PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn: Tốn Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI x 3 x 2 x 2 x Câu (4 điểm): Cho biểu thức A : 1 ; x x 3 x x 5 x Với x 0; x 4; x ; a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x c) Với giá trị x đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ A đó? Câu 2(3 điểm): a) Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013 x - 2012 z - 2014 x - 2012 y - 2013 z - 2014 Câu (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b chia hết cho 45 Câu 4: (7 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 2 AM AI a Câu ( 2điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học: 2013-2014 x 3 x 2 x 2 x : 1 ; x x 3 x x 5 x Câu (4 điểm):Cho biểu thức A Với x 0; x 4; x (*) a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị A x ; c) Với giá trị x Lời giải sơ lược a) Với điều kiện * ta có: x 3 x 2 x 2 x 3 A x : x 1 x x x x 2 x 2 Điểm 0,50 x 9 x 4 x : x 2 x 3 x 1 đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ đó? A x 3 x 2 : x x 1 1 : x x 1 0,50 0,50 x 1 x 2 0,50 b) Dễ thấy : x 1 thoả mãn điều kiện Khi đó: x 1 1 Do vậy, giá trị biểu thức A là: 0,50 11 1 3 0,25 5 c) Viết lại, 0,25 =1 Để có GTNN A A x 1 có GTLN, hay x 1 x 1 0,25 có GTNN Ta có: x , dấu "=" xảy x = Giá trị nhỏ 2 , xảy x = A 1 0,75 Câu 2(3 điểm): a) Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013 x - 2012 z - 2014 x - 2012 y - 2013 z - 2014 ThuVienDeThi.com Lời giải sơ lược Câu Ý a Điểm 4đ 1,5đ Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 0,5 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, an số phương b 0,5 0,5 1,5đ Đặt x - 2012 a; y - 2013 b; z - 2014 c 0,25 (với a, b, c > 0) Khi phương trình cho trở thành: a-1 b-1 c-1 1 1 1 1 1 1 a b c 4 a a 4 b b 4 c c 2 0,5 1 1 1 1 1 1 a = b = c = 2 a 2 b 2 c 0,5 Suy ra: x = 2016, y = 2017, z = 2018 0,25 Câu (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Câu Ý Lời giải sơ lược a Điểm 3đ 2đ Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x = 38 – 6y2 4x2 + 8x + = 42 – 6y2 2 x 42 y 2 2 x y2 Vì 2 x y y , mà y Z nên: y = 0; 1; 2 ThuVienDeThi.com (1) 0,5 0,5 2x x2 x 6 x 4 + Với y = , từ (1) 2 x 36 Trường hợp phương trình có nghiệm nguyên là: (2;1) (-4;1) + Với y = -1 2x x2 Thì từ (1) 2 x 36 x 6 x 4 0,5 Trường hợp pt có nghiệm nguyên là: (2;-1) (-4;-1) + Với y 2 2 x 18 x x 14 x x pt khơng có nghiêm ngun VT chia hết cho 2, VP khơng chia hết cho 2 x + Với y = 0, từ(1) 0,25 42 x x 38 x x 19 PT khơng có nghiệm ngun VT chia hết cho 2; VP không chia hết cho Vậy PT cho có nghiệm nguyên là: (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1) 0,25 2đ b Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = ®Ĩ a56b 45 a56b vµ 0,5 XÐt a56b b {0 ; 5} NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 11 a=7 0,25 0,5 NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 16 a=2 0,5 VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560 a = vµ b = ta cã sè 2560 0,25 ThuVienDeThi.com Câu 4: (7 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 2 AM AI a Lời giải sơ lược Câu Ý Điểm 7đ 4đ A E D C H O B a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật Suy AB EB = HB2 AC EH = AC AD = AH2 b) S(ADHE)= AD.AE S(ADHE) => ĐPCM AD AE DE AH 2 AH AO R 2 ThuVienDeThi.com 1 0,5 R2 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE 0,5 Hay A điểm cung AB 3đ A B M J D C I Vẽ Ax AI cắt đường thẳng CD J Ta có AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 (1) AD AJ AI Xét hai tam giác vng ADJ ABM, ta có: BAM AB = AD = a; DAJ (góc có cạnh tương ứng vng góc) 0,5 ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM Thay vào (1) ta được: 1 1 (đpcm) 2 AD AM AI a ThuVienDeThi.com 0,5 Câu ( 2điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 Sơ lược lời giải Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 x, y, z >0 abc=1.Ta có Điểm 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, a+b>0 a2+b2-ab ab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 a b ab a b c 0,5 0,25 Tương tự ta có 1 , b c bc a b c 1 c a ca a b c 3 0,5 Cộng theo vế ta có 1 1 1 = + 3 + 3 x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a 1 1 1 c a b = a b c ab bc ca a b c Dấu xảy x=y=z=1 Các cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học: 2013- 2014 x 3 x 2 x 2 x : 1 ; x x 3 x x 5 x ... n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013 x - 2012 z - 2014 x - 2012 y - 2013 z - 2014 ThuVienDeThi.com Lời giải sơ lược Câu Ý a Điểm 4đ 1,5đ Ta có : an = n(n... phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Câu Ý Lời giải sơ lược a Điểm 3đ 2đ Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x = 38 – 6y2 4x2 + 8x + = 42 – 6y2 2 x 42