www.VNMATH.com S GIAO DUC VA AO TAO TH̀NH PH H CH́ MINH K THI CH N L P 12 THPT N M HOC 2012-2013 MÔN THI: TÓN Ng̀y thi: 19 - 10 - 2012 Th i gian lam bai: 180 ph́t CH́NH TH C Bài (4 m) Cho s nguyên d I TUY N H C SINH GI I ng n Gi i bi n lu n theo n h ph x 3 (i 1, 2, , n ) i n xi n i 1 n xi i 1 ng trình sau: Bài (4 m) Tìm t t c hàm s f : R R th a mãn : f ( x2 f ( y)) y 2( f ( x))2 , x, y R Bài (4 m) Gi s s nguyên d c d ng lƠ d1 , d , , d k Ch ng minh r ng n u ng n có t t c k n s ph ng d1 d d k k 2n Bài (4 m) Cho ba đ ng tròn (C ) , (C1 ) , (C2 ) (C1 ) (C2 ) ti p xúc v i (C ) t i B, C (C1 ) , (C2 ) ti p xúc v i t i D Ti p n chung c a (C1 ) ng th ng AB c t (C1 ) t i m th hai M , (C2 ) c t (C ) t i hai m A E 1 đ ng th ng AC c t (C2 ) t i m th hai N Ch ng minh r ng: DA DE MN Bài (4 m) Cho m t b ng ô vng có 2012 2012 ơ, m i đ u n vào m t d u + Th c hi n phép bi n đ i sau: đ i d u toàn b m t hàng ho c m t c t c a b ng (+ thành – , – thành +) H i sau m t s l n th c hi n phép bi n đ i, b ng có th có 18 d u – đ c hay không ? H T ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Bài (4 m) Cho s nguyên d ́P ́N VÒNG ng n Gi i bi n lu n theo n h ph x 3 (i 1, 2, , n ) i n xi n i 1 n xi i 1 ng trình sau: Gi i t ti xi (i 1,2, , n) Ta có: t (i 1, 2, , n) t (i 1, 2, , n) t (i 1, 2, , n) i i i n n n ( 3) t n t n i i ti 4n i i 1 i 1 n n n n n n 81 n 3 2 ( 3) 27 27 t t t t n t t i i i ti i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 t (i 1, 2, , n ) i t t (i 1, 2, , n ) i i n ti 4n n i ti 4n n i 1 ti (ti ) i 1 G i k lƠ s ti có giá tr b ng l lƠ s ti có giá tr b ng Khi đó, ta có: 8n 9 l l 4n 2 k l n k n Khi n không chia h t cho h vô nghi m Khi n 9m ( m N * ),ta có k = m, l = 8m, h có t p nghi m: S (t1 , t2 , , tn ) m giá tr b ng 8m giá tr b ng Hay S ( x1, x2 , , xn ) m giá tr b ng 8m giá tr b ng Bài (4 m) Tìm t t c hàm s f : R R th a mãn : f ( x2 f ( y)) Gi i Xét hàm s g ( x) f ( x), x R ThuVienDeThi.com y 2( f ( x))2 , x, y R (*) www.VNMATH.com (*) g ( x2 g ( y)) y ( g ( x))2 (1) +) T (1) suy n u g ( y1 ) g ( y2 ) y1 y2 suy g lƠ đ n ánh +) T (1) cho x suy g ( g ( y)) y ( g (0))2 suy t p giá tr c a g R Suy g song ánh, nên t n t i a R cho g (a ) Cho x y a g (a ) a g (a ) g ( g (a )) a ( g (0))2 g (0) Do g ( g ( x)) x, x R Cho y g ( x2 ) ( g ( x))2 , x R Suy x g ( x) g ( x) x Cho x = suy g(1) = +) v i x 0, y R , ta có g ( x y) g ( x )2 g ( g ( y)) g ( y) g ( x ) g ( y) g ( x) L y x tùy ý thu c R Khi hai s x, x ln có s khơng âm, ta có: g x ( x) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x), x R +) v i x 0, y R , ta có g ( x y) g ( x y) g ( x) g ( y) g ( x) g ( y) V y g ( x y) g (x) g ( y), x, y R Ta có g c ng tính Q g(1) = g ( x) x, x Q +) Cho x y g x y g x g x y y g x y g y g y Suy g lƠ hƠm t ng th c s Ta ch ng minh g ( x) x, x R \ Q Gi s t n t i x0 R \ Q cho g ( x0 ) x0 ng h p x0 g ( x0 ) : t n t i s h u t r cho x0 r g ( x0 ) g ( x0 ) g (r ) r (vô lý) Tr ng h p x0 g ( x0 ) : t n t i s h u t r cho x0 r g ( x0 ) g ( x0 ) g (r ) r (vô lý) g ( x) x, x R x V y f ( x) , x R (th a mãn (*)) Tr Bài (4 m) Gi s s nguyên d ng n có t t c k c d ng lƠ d1 , d , , d k Ch ng minh r ng n u n d1 d d k k 2n s ph ng Gi i G i l1, l2, , ls lƠ c l c a n 2m lƠ l y th a l n nh t c a khai tri n c a n (s ≥ 1, m ≥ 0) T c c a n l1, l2, , ls, 2l1, 2l2, , 2ls, , 2ml1, 2ml2, , 2mls Theo đ ta có: l1 + l2 + + ls + 2l1 + 2l2 + + 2ls + + 2ml1 + 2ml2 + + 2mls + (m + 1)s = 2n+ (l1 l2 ls )(1 22 2m ) (m 1) s 2n (l1 + l2 + + ls)(2m+ – 1) + (m + 1)s = 2n + (*) + N u s ch n v trái (*) ch n (vô lý), suy s l + V i s l , n u m ch n v trái (*) c ng ch n (vô lý), suy m l (m = 2t + 1) n c Suy m có s l ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com n c (k1 1)(k2 1) (km 1) suy ki ch n (i= 1,2, ,m) p1k1 p2k2 pmkm có s m n m s ph ng n n 22t 1.r (2t.r ) ( t, r N ) S Bài (4 m) Cho ba đ ng tròn (C ) , (C1 ) , (C2 ) (C1 ) (C2 ) ti p xúc v i (C ) t i B, C (C1 ) , (C2 ) ti p xúc v i t i D Ti p n chung c a (C1 ) ng th ng AB c t (C1 ) t i m th hai M , (C2 ) c t (C ) t i hai m A E 1 đ ng th ng AC c t (C2 ) t i m th hai N Ch ng minh r ng: DA DE MN A M F N O O1 D O2 C B E Gi i Ćch 1: Do AD2 AM AB AN AC nên phép ngh ch đ o PAAD B M CN bi n D D (C1 ) (C1 ) (C2 ) ( C2 ) ng tròn (C) qua A, B, C bi n thƠnh đ ng th ng MN Do (C1 ) (C2 ) ti p xúc v i (C ) t i B,C nên MN ti p n chung c a hai đ ng tròn MN G i F lƠ giao m c a AE MN Suy F bi n thành E FD FM FN 2 DE AD AD AF Ta có : DE AF DF DA DF AD AF AF DE DF DA 1 AF DF AF DA V y DA DE DA DF DA DADF DADF DF MN L u ý: k A' B ' N u phép ngh ch đ o c c O ph ng tích k bi n A thành A’, B thành B’ AB OAOB ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com AM AC AMN ~ ACB AN AB OBA O OAB 1MB O1M // OA T ng t co O2N // OA L i có: MNA OCA xCA = 900 OAN ABC = OCA OA MN O1M MN, O2N MN M MN la tiêp tuyên chung cua (O1) vƠ (O2) FD = FM = FN ANF ABC AEC EFNC nôi tiêp Ćch 2: Ta co AM.AB = AN.AC A OF O1 D AE.AF = AN.AC = AD2 (AD + DE)AF = AD(AF + DF) B DE.AF = AD.DF E AF DE AD.DF 1 AF DF AF DA Do đo: DA DE DA DF DA DADF DADF DF MN N x O2 C Bài (4 m) Cho m t b ng vng có 2012 2012 ô , m i ô đ u n vào m t d u + Th c hi n phép bi n đ i sau: đ i d u toàn b m t hàng ho c m t c t c a b ng (+ thành – , – thành +) H i sau m t s l n th c hi n phép bi n đ i, b ng có th có 18 d u – đ c hay không ? Gi i Gi s sau m t s l n th c hi n phép bi n đ i , b ng có 18 d u – G i xi s l n đ i d u hàng th i (i = 1, 2,…,2012 , th t hàng tính t xu ng d yj s l n đ i d u c t th j (j = 1, 2, ,2012 , s th t c t tính t trái sang ph i) i ), G i p s s l s x1, x2,…, x2012 , q s s l s y1, y2,…, y2012 , p, q {0, 1, 2,…,2012} Ta có s l ng d u – b ng p(2012 – q) + (2012 – p)q = 2012p + 2012q – 2pq B ng có 18 d u – 2012p + 2012q – 2pq = 18 1006p + 1006q – pq = (p –1006)(q –1006) = 10062 – 32 (p –1006)(q –1006) = 1003×1009 (1) (p –1006)(q –1006) chia h t cho 1009 Mà 1009 s nguyên t Suy ta ph i có p –1006 chia h t cho 1009 ho c q –1006 chia h t cho 1009 (2) Ta có p –1006, q –1006 thu c {–1006, –1005, …,1005, 1006} nên (2) p –1006 = ho c q –1006 = : mâu thu n v i (1) K t lu n : B ng khơng th có 18 d u – ThuVienDeThi.com ... s l s y1, y2,…, y2 012 , p, q {0, 1, 2,…,2 012} Ta có s l ng d u – b ng p(2 012 – q) + (2 012 – p)q = 2012p + 2012q – 2pq B ng có 18 d u – 2012p + 2012q – 2pq = 18 1006p + 1006q – pq = (p... = 1, 2,…,2 012 , th t hàng tính t xu ng d yj s l n đ i d u c t th j (j = 1, 2, ,2 012 , s th t c t tính t trái sang ph i) i ), G i p s s l s x1, x2,…, x2 012 , q s s l s y1, y2,…, y2 012 , p, q {0,... Bài (4 m) Cho m t b ng vng có 2 012 2 012 ô , m i ô đ u n vào m t d u + Th c hi n phép bi n đ i sau: đ i d u toàn b m t hàng ho c m t c t c a b ng (+ thành – , – thành +) H i sau m t s l n th