Đề thi chon đội tuyển học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh Lớp 12 THPT năm hoc̣ 20122013 môn thi: Toán13820

www.VNMATH.com S GIAO DUC VA AO TAO TH̀NH PH H CH́ MINH K THI CH N L P 12 THPT N M HOC 2012-2013 MÔN THI: TÓN Ng̀y thi: 19 - 10 - 2012 Th i gian lam bai: 180 ph́t CH́NH TH C Bài (4 m) Cho s nguyên d I TUY N H C SINH GI I ng n Gi i bi n lu n theo n h ph   x  3 (i  1, 2, , n )  i  n   xi  n  i 1  n   xi   i 1 ng trình sau: Bài (4 m) Tìm t t c hàm s f : R  R th a mãn : f ( x2  f ( y))  y  2( f ( x))2 , x, y  R Bài (4 m) Gi s s nguyên d c d ng lƠ d1 , d , , d k Ch ng minh r ng n u ng n có t t c k n s ph ng d1  d   d k  k  2n  Bài (4 m) Cho ba đ ng tròn (C ) , (C1 ) , (C2 ) (C1 ) (C2 ) ti p xúc v i (C ) t i B, C (C1 ) , (C2 ) ti p xúc v i t i D Ti p n chung c a (C1 ) ng th ng AB c t (C1 ) t i m th hai M , (C2 ) c t (C ) t i hai m A E 1 đ ng th ng AC c t (C2 ) t i m th hai N Ch ng minh r ng:   DA DE MN Bài (4 m) Cho m t b ng ô vng có 2012  2012 ơ, m i đ u n vào m t d u + Th c hi n phép bi n đ i sau: đ i d u toàn b m t hàng ho c m t c t c a b ng (+ thành – , – thành +) H i sau m t s l n th c hi n phép bi n đ i, b ng có th có 18 d u – đ c hay không ? H T ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Bài (4 m) Cho s nguyên d ́P ́N VÒNG ng n Gi i bi n lu n theo n h ph   x  3 (i  1, 2, , n )  i  n   xi  n  i 1  n   xi   i 1 ng trình sau: Gi i t ti  xi  (i  1,2, , n) Ta có:    t  (i  1, 2, , n) t  (i  1, 2, , n) t  (i  1, 2, , n) i i i n n    n ( 3)      t n t n  i  i   ti  4n i i 1      i 1 n n n n n    n 81 n 3 2         ( 3) 27 27 t t t t n t t  i  i  i     ti  i i i i 1  i 1  i 1  i 1 i 1 i 1 i 1  t  (i  1, 2, , n )  i t t (i  1, 2, , n )    i i n      ti  4n  n  i    ti  4n  n  i 1   ti (ti  )   i 1 G i k lƠ s ti có giá tr b ng l lƠ s ti có giá tr b ng   Khi đó, ta có:  8n 9 l   l  4n  2 k  l  n k  n  Khi n không chia h t cho h vô nghi m Khi n  9m ( m  N * ),ta có k = m, l = 8m, h có t p nghi m: S  (t1 , t2 , , tn ) m giá tr b ng 8m giá tr b ng Hay S  ( x1, x2 , , xn ) m giá tr b ng  8m giá tr b ng Bài (4 m) Tìm t t c hàm s f : R  R th a mãn : f ( x2  f ( y))  Gi i Xét hàm s g ( x)  f ( x), x  R ThuVienDeThi.com y  2( f ( x))2 , x, y  R (*) www.VNMATH.com (*)  g ( x2  g ( y))  y  ( g ( x))2 (1) +) T (1) suy n u g ( y1 )  g ( y2 ) y1  y2 suy g lƠ đ n ánh +) T (1) cho x  suy g ( g ( y))  y  ( g (0))2 suy t p giá tr c a g R Suy g song ánh, nên t n t i a  R cho g (a )  Cho x  y  a  g (a )  a  g (a )  g ( g (a ))  a  ( g (0))2   g (0)  Do g ( g ( x))  x, x  R Cho y   g ( x2 )  ( g ( x))2 , x  R Suy x  g ( x)  g ( x)   x  Cho x = suy g(1) = +) v i x  0, y  R , ta có    g ( x  y)  g ( x )2  g ( g ( y))  g ( y)  g ( x )   g ( y)  g ( x) L y x tùy ý thu c R Khi hai s x,  x ln có s khơng âm, ta có:  g  x  ( x)   g ( x)  g ( x)  g ( x)   g ( x), x  R +) v i x  0, y  R , ta có g ( x  y)   g (  x  y)    g ( x)  g ( y)   g ( x)  g ( y) V y g ( x  y)  g (x)  g ( y), x, y R Ta có g c ng tính Q g(1) =  g ( x)  x, x  Q +) Cho x  y g  x  y  g  x  g  x  y  y   g  x  y   g  y   g  y  Suy g lƠ hƠm t ng th c s Ta ch ng minh g ( x)  x, x  R \ Q Gi s t n t i x0  R \ Q cho g ( x0 )  x0 ng h p x0  g ( x0 ) : t n t i s h u t r cho x0  r  g ( x0 )  g ( x0 )  g (r )  r (vô lý) Tr ng h p x0  g ( x0 ) : t n t i s h u t r cho x0  r  g ( x0 )  g ( x0 )  g (r )  r (vô lý)  g ( x)  x, x  R x V y f ( x)  , x  R (th a mãn (*)) Tr Bài (4 m) Gi s s nguyên d ng n có t t c k c d ng lƠ d1 , d , , d k Ch ng minh r ng n u n d1  d   d k  k  2n  s ph ng Gi i G i l1, l2, , ls lƠ c l c a n 2m lƠ l y th a l