Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN.. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1: (3 điểm) Cho A =
2
2 2
1 2
x x x x
x x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A >
c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: 2
2x 8x3 x 4x 8 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x +
c) Giải hệ phương trình:
85 ) )(
(
45 ) )(
(
2
2
y x y x
y x y x
Câu : (4 điểm)
a) Cho a b c 0, tính giá trị biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1
P
b c a a c b a b c
b) Tìm số tự nhiên n cho
6
An n số chính phương
Câu : (5 điểm)
a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a R
b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 16
16
10 10
)
( ) (
4
1
y x y
x x
y y x
Q
Hết
(2)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu ý Đáp án hướng dẫn chấm Điểm
1
a ĐKXĐ: x0,x1 ( 1) A x x
0.25đ 0.75đ
b
0 ( 1) ( 1)
0
0
1
A x x x x
x
x x
(vì x x1)
0.25đ 0.75đ
c
2
1 1 1
( 1) ( )
4 4
1
A x x x x x
A
Vậy GTLN A =1 1( / )
4 khi x 2 x t m
0.75đ
0.25đ
2 a
2
2
2 8 18
2( 8)
x x x x
x x x x
Đặt
4 ,
x x y y ta phương trình:
2
) )( (
0
0
2 2
y y y
y
y y y y
y
y=
<0 (loại); với y= ta có
2
4 12
( 6)( 2)
x x x x
x x
6 x
hoặc x 2 (thỏa mãn phương trình cho) Vậy pt cho có nghiệm: x6, x 2
0.25đ 0.25đ
0.5đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ
b
Vì x2 + 2x + = (x+1)2+1 >
Nên: |2x-7| < x2 + 2x + <=>
2
2
2
2
2
x x x
x x x
<=>
0
0 2
x x x
<=> x2+4x+4>9 <=> (x+2)2 >9 <=> |x+2| >3
(3)<=>
5
2
x x x
x
Kết luận nghiệm bất phương trình
0.5đ 0.25đ
c
Biến đổi
85 ) )(
(
45 ) )(
(
2
2
y x y x
y x y x
) ( 85 ) )(
(
) ( 45 ) )( (
2
2 y x y x
y x y x
Từ hệ ta có x – y >
Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được:
17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = thì x = => không thỏa mãn hệ
Nếu y 0 , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2
và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = <=> (t+4)(4t+1) =
<=> t = - hoặc t = - 1/4 <=> x = -4y hoặc y = - 4x
thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)}
0.25đ 0.25đ
0.5đ 0.5đ
0.25đ 0.25đ
3 a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
1 1
( : 0)
( ) ( ) ( )
1 1
0 ( : 0)
2 2
P
b c a a c b a b c
dk abc
b c b c a c a c a b a b
a b c
voi abc
bc ac ab abc
1đ
1đ
b
2
6
An n sớ chính phương nên A có dạng
2 *
2 2
6 ( )
4 24 (2 ) (2 1) 23
2 23
(2 1)(2 1) 23
2 1
A n n k k N
n n k k n
k n
k n k n
k n
(Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
2 23
2 1
k n k
k n n
Vậy với n = thì A số chính phương
0.5đ 0.5đ
0.75đ 0.25đ
4 a
ABC
C = AB+BC+CA = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt cắt nhau)
= 2 2
2
2 OA OM a R
Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi
0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ A
P M
N O B
(4)ABC
C = 2 a R Ghi chú:
- Không có điểm vẽ hình
- Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng được cơng nhận (khơng có điểm).
b
(Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần)
Trình bày c/m: SBID SBIC
4
Trình bày c/m: SBIC SBIA
2
=>SBID SBIA SABD
9
1
Trình bày c/m: SABD SABC
4
=>
36 36 36
1
BID S ABC
S
Ghi chú:
- Khơng có điểm vẽ hình
- Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng được cơng nhận (khơng có điểm).
0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
5
ĐK: x≠0, y≠0
2 2 16
16
10 10
)
( ) (
4
1
y x y
x x
y y x
Q
2 )
( ) 1 (
4 1
1 16 16 2
2 10 10
x y x y
x y y x
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
2
10 10
2 1
1
y x x
y y
x
4 16
16
) 1 (
4
y x y
x
=>
2
1
2 2 4 2 4
x y x y x y x y
Q
Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 =
0.5đ
0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ Chú ý: HS giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa
A
B
C D