Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi huyện Hạ Hòa năm học 2015 – 2016 môn: Toán27658

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2015 Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  x  38  y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Câu (4,0 điểm)  a) Cho x  x  2015 y   y  2015  2015 Hãy tính giá trị biểu thức A  x  y  2016 3 b) Chứng minh rằng: Nếu ax  by  cz 1    x y z ax  by  cz  a  b  c Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x   11 x   x( x  y )  y  y   b) Giải hệ phương trình:  2  y ( x  y )  x  y  Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H S a) Chứng minh AEF ABC đồng dạng AEF  cos A S ABC b) Chứng minh rằng: S DEF  1  cos A  cos B  cos C .S ABC c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (2,0điểm) Cho a, b ,c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  b  c3 a  b b  c c  a P    2abc c  ab a  bc b  ca -HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………, SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Đây lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà giám khảo chấm chấm theo thang điểm Bài Nội dung Giải phương trình nghiệm nguyên: x  x  38  y x  x  38  y  x  x  19  3y  2( x  1)  3(7  y ) (*) a b 0,5 0,25 0,25 0,25 Ta thấy: 2( x  1)    y   y lẻ Ta lại có:  y   y  Do y   y  1 Lúc đó: 2( x  1)  18  ( x  1)  3 nên x  2; x  4 Ta thấy cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên nghiệm 0,25 phương trình Ta có n4 + = n4 + + 4n2 – 4n2 0,25 2 = ( n + 2) – ( 2n) 0,25 2 = ( n – 2n + 2).( n + 2n+ 2) 0,25 Vì n số tự nhiên nên n + 2n+ > nên 0,25 n – 2n + = 0,25 n = 0,25 2    Cho x  x  2015 y  y  2015  2015 Hãy tính A biết: A  x  y  2016 ?  2015 y  y  2015  2015 x  x  2015  (1) Nhân vế đẳng thức cho với y  y 2015 x  x  2015  2015 y  y  2015  (2)  Nhân vế đẳng thức cho với x  x  2015 ta được: a 2   2015 ta được: Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn ta được: x + y = Vậy A = 2016 b) Chứng minh rằng: Nếu ax  by  cz ax  by  cz  0,25 1 t t t    t    (1) x y z x y z 1 1 x  x   11 x  (1)  x  x   x  x   11  x  x   0,5 0,5 Suy ra: a  b  c  t      t (2) x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh a 0,75 0,25 ax  by  cz  a  b  c Mặt khác: t  x a  y3 b  z3 c 0,5 1    x y z Đặt: ax  by  cz  t Ta có: 0,5 x2  x  x2  x   x2  x    11 x2  x  x  2x  ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,5 0,5 x  x   ( x  1)   với x 0,5 x2  x  Đặt t  (t > 0) x2  x  Ta phương trình: 6t  11t   Giải (*) t = thỏa mãn yêu cầu Nên t  5 x  2x  x  2x  2   x  10 x    x    2 x  2x  x  2x  0,5  x   y ( y  x)  y  x( x  y )  y  y      2 2  y ( x  y )  2( x  1)  y  y ( x  y )  x  y  2  x2  x y 4  y   x  ( x  y )  7  y  uv   u  4v  v  3, u  x2  , v  x  y ta có hệ:    Đặt u  y v  2u  v  2v  15  v  5, u  Dễ thấy y  , ta có: b  x2   y  x2  x    x  1, y    +) Với v  3, u  ta có hệ:    x  2, y  x y 3  y  3 x  x2   y  x  x  46    VN  x  y  5  y  5  x  y  5  x KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: (1; 2) (2;5) 0,5 0,5 0,5  x2   y +) Với v  5, u  ta có hệ:  0,5 A E F H O B C D AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC AE AF Suy =  AEF ฀ ABC (c.g c) AB AC Tam giác ABE vuông E nên cosA = a ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 b S AE  Từ AEF ฀ ABC suy AEF     cos A S ABC  AB  S S Tương tự câu a, BDF  cos B, CDE  cos C S ABC S ABC S S S S S Từ suy DEF  ABC AEF BDF CDE   cos A  cos B  cos C S ABC S ABC 0,5 1,0 0,5 Suy S DEF  1  cos A  cos B  cos C .S ABC 0,5 c) Chứng minh OA  EF ; OB  DF ; OC  ED c 0,5 Có S ABC  2.( S AEOF  S BDOF  SCDOE ) 0,5  BC AD  OA.EF  OB.FD  OC.ED 0,5  BC AD  R( EF  FD  ED) 0,5 BC AD R Chu vi tam giác DEF lớn AD lớn nhất; AD lớn A điểm cung lớn BC  EF  FD  ED  a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P      2bc 2ca 2ab c  ab a  bc b  ac a a  bc b b  ac c c  ab Mà   ;   ;   nên 2bc 2bc 2ac 2ac 2ab 2ab Với số dương x, y ta có 0,5 0,5 0,5 0,5 x y    (x  y)  đúng, dấu y x 0,25 xảy x = y Áp dụng ta có:  c  ab 2ab   a  bc 2bc   b  ac 2ac  P           2 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac          2+2+2 - ≥  2 Dấu xảy a = b = c a  b  c3 a  b b  c c  a Kết luận :giá trị nhỏ P     2abc c  ab a  bc b  ca 0,5 a = b = c Đính :Câu 5: P≥ ThuVienDeThi.com 0,25 ... x  y  2016 ?  ? ?2015 y  y  2015  2015 x  x  2015  (1) Nhân vế đẳng thức cho với y  y ? ?2015 x  x  2015  2015 y  y  2015  (2)  Nhân vế đẳng thức cho với x  x  2015 ta được:...HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015- 2016 MƠN: TỐN Đây lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà giám khảo chấm chấm theo thang điểm... 4n2 – 4n2 0,25 2 = ( n + 2) – ( 2n) 0,25 2 = ( n – 2n + 2).( n + 2n+ 2) 0,25 Vì n số tự nhiên nên n + 2n+ > nên 0,25 n – 2n + = 0,25 n = 0,25 2    Cho x  x  2015 y  y  2015  2015