Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Yên Định năm 2012-2013

Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN.. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013

Mơn thi: Tốn

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1: (3 điểm) Cho A =

2

2 2

1 2

x x x x

x x x

     



 

    

 

a) Rút gọn A b) Tìm x để A >

c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm)

a) Giải phương trình: 2

2x 8x3 x 4x 8 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x +

c) Giải hệ phương trình:

   

  

  

85 ) )(

(

45 ) )(

(

2

2

y x y x

y x y x

Câu : (4 điểm)

a) Cho a b c  0, tính giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2

1 1

P

b c a a c b a b c

  

     

b) Tìm số tự nhiên n cho

6

An  n số chính phương

Câu : (5 điểm)

a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a R

b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID

Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 16

16

10 10

)

( ) (

4

1

y x y

x x

y y x

Q    

  

 

 

Hết

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013

Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu ý Đáp án hướng dẫn chấm Điểm

1

a ĐKXĐ: x0,x1 ( 1) A  x x

0.25đ 0.75đ

b

0 ( 1) ( 1)

0

0

1

A x x x x

x

x x

         



   

  

(vì x  x1)

0.25đ 0.75đ

c

2

1 1 1

( 1) ( )

4 4

1

A x x x x x

A

            

 

Vậy GTLN A =1 1( / )

4 khi x   2 x t m

0.75đ

0.25đ

2 a

2

2

2 8 18

2( 8)

x x x x

x x x x

    

        Đặt

4 ,

x  x  y y ta phương trình:

   

      



       

2

) )( (

0

0

2 2

y y y

y

y y y y

y

y=

 <0 (loại); với y= ta có

2

4 12

( 6)( 2)

x x x x

x x

          

6 x

  hoặc x 2 (thỏa mãn phương trình cho) Vậy pt cho có nghiệm: x6, x 2

0.25đ 0.25đ

0.5đ

0.25đ 0.5đ 0.25đ

b

Vì x2 + 2x + = (x+1)2+1 >

Nên: |2x-7| < x2 + 2x + <=>    

    

   

2

2

2

2

2

x x x

x x x

<=>

   

  

 

0

0 2

x x x

<=> x2+4x+4>9 <=> (x+2)2 >9 <=> |x+2| >3

<=>   

    

 

  

 

5

2

x x x

x

Kết luận nghiệm bất phương trình

0.5đ 0.25đ

c

Biến đổi

   

  

  

85 ) )(

(

45 ) )(

(

2

2

y x y x

y x y x

   

  

   

) ( 85 ) )(

(

) ( 45 ) )( (

2

2 y x y x

y x y x

Từ hệ ta có x – y >

Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được:

17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = thì x = => không thỏa mãn hệ

Nếu y 0 , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2

và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = <=> (t+4)(4t+1) =

<=> t = - hoặc t = - 1/4 <=> x = -4y hoặc y = - 4x

thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)}

0.25đ 0.25đ

0.5đ 0.5đ

0.25đ 0.25đ

3 a

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

1 1

( : 0)

( ) ( ) ( )

1 1

0 ( : 0)

2 2

P

b c a a c b a b c

dk abc

b c b c a c a c a b a b

a b c

voi abc

bc ac ab abc

  

     

   

        

 

     

   

1đ

1đ

b

2

6

An  n sớ chính phương nên A có dạng

2 *

2 2

6 ( )

4 24 (2 ) (2 1) 23

2 23

(2 1)(2 1) 23

2 1

A n n k k N

n n k k n

k n

k n k n

k n

    

       

  



       

  



(Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)

2 23

2 1

k n k

k n n

   

 

 

   

 

Vậy với n = thì A số chính phương

0.5đ 0.5đ

0.75đ 0.25đ

4 a

ABC

C = AB+BC+CA = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt cắt nhau)

= 2 2

2

2 OA OM  a R

Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi

0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ A

P M

N O B

ABC

C = 2 a R Ghi chú:

- Không có điểm vẽ hình

- Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng được cơng nhận (khơng có điểm).

b

(Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần)

Trình bày c/m: SBID  SBIC

4

Trình bày c/m: SBIC  SBIA

2

=>SBID  SBIA  SABD

9

1

Trình bày c/m: SABD  SABC

4

=>

36 36 36

1

 



BID S ABC

S

Ghi chú:

- Khơng có điểm vẽ hình

- Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng được cơng nhận (khơng có điểm).

0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

5

ĐK: x≠0, y≠0

2 2 16

16

10 10

)

( ) (

4

1

y x y

x x

y y x

Q    

  

 

 

2 )

( ) 1 (

4 1

1 16 16 2

2 10 10

 

    

   

 

  

 x y x y

x y y x

Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:

2

10 10

2 1

1

y x x

y y

x 

   

 

  

4 16

16

) 1 (

4

y x y

x    

=>

2

1

2 2  4   2  4  

 x y x y x y x y

Q

Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 =

0.5đ

0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ Chú ý: HS giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa

A

B

C D