Đề thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông thành phố Hồ Chí Minh năm học: 20142015 môn thi: Toán chuyên14036

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC: 2014-2015 Môn Thi : TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 22-6- 2014 Thời gian làm : 150 phút Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: x 2x   3x  b) Cho ba soá thực x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  ; xyz  Tính giá trị biểu thức P  x2 y2 z2   y  z2  x2 z2  x2  y x2  y  z2 Caâu 2: (1.5 điểm)  x  y  y  x Giải hệ phương trình:  x  y   4y  x x2 Caâu 3: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC M điểm cạnh BC Gọi D, E hình chiếu vuông góc M lên AB AC Xác định vị trí M để tam giác MDE có chu vi nhỏ Câu 4: (2 điểm) a) Cho x, y hai số thực khác Chứng minh : x2 y x y    y x2 y x b) Cho a, b hai số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a2  3ab  b2 ab  a  b Câu 5: (2 điểm) Từ điểm M đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Gọi H giao điểm AB OM; I trung điểm MH Đường thẳng AI cắt (O) điểm K (K khác A) a) Chứng minh HK vuông góc AI b) Tính số đo góc MKB Câu (1điểm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: 2015 x2  y  2014  2xy  1  25    HẾT TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 1/ CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: a) x 2x   3x  Điều kiện : x  Với điều kiện trên, phương trình trở thành: x2  2x  3   3x    2x3  3x2  9x  24x  16  2x3  12x2  24x  16   x3  6x2  12x     x     x  2(nhaän) Vậy S  2 b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  ; xyz  Tính giá trị biểu thức P  x2 y2 z2   y  z2  x2 z2  x2  y x2  y  z2 Ta coù: x  y  z   y  z  x   y  z    x  2  y2  2yz  z2  x2  y2  z2  x2  2yz Chứng minh tương tự : z2  x2  y2  2zx; x2  y2  z2  2xy P x2 y2 z2   y  z2  x2 z2  x2  y x2  y  z2 x2 y2 z2 x  y  z     2xyz 2yz 2zx 2xy     x3  y3  z3  3xyz  3xyz 2xyz  3xyz 3  2xyz (Áp dụng toán phụ: x  y  z   x  y  z  3xyz  ) Baøi 2:  x  y  y  x  x  y   4y  x x2 3 ÑK: x  0; y  4  y   1   4y 1  4y  4y    1       xxy 0 y  x  x   xy 0 x x x x   y x   x      x  y   x  y   x  y   x  y       y x y x y x y x    4  y  x   x  y        x  y       0  x x   xy    xy x     x  y   x  y     y x y x TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 2/ CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  x  y  x  y   x  4y      x  y     x  y  y  x    x  4y   xy       x  4y x  y   x  y       y x y x   x  y   y x   x  y x  y  x  y   x  y  x  y  2 TH1:     2x   x  2  x  y  y  x x  x    x x  x  4y x  4y x  4y    TH2 :    x  y  y  x 4y  y  y  4y 5y  y  4y     x  4y x  2  x  4y       2y   y  y      1  1 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x;y    2;2  ,  2; 2  ,  2;  ,  2;   2  2  Baøi 3: A D E B H M C Xác định vị trí M để MDEcó chu vi nhỏ Dễ thấy tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM  ADE nội tiếp đường tròn đường kính AM  DE  AM.sinBAC (địnhlý hàm sin)  DE  AM.sin60  AM  DM  BM.sinABC  BM.sin60   Mặt khác:   ME  MC.sinACB  MC.sin60  BM MC TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 3/ CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Gọi H hình chiếu A lên BC  H cố định  AH không đổi 3 BM  CM  AM 2 3  BM  MC  AM  BC  AM     BC  AH khoâng đổi 2 Dấu “=” xảy  M  H  M hình chiếu A lên BC Chu vi ADE = MD + ME + DE = Baøi 4: x2 y x y a)    y x y x x2 y x y x  y  x3 y  xy3      0 y x2 y x x2 y    x  0; y   x  yx xy  y3    x  y x 2  xy  y xy 2 0   2  x  y   x  y   y       (luôn đúng, x  0; y  0) x2 y2 b) Tìm Min P  a2  3ab  b2 ab  a  b (a  0;b  0) 2 a b ab a b          a  b  ab  a  3ab  b P  ab  a  b ab  a  b ab  a  b 2 2 1 3 a  b  ab a  b  a  b ab ab   4 4  4  1  2 ab  a  b ab ab  a  b ab 1   a  b  ab Dấu “=” xảy   a b a  b  Vaäy Min P   a  b * Cách làm khác: P  a  b  ab  a  b  ab  a  b   a  b  ab     ab  a  b ab  a  b ab a  b ab  ab a  b  a2  3ab  b2 Bài 5: TS LỚP 10 CHUYÊN TOAÙN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 4/ 5  CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A K O H M I B a) Chứng minh HK  AI Dễ thấy OM trung trực AB  OM  AB H Áp dụng phương tích điểm I với (O) ta được: IK.IA  IO2  R2  R: bán kính(O)  Maø: IH2   IO  OH  IO2  2IO.OH  OH2  IO2  OH 2.IO  OH  IO2  OH  2IH  2OH  OH  IO2  OH 2.IH  OH  IO2  OH HM  OH  IO2  OH.OM  IO2  R2 IH IA  Neân: IH2  IK.IA  ; I chung  IHA IK IH IKH(c.g.c)  IKH  IHA  900  HK  AItại K a) Tính MKB Ta có: IM2  IH2  IK.IA ; I chung  IMK IAM(c.g.c)  IMK  IAM  HBK  tứ giác HBMK nội tiếp  MKB  MHB  900   Baøi 6: 2015 x2  y  2014  2xy  1  25 (1)  2014  x  y   x2  y  2014  25 Neáu  x  y    x  y pt(1)  2x2  2039 (2) Tacó: 2x2 2; 2039   pt(2) vô nghiệm Nếu  x  y   VT(1)  2014.2  x  y  2014.2  4028  2039  VP(1) (1) Dó  x  y   1 x  y  25  x  y  x  y   2  x  y  1   x  y    x  y  25     x  y    Tacó hệ:  2  x  y  25    x y       x y 25   x  y  25 2  x  y  25 Vậy cặp nghiệm nguyên phương trình là:  x;y    3;4  ,  4;3 ,  3; 4  ,  4; 3  TS LỚP 10 CHUYÊN TOAÙN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 5/ ... b2 Baøi 5: TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 4/ 5  COÂNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A K O H M I B a) Chứng minh HK  AI Dễ thấy OM trung trực AB... BM.sinABC  BM.sin60   Mặt khác:   ME  MC.sinACB  MC.sin60  BM MC TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 3/ CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Gọi H hình... x x   xy    xy x     x  y   x  y     y x y x TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) ThuVienDeThi.com Trang 2/ CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  x 