Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Lâm Thao năm học 2013 – 2014 môn: Toán44485

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn: Tốn Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI  x 3 x 2 x 2   x  Câu (4 điểm): Cho biểu thức A      : 1  ; x    x  3 x x 5 x    Với x  0; x  4; x  ; a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x   c) Với giá trị x đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ A đó? Câu 2(3 điểm): a) Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013  x - 2012  z - 2014     x - 2012 y - 2013 z - 2014 Câu (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b chia hết cho 45 Câu 4: (7 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1   2 AM AI a Câu ( 2điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học: 2013-2014  x 3 x 2 x 2   x     : 1  ; x    x  3 x x 5 x    Câu (4 điểm):Cho biểu thức A   Với x  0; x  4; x  (*) a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị A x   ; c) Với giá trị x Lời giải sơ lược a) Với điều kiện * ta có:  x 3 x 2    x 2 x 3  A   x   :  x 1   x   x    x   x 2 x 2  Điểm 0,50  x 9 x  4 x    :  x 2 x 3  x 1     đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ đó? A    x 3 x 2    :  x   x 1    1 :  x  x 1  0,50 0,50 x 1 x 2 0,50 b) Dễ thấy : x      1 thoả mãn điều kiện Khi đó: x   1  1 Do vậy, giá trị biểu thức A là:  0,50 11  1 3 0,25 5 c) Viết lại, 0,25 =1  Để có GTNN A A x 1 có GTLN, hay x 1 x 1 0,25 có GTNN Ta có: x   , dấu "=" xảy x = Giá trị nhỏ    2 , xảy x =  A 1 0,75 Câu 2(3 điểm): a) Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013  x - 2012  z - 2014     x - 2012 y - 2013 z - 2014 ThuVienDeThi.com Lời giải sơ lược Câu Ý a Điểm 4đ 1,5đ Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 0,5 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, an số phương b 0,5 0,5 1,5đ Đặt x - 2012  a; y - 2013  b; z - 2014  c 0,25 (với a, b, c > 0) Khi phương trình cho trở thành: a-1 b-1 c-1 1 1  1 1  1 1                 a b c 4 a a  4 b b  4 c c  2 0,5 1 1 1 1 1 1             a = b = c = 2 a 2 b 2 c 0,5 Suy ra: x = 2016, y = 2017, z = 2018 0,25 Câu (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b  45 Câu Ý Lời giải sơ lược a Điểm 3đ 2đ Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2  4x2 + 8x = 38 – 6y2  4x2 + 8x + = 42 – 6y2  2 x    42  y  2 2 x      y2  Vì 2 x      y   y  , mà y  Z nên: y = 0; 1; 2 ThuVienDeThi.com (1) 0,5 0,5  2x    x2   x   6  x  4 + Với y = , từ (1) ฀ 2 x    36   Trường hợp phương trình có nghiệm nguyên là: (2;1) (-4;1) + Với y = -1  2x    x2  Thì từ (1) ฀ 2 x    36    x   6  x  4 0,5 Trường hợp pt có nghiệm nguyên là: (2;-1) (-4;-1) + Với y  2  2 x    18  x  x  14   x  x   pt khơng có nghiêm ngun VT chia hết cho 2, VP khơng chia hết cho 2 x   + Với y = 0, từ(1) ฀ 0,25  42  x  x  38   x  x  19 PT khơng có nghiệm ngun VT chia hết cho 2; VP không chia hết cho Vậy PT cho có nghiệm nguyên là: (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1) 0,25 2đ b Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = ®Ĩ a56b  45  a56b  vµ 0,5 XÐt a56b   b  {0 ; 5} NÕu b = ta cã sè a56b   a + + +   a + 11  a=7 0,25 0,5 NÕu b = ta cã sè a56b   a + + +   a + 16  a=2 0,5 VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560 a = vµ b = ta cã sè 2560 0,25 ThuVienDeThi.com Câu 4: (7 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1   2 AM AI a Lời giải sơ lược Câu Ý Điểm 7đ 4đ A E D C H O B a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật Suy AB EB = HB2 AC EH = AC AD = AH2 b) S(ADHE)= AD.AE   S(ADHE)  => ĐPCM AD  AE DE AH   2 AH AO R   2 ThuVienDeThi.com 1 0,5 R2 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE 0,5 Hay A điểm cung AB 3đ A B M J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD J Ta có  AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 (1)   AD AJ AI Xét hai tam giác vng ADJ ABM, ta có: ฀  BAM ฀ AB = AD = a; DAJ (góc có cạnh tương ứng vng góc) 0,5  ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM Thay vào (1) ta được: 1 1    (đpcm) 2 AD AM AI a ThuVienDeThi.com 0,5 Câu ( 2điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Sơ lược lời giải Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 x, y, z >0 abc=1.Ta có Điểm 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)  (a+b)ab, a+b>0 a2+b2-ab  ab  a3 + b3+1  (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0  1  a  b  ab a  b  c  0,5 0,25 Tương tự ta có 1  , b  c  bc a  b  c  1  c  a  ca a  b  c  3 0,5 Cộng theo vế ta có 1 1 1 = + 3 + 3   x  y 1 y  z 1 z  x 1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 1 1    c  a  b      = a  b  c   ab bc ca  a  b  c  Dấu xảy x=y=z=1 Các cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học: 2013- 2014  x 3 x 2 x 2   x     : 1  ; x    x  3 x x 5 x ... n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013  x - 2012  z - 2014     x - 2012 y - 2013 z - 2014 ThuVienDeThi.com Lời giải sơ lược Câu Ý a Điểm 4đ 1,5đ Ta có : an = n(n... phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b  45 Câu Ý Lời giải sơ lược a Điểm 3đ 2đ Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2  4x2 + 8x = 38 – 6y2  4x2 + 8x + = 42 – 6y2  2 x    42 