n nh t c a khai tri n c a n (s ≥ 1, m ≥ 0) T c c a n l1, l2, , ls, 2l1, 2l2, , 2ls, , 2ml1, 2ml2, , 2mls Theo đ ta có: l1 + l2 + + ls + 2l1 + 2l2 + + 2ls + + 2ml1 + 2ml2 + + 2mls + (m + 1)s = 2n+  (l1  l2   ls )(1   22   2m )  (m  1) s  2n   (l1 + l2 + + ls)(2m+ – 1) + (m + 1)s = 2n + (*) + N u s ch n v trái (*) ch n (vô lý), suy s l + V i s l , n u m ch n v trái (*) c ng ch n (vô lý), suy m l (m = 2t + 1) n c Suy m có s l ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com n c (k1  1)(k2  1) (km  1) suy ki ch n (i= 1,2, ,m)  p1k1 p2k2 pmkm có s m n  m s ph ng n  n  22t 1.r   (2t.r ) ( t, r  N ) S Bài (4 m) Cho ba đ ng tròn (C ) , (C1 ) , (C2 ) (C1 ) (C2 ) ti p xúc v i (C ) t i B, C (C1 ) , (C2 ) ti p xúc v i t i D Ti p n chung c a (C1 ) ng th ng AB c t (C1 ) t i m th hai M , (C2 ) c t (C ) t i hai m A E 1 đ ng th ng AC c t (C2 ) t i m th hai N Ch ng minh r ng:   DA DE MN A M F N O O1 D O2 C B E Gi i Ćch 1: Do AD2  AM AB  AN AC nên phép ngh ch đ o PAAD B M CN bi n D  D (C1 )  (C1 ) (C2 )  ( C2 ) ng tròn (C) qua A, B, C bi n thƠnh đ ng th ng MN Do (C1 ) (C2 ) ti p xúc v i (C ) t i B,C nên MN ti p n chung c a hai đ ng tròn MN G i F lƠ giao m c a AE MN Suy F bi n thành E FD  FM  FN  2 DE AD AD AF   Ta có :   DE AF  DF DA  DF AD AF AF DE DF DA 1 AF DF  AF DA V y        DA DE DA DF DA DADF DADF DF MN L u ý: k A' B '  N u phép ngh ch đ o c c O ph ng tích k bi n A thành A’, B thành B’ AB OAOB ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com AM AC  AMN ~  ACB  AN AB   OBA O  OAB 1MB  O1M // OA T ng t co O2N // OA L i có:   MNA   OCA     xCA  = 900 OAN ABC = OCA  OA  MN  O1M  MN, O2N  MN M  MN la tiêp tuyên chung cua (O1) vƠ (O2)  FD = FM = FN   ANF   ABC   AEC  EFNC nôi tiêp Ćch 2: Ta co AM.AB = AN.AC  A OF O1 D  AE.AF = AN.AC = AD2  (AD + DE)AF = AD(AF + DF) B  DE.AF = AD.DF E AF   DE AD.DF 1 AF DF  AF DA Do đo:        DA DE DA DF DA DADF DADF DF MN N x O2 C Bài (4 m) Cho m t b ng vng có 2012  2012 ô , m i ô đ u n vào m t d u + Th c hi n phép bi n đ i sau: đ i d u toàn b m t hàng ho c m t c t c a b ng (+ thành – , – thành +) H i sau m t s l n th c hi n phép bi n đ i, b ng có th có 18 d u – đ c hay không ? Gi i Gi s sau m t s l n th c hi n phép bi n đ i , b ng có 18 d u – G i xi s l n đ i d u hàng th i (i = 1, 2,…,2012 , th t hàng tính t xu ng d yj s l n đ i d u c t th j (j = 1, 2, ,2012 , s th t c t tính t trái sang ph i) i ), G i p s s l s x1, x2,…, x2012 , q s s l s y1, y2,…, y2012 , p, q {0, 1, 2,…,2012} Ta có s l ng d u – b ng p(2012 – q) + (2012 – p)q = 2012p + 2012q – 2pq B ng có 18 d u –  2012p + 2012q – 2pq = 18  1006p + 1006q – pq =  (p –1006)(q –1006) = 10062 – 32  (p –1006)(q –1006) = 1003×1009 (1)  (p –1006)(q –1006) chia h t cho 1009 Mà 1009 s nguyên t Suy ta ph i có p –1006 chia h t cho 1009 ho c q –1006 chia h t cho 1009 (2) Ta có p –1006, q –1006 thu c {–1006, –1005, …,1005, 1006} nên (2)  p –1006 = ho c q –1006 = : mâu thu n v i (1) K t lu n : B ng khơng th có 18 d u – ThuVienDeThi.com ... s l s y1, y2,…, y2 012 , p, q {0, 1, 2,…,2 012} Ta có s l ng d u – b ng p(2 012 – q) + (2 012 – p)q = 2012p + 2012q – 2pq B ng có 18 d u –  2012p + 2012q – 2pq = 18  1006p + 1006q – pq =  (p... = 1, 2,…,2 012 , th t hàng tính t xu ng d yj s l n đ i d u c t th j (j = 1, 2, ,2 012 , s th t c t tính t trái sang ph i) i ), G i p s s l s x1, x2,…, x2 012 , q s s l s y1, y2,…, y2 012 , p, q {0,... Bài (4 m) Cho m t b ng vng có 2 012  2 012 ô , m i ô đ u n vào m t d u + Th c hi n phép bi n đ i sau: đ i d u toàn b m t hàng ho c m t c t c a b ng (+ thành – , – thành +) H i sau m t s l n th