  3 4 x  12 x  x   y  y  Gi i t z  x  H ph ng trình t  yz  z   3  y  3y z  4z    17   17 z  z       y   17  y   17   2  yz  z  ng  3  y  y( z  2)  z   yz  z    y   z  y  2z ng đ   17   17 x  x       y   17  y   17   2 Bài (4 m)  u1  Cho dãy s (un ) xác đ nh b i  3u  un 1  n , n  N * 2un   Ch ng minh dãy s (un ) có gi i h n h u h n tìm gi i h n Gi i T gi thi t ta suy un  0, n  N * 5 3x     0, x  Xét f ( x)  , v i x  , f '( x)  x  2(2 x  1) (2 x  1)2  u1  Ta có  un 1  f (un ), n  N * f ( x)  5x  0, x  , x  f ( x)   2x   un  4, n   dãy (un ) b ch n  x  u2 n 1 t  n  yn  u2 n Do f(x) ngh ch bi n (0; ) nên g(x) = f(f(x)) đ ng bi n (0; ) f ( xn )  f (u2n1 )  u2 n  yn ; f ( yn )  f (u 2n )  u 2n 1  xn 1 g ( xn )  f ( f ( xn ))  f ( yn )  xn1 11 49 u1  ; u2  ; u3  … Ta th y u1  u3  x1  x2 26 Gi s r ng xk  xk1  g ( xk )  g ( xk1 )  xk1  xk2 V y xn  xn1 , n  N * Suy ( xn ) t ng vƠ b ch n  ( xn ) có gi i h n h u h n a Do xn  xn1  f ( xn )  f ( xn1 )  yn  yn1  dãy ( yn ) gi m b ch n d i  ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com  ( yn ) có gi i h n h u h n b    3  3  3   xn , yn   ;4  , n  a , b   ;4  a , b   ;4           Ta có  f ( xn )  yn   f (a )  b   f (a )  b (I )  f(y )  x  f ( b)  a  f (b)  f (a )  a  b (1) n n 1       5 1  (1)  a  b      (a  b) (2a  1)(2b  1)  5   a  b  2b  2a   (do (2a  1)(2b  1)  (3  1)(3  1)  16  )  3  b  a   ;4   a b2 V y t (I)   a  3a   2a  V y lim un  Bài (4 m) Cho x, y, z s d ng th a mãn 1    Ch ng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z (*) Gi i (*)  1 1 1 1 (**)       1   x yz y zx z xy xy yz zx Ta c n ch ng minh: 1 1    x yz x yz 1 1 1 1 1 (đúng)       2   1     x yz x x yz x x yz yz x y z yz yz yz Ch ng minh t ng t ta có: 1 1 1 1    ,    y zx y z xy z zx xy C ng ba b t đ ng th c ta thu đ c (**) Bài (4 m) Cho tam giác nh n ABC v i đ cao AH , BK n i ti p đ đ A ng tròn (O) G i M m t m di đ ng cung nh BC c a đ cho đ ng ng tròn (O) K ng th ng AM BK c t t i E ; ng th ng BM AH c t t i F Ch ng minh r ng M di đ ng cung nh BC c a đ O E ng trịn (O) trung m c a đo n EF n m m t đ ng B H M th ng c đ nh F Gi i ThuVienDeThi.com C www.VNMATH.com Ta ch ng minh hai tam giác EHK FHK có di n tích b ng   MBC   Ta có MAC 1 KH KE.sin BKH  KH KA.tan  sin BAH  KH AB.cos A.tan  cos B 2 1  HF HK.sin FHK  BH tan  HK.sin AHK  AB.cos B.tan  HK.cos A 2  SFHK suy E, F cách đ u HK mà E,F n m v hai phía c a HK SEHK  SFHK SEHK  Trung m c a EF n m đ ng th ng HK Bài (4 m) Tìm t t c đa th c P ( x) h s th c th a mãn : P ( x).P ( x  3)  P ( x2 ), x  Gi i : Ta tìm đa th c P(x) h s th c th a P(x)P(x –3)= P(x2) xR (1) ฀ Tr ng h p P(x)  C ( C h ng s th c ) : P(x)  C th a (1)  C2= C  C =  C = 1 P(x)  hay P(x)  ฀ Tr ng h p degP  G i  m t nghi m ph c tùy ý c a P(x) T (1) thay x b ng  ta có P(2)=0  x= 2 c ng nghi m c a P(x) T có  , 2, 4, 8, 16, …lƠ nghi m c a P(x) Mà P(x) ch có h u h n nghi m (do xét P(x) khác đa th c không)  0      (I) T (1) l i thay x b ng  +3 ta có P((+3)2)=0  x=(+3)2 nghi m c a P(x) T x = (+3)2 nghi m c a P(x) t ng t ph n ta có (+3)2, (+3)4, (+3)8, (+3)16,…lƠ nghi m c a P(x) Mà P(x) ch có h u h n nghi m 32  3 0     (II)   1    1    (I) (II) Nh v y , n u  nghi m c a P(x) ta có  th a h  y I O x (I) khơng có (II) Bi u di n s ph c  th a (I) th a (II) m t ph ng ph c ta có h  nghi m   Không t n t i đa th c h s th c P(x) b c l n h n ho c b ng th a (1) K t lu n Các đa th c P(x) h s th c th a P(x)P(x – 3)= P(x2) x g m P(x)  , P(x)  ThuVienDeThi.com ... AH c t t i F Ch ng minh r ng M di đ ng cung nh BC c a đ O E ng trịn (O) trung m c a đo n EF n m m t đ ng B H M th ng c đ nh F Gi i ThuVienDeThi.com C www.VNMATH.com Ta ch ng minh hai tam giác... ng th a mãn 1    Ch ng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z (*) Gi i (*)  1 1 1 1 (**)       1   x yz y zx z xy xy yz zx Ta c n ch ng minh: 1 1    x yz x yz... s (un ) xác đ nh b i  3u  un 1  n , n  N * 2un   Ch ng minh dãy s (un ) có gi i h n h u h n tìm gi i h n Gi i T gi thi t ta suy un  0, n  N * 5 3x     0, x  Xét f ( x)  ,