Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Hoằng Hóa năm học 20142015 môn thi: Toán49530

ĐỀ ΤΗΙ HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014−2015 ΜΝ ΤΗΙ: ΤΟℑΝ Νγ◊ψ τηι: 21/10/2014 ΠΗΝΓ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG ΗΟℑ Thời γιαν: 150 πητ ( Κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) (Đề τηι ν◊ψ χ⌠ β◊ι, gồm 01 τρανγ) Β◊ι 1: (4,0 điểm) Χηο biểu thức: Π  ξ  ξ ξ  1 ξ2  ξ   ξ  ξ 1 ξ ξ 1 α Ρτ gọn Π β Τm γι〈 trị nhỏ Π ξ , chứng tỏ < Θ < Π χ Ξτ biểu thức: Θ  Β◊ι 2: (4,5 điểm) α Κηνγ δνγ m〈ψ τνη ηψ σο σ〈νη : 2014 2015  ϖ◊ 2015 2014 2014  2015 β Τm ξ, ψ, ζ, biết: 4ξ2 + 2ψ2 + 2ζ2 – 4ξψ – 2ψζ + 2ψ – 8ζ + 10  χ Giải phương τρνη: Β◊ι 3: (4,0 điểm)   2 17 Với ξ  α   ξ3 ξ4  38  14  Τνη γι〈 trị biểu thức: Β = 3 ξ3  ξ   2015 β Τm tất χ〈χ cặp số νγυψν (ξ ; ψ) với ξ > 1, ψ > σαο χηο (3ξ+1)  ψ đồng thời (3ψ + 1)  ξ Β◊ι 4: (6,0 điểm) Χηο ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ βα γ⌠χ nhọn với χ〈χ đường χαο ΑD, ΒΕ, ΧΦ cắt νηαυ Η α Chứng mινη rằng: Ταm γι〈χ ΑΕΦ đồng dạng với ταm γι〈χ ΑΒΧ ; Σ ΑΕΦ  χοσ Α Σ ΑΒΧ β Chứng mινη : Σ DΕΦ  1  χοσ Α  χοσ Β  χοσ Χ .Σ ΑΒΧ χ Χηο biết ΑΗ = κ.ΗD Chứng mινη rằng: τανΒ.τανΧ = κ + δ Chứng mινη rằng: ΗΑ ΗΒ ΗΧ    ΒΧ ΑΧ ΑΒ Β◊ι 5: (1,5 điểm) Χηο ξ, ψ λ◊ χ〈χ số tự νηιν κη〈χ 0, τm γι〈 trị nhỏ biểu thức: Α  36 ξ  ψ Hết Họ τν τη σινη: Chữ κ γι〈m thị:1: Số β〈ο δανη: Chữ κ γι〈m thị 2: Γι〈m thị κηνγ giải τηχη γ τηm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN ΤΗΙ HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014−2015 ΜΝ : ΤΟℑΝ ΠΗΝΓ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG ΗΟℑ Hướng dẫn chấm ν◊ψ χ⌠ 03 τρανγ Β◊ι Ι Ψυ cầu χηυνγ: Học σινη giải χ〈χη κη〈χ χηο điểm tối đa tương ứng Β◊ι ηνη học σινη κηνγ vẽ ηνη vẽ ηνη σαι τη κηνγ χηο điểm ΙΙ Ψυ cầu cụ thể: Nội δυνγ cần đạt Điểm a.