Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Lương Tài năm 2015-2016

c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất?. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.[r]

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học:2015-2016 Mơn thi: Tốn9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức:  

2 2 1

2

1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a)Rút gọn P

b)Tìm giá trị nhỏ P c)Xét biểu thức: Q x,

P

 chứng tỏ < Q <

Bài 2: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2

x 3x 2 x 3  x 2  x 2x 3 2 Cho đường thẳng (d): y = (m + 4)x - m +

a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d1) y = 2x + điểm trục hoành

b,Chứng minh rằng: m thay đổi đường thẳng (d) ln qua điểm cố định.

Bài 3: (2,0 điểm)

1.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy- 2x + 3y = 21 2.Chứng minh với x, y nguyên

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho AB đường kính đường tròn (O;R) C điểm thay đổi đường trịn (C khác A B), kẻ CH vng góc với AB H Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc với AB.Gọi I trung điểm AC, OI cắt đường thẳng xy M, MB cắt CH K

a) Chứng minh MC OC

b) Chứng minh K trung điểm CH

c) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R

Câu 5: (1điểm )

Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca

-UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN

Bài 1(2 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm

a

Đk : x0;x1

      

     

1 2 1

1

1 2

1

x x x x x x x

P

x x x x

x x x x

x x

   

  

  

     

  

Vậy P x x1, với x0;x1

0,25 0,25 0,25 0,25

b

2

1 3

1

2 4

P x x  x   

 

dấu xảy x =

4, thỏa mãn đk

Vậy GTNN P

4

x

0,25

0,25

c

Với x0;x1 Q =

x

x x > (1)

Xét  

2

2

2

2

1

x x

x x x x



  

   

Dấu không xảy điều kiện x1 suy Q < 2.(2)

Từ (1) (2) suy < Q < Chứng tỏ < Q <

0,25 0,25

Ý/Phần Đáp án Điểm

2

x 3x 2 x 3  x 2  x 2x 3

 x x 2    x 3  x 2  x x 1    

Điều kiện

  

  

x x

x

x

x

x x

   



 

  

   

   



 1  x 2  x 1   x 3  x 1  

      

        

   



  

   

  



x 1

x 1 x x

x x

x 1

x

x x

x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x =

0,25 0,25

0,25

0,25

a) Đường thẳng (d1) y = 2x + cắt trục hồnh M(-2;0) Khi (d) cắt đường thẳng (d1) điểm trục hoành

0 = (m + 4).(-2) - m + m =

3

 Vậy m =

3

 (d) cắt (d1) điểm M(-2;0) trục hoành b) Giả sử M(x0;y0) điểm cố định thuộc đường thẳng (d) Khi M(x0;y0)  (d) m

(x0 - 1)m = y0 - 4x0 - m  x0 = y0 = 10

Vậy với m (d) qua điểm cố định M(1;10)

0,25

0,25

0,25 0,25

Bài 3(2 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm

Ta có : xy- 2x + 3y = 21 x(y-2) + 3(y-2) =21 (x+3).(y-2) =21

Vì x,y nguyên dương nên x+3 nguyên dương x+3≥4 Vì (x+3).(y-2) =21 nên x+3 Ư(21)

Có Ư(21)={-1 ;-3 ;-7 ;-21 ;1 ;3 ;7 ;21}

Vì x+3≥4 nên x+3 =7 x+3 =21

 x=4 x= 18

 y=5 y=

Vậy phương trình có nghiệm ngun dương (x ;y)=(4 ;5) (x ;y)= (18 ;3)

0,25 0,25

A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y  Z nên x2 + 5xy + 5y2  Z

 A số phương

0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 4(3 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm

Vẽ hình

0,25

a

a) Chứng minh MC OC (0,75 điểm) - Chứng minh AOMˆ COMˆ

- Chứng minh AOM = COM - Chứng minh MCCO

0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh K trung điểm CH ( điểm)

K M

I

C

O H B

b

MAB có KH//MA (cùng AB) 

( KH HB KH AM.HB AM.HB

AM  AB  AB  2R 1)

Chứng minh cho CB // MO AOMCBH (đồng vị) C/m MAO đồng dạng với CHB 

MA AO AM.HB AM.HB

CH

CH  HB   AO  R (2)

Từ (1) (2) suy CH = KH  CK = KH  K trung điểm CH

0,25 0,25 0,25 0,25

c

c) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó( điểm)

Chu vi tam giác ACB PACB ABACCB2RACCB

Ta lại có       

    

2 2 2

2 2

AC CB AC CB 2AC.CB

2AC 2CB AC CB 2AC.CB

   

 

   

   

  

2

2

2

2

2 AC CB AC CB

AC CB AC CB

AC CB 2AB

  

  

2

AC CB 2.4R

AC CB 2R

Đẳng thức xảy AC = CB M điểm cung AB Suy PACB 2R2R 2R 1  2, dấu "=" xảy M điểm

chính cung AB

Vậy max PACB 2R 1  2 đạt M điểm cung AB

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 5(1 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm

Có:  

1

a b c    c a b c c  ac bc c 



( ) ( )

c ab ac bc c  aba c b c b c = (ca c b)(  )



( )( )

a b

ab ab c a c b

c ab c a c b



 

 

  

Tương tự: ( )( )

( )( )

a bc a b a c b ca b c b a        

( )( )

( )( )

b c

bc bc a b a c

a bc a b a c

c a

ca ca b c b a

b ca b c b a



 

  

  



 

 

  

 P 

2

a b b c c a

cac b a b a c b c b a =

=

2

a c c b b a a c c b b a     

   = 3

2

Dấu “=” xảy

3

a  b c Từ giá trị lớn P

2 đạt

1

a  b c

0,25

0,25