(2,0đ) Đk : ξ  0; ξ  0,25 Π  ξ   ξ 2 ξ ξ ξ 1 ξ  ξ 1      ξ 1 ξ   ξ 1  ξ 1  ξ 1  ξ 1 ξ 1  ξ 1 0,5  ξ  ξ 1 Vậy Π  ξ  ξ  , với ξ  0; ξ  3 β (1,0đ) Π  ξ  ξ    ξ     2 4  dấu xảy ρα κηι ξ = …, thỏa mν đk Vậy ΓΤΝΝ Π λ◊ κηι ξ χ (1,0đ).Với ξ  0; ξ  τη Θ = Ξτ    0 ξ 1 ξ > (1) ξ  ξ 1 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 2 ξ  ξ  ξ 1 ξ  ξ 1 Dấu κηνγ xảy ρα ϖ điều kiện ξ  συψ ρα Θ < 2.(2) Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα < Θ < 2 0,5 2014 2015 2015  2014     2015 2014 2015 2014 1  2015  2014    2015  2014 2014 2015 2014 2015  Vậy > 2014  2015 2015 2014 β Πην τχη τη◊νη (2ξ − ψ)2 + (ψ – ζ + 1)2 + ( ζ − 3)2  (1) ς (2ξ − ψ)2  ; (ψ – ζ + 1)2  ; ( ζ − 3)2  với ξ, ψ, ζ νν từ (1) συψ ρα ξ = 1; ψ = 2; ζ = χ Đk: ξ > − Κηι phương τρνη χηο tương đương với ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 0,75 0,75 0,25           0 ξ3   ξ    4 4 ξ  11 ξ  11 ξ3  ξ4 0  0     2 2 ξ  3   ξ     ξ3 ξ4 ξ3  ξ4    ς ξ > − νν      ξ  3   ξ     ξ3  ξ4    11 Dο 4ξ + 11 =  ξ =  thỏa mν điều kiện 11 Vậy tập nghiệm phương τρνη λ◊: Σ     4 0,5 0,25 0 0,25 0,25   2   2   2  2 3 α Τα χ⌠ ξ   (3  5) 3 1,25 Dο Β = − 0,75 β Dễ thấy ξ  ψ Κηνγ τνη tổng θυ〈τ, giả sử ξ > ψ Từ (3ψ + 1)  ξ  ψ   π.ξ π  Ν ∗  0,25 0,25 ς ξ > ψ νν 3ξ > 3ψ + = π.ξ  π < Vậy π  1; 2  Với π = 1:  ξ = 3ψ +  3ξ + = 9ψ +  ψ   ψ Μ◊ ψ > νν ψ  2; 4 + Với ψ = τη ξ = + Với ψ = τη ξ = 13  Với π = 2:  2ξ = 3ψ +  6ξ = 9ψ +  2(3ξ + 1) = 9ψ + ς 3ξ +  ψ νν 9ψ +  ψ συψ ρα  ψ , m◊ ψ > νν ψ = 5, συψ ρα ξ = Tương tự với ψ > ξ τα χ〈χ γι〈 trị tương ứng Vậy χ〈χ cặp (ξ; ψ) cần τm λ◊: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4); A α 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 E F H C B D Ταm γι〈χ ΑΒΕ ϖυνγ Ε νν χοσΑ = ΑΕ ΑΒ 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com Ταm γι〈χ ΑΧΦ ϖυνγ Φ νν χοσΑ = ΑΦ ΑΧ 0,25 ΑΕ ΑΦ Συψ ρα =  ΑΕΦ ฀ ΑΒΧ (χ.γ.χ) ΑΒ ΑΧ Σ ΑΕ  ∗ Từ ΑΕΦ ฀ ΑΒΧ συψ ρα ΑΕΦ     χοσ Α Σ ΑΒΧ  ΑΒ  Σ Σ β Tương tự χυ α, ΒDΦ  χοσ Β, ΧDΕ  χοσ Χ Σ ΑΒΧ Σ ΑΒΧ 0,75 Σ DΕΦ Σ ΑΒΧ  Σ ΑΕΦ  Σ ΒDΦ  ΣΧDΕ    χοσ Α  χοσ Β  χοσ Χ Σ ΑΒΧ Σ ΑΒΧ 0,75 0,5 Từ συψ ρα Συψ ρα Σ DΕΦ  1  χοσ Α  χοσ Β  χοσ Χ .Σ ΑΒΧ 0,25 ΑD ΑD ΑD ,τανΧ = Συψ ρα τανΒ.τανΧ = ΒD ΧD ΒD.ΧD 2 ς ΑΗ = κ.ΗD  ΑD  ΑΗ  ΗD  κ  1.ΗD νν ΑD  κ  1 ΗD 0,25 χ Τα χ⌠: τανΒ = (1) ΗD κ  1 (2) ΒD.ΧD DΒ ΗD Lại χ⌠ DΗΒ ฀ DΧΑ( γ.γ ) νν   DΒ.DΧ  ΗD ΑD (3) ΑD DΧ 0,25 Dο τανΒ.τανΧ = 0,25 0,25 Từ (1), (2), (3) συψ ρα: ΗD κ  1 ΗD κ  1 ΗD κ  1    κ  τανΒ.τανΧ = ΑD.ΗD ΑD ΗD κ  1 2 ΗΧ ΧΕ ΗΧ.ΗΒ ΧΕ.ΗΒ Σ ΗΒΧ     ΑΧ ΧΦ ΑΧ ΑΒ ΧΦ ΑΒ Σ ΑΒΧ ΗΒ.ΗΑ Σ ΗΑΒ ΗΑ.ΗΧ Σ ΗΑΧ  Tương tự: ; Dο đó:  ΑΧ.ΒΧ Σ ΑΒΧ ΑΒ.ΒΧ Σ ΑΒΧ ΗΧ.ΗΒ ΗΒ.ΗΑ ΗΑ.ΗΧ Σ ΗΒΧ  Σ ΗΧΑ  Σ ΗΑΒ + + = 1 Σ ΑΒΧ ΑΧ ΑΒ ΑΧ.ΒΧ ΑΒ.ΒΧ δ Từ ΑΦΧ ฀ ΗΕΧ   Τα chứng mινη được: (ξ + ψ + ζ)2  3(ξψ + ψζ + ζξ) (∗) ℑπ dụng (∗) τα χ⌠: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25  ΗΑ ΗΒ ΗΧ   ΗΑ.ΗΒ ΗΒ.ΗΧ ΗΧ.ΗΑ  0,25           3.1   ΒΧ ΑΧ ΑΒ   ΒΧ.ΒΑ ΧΑ.ΧΒ ΑΒ ΑΧ  ΗΑ ΗΒ ΗΧ 0,25 Συψ ρα    ΒΧ ΑΧ ΑΒ Với ξ, ψ  Ν ∗ τη 36ξ χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ 6, 5ψ χ⌠ chữ số tận χνγ 0,25 λ◊ νν : Α χ⌠ chữ số tận χνγ λ◊ ( 36ξ > 5ψ) ( 36ξ < 5ψ) ΤΗ1: Α = κηι 36ξ − 5ψ =1  36ξ − = 5ψ Điều ν◊ψ κηνγ xảy ρα ϖ (36ξ – 1)  35 νν (36ξ – 1)  7, χ∫ν 5ψ κηνγ χηια hết χηο ΤΗ2: Α = Κηι 5ψ − 36ξ =  5ψ = + 36ξ điều ν◊ψ κηνγ xảy ρα ϖ (9 + 36ξ)  χ∫ν χ∫ν 5ψ κηνγ χηια hết χηο ΤΗ3: Α = 11 Κηι 36ξ − 5ψ =11 Thấy ξ = 1, ψ = thỏa mν ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy ΓΤΝΝ Α 11, κηι ξ = 1, ψ = Hết Người λ◊m đáp 〈ν: ThuVienDeThi.com 0,25 Người thẩm định: Người duyệt: ...HƯỚNG DẪN ΤΗΙ HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014−2015 ΜΝ : ΤΟℑΝ ΠΗΝΓ ΓΙℑΟ DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG ΗΟℑ Hướng dẫn chấm ν◊ψ χ⌠ 03 τρανγ Β◊ι Ι Ψυ cầu χηυνγ: Học σινη giải χ〈χη κη〈χ χηο... 1:  ξ = 3ψ +  3ξ + = 9? ? +  ψ   ψ Μ◊ ψ > νν ψ  2; 4 + Với ψ = τη ξ = + Với ψ = τη ξ = 13  Với π = 2:  2ξ = 3ψ +  6ξ = 9? ? +  2(3ξ + 1) = 9? ? + ς 3ξ +  ψ νν 9? ? +  ψ συψ ρα  ψ ,... 36ξ =  5ψ = + 36ξ điều ν◊ψ κηνγ xảy ρα ϖ (9 + 36ξ)  χ∫ν χ∫ν 5ψ κηνγ χηια hết χηο ΤΗ3: Α = 11 Κηι 36ξ − 5ψ =11 Thấy ξ = 1, ψ = thỏa mν ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy ΓΤΝΝ Α 11, κηι