Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp tỉnh năm học 2016 201741195

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm có 05 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp A, D C B B A D A B A B A A C A D án C Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Phần tự luận Câu (3,0 điểm) Nội dung Điểm a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh a b bc ca   0  c2  a  b2 Ta có  a  ab  bc  ca  a  (a  b)(a  c) Tương tự  b  ab  bc  ca  b  (b  a )(b  c);  c  ab  bc  ca  c  (c  a )(c  b) a b a b 1    Suy 1 c (c  a )(c  b) c  b c  a bc bc 1    ; 1 a (a  b)(a  c) a  c a  b ca ca 1    1 b (b  a )(b  c) b  a b  c 1 1 1 a b bc ca Vậy           c2  a  b2 c  b c  a a  c a  b b  a b  c b) Chứng minh a.b  hai phương trình: (a  a ) x  a y  a   (1); (b3  b) x  b y  b   (2) (a,b tham số) nghiệm nguyên chung Giả sử (1) (2) có nghiệm nguyên chung ( x0 ; y0 ) , ta có (a  a ) x0  a y0  a   (3) ; (b3  b) x0  b y0  b   (4) ThuVienDeThi.com 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1,5 0,25 Nội dung Vì a, b  ta có (3)  a  x0 a  y0 a  x0 a   Điểm   1 1 1      a     a   x0  y0    a    x0  a    y0   0; a   a a a    (4)  b  x0b3  y0b  x0b   1  1 1 1      b     b   x0  y0    b    x0  b    y0   b   b b b    1 Suy t1  a  ; t2  b  hai nghiệm phương trình bậc hai (ẩn t) a b t  x0t  y0   Theo định lí Viet: 1  ab  a  b    x0 a  a  b  b   x0  ab   1  a    a  b  ab   y  b    y0    b a  a  b ab Vì a.b  nên    2 a  b  2ab  16 x0 a  b   x0 a  b  x0  16    a b 16 16 2 2   y  a  b  ab( y  ) a  b  y  16 0  3  b a  Suy x0   y0  16  x02  48 y0  160 (4) Điều vơ lí VT(4) chia hết 16 cho VT(4) không chia hết cho Vậy a.b  hai phương trình (1), (2) khơng có nghiệm nguyên chung 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x   x   (1) Điều kiện: x  1 Ta có: (1)  x   x   2,0 0,5  2x   x   x  0,5  x 1  x 1  x  1  4( x  1)  x  x   x  1  x  2x   x    x  1 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com Nội dung Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x  1; x  Điểm  x3  x y  x  xy  y  x  y (1) b) Giải hệ phương trình  x  y   x  (2)  1,5 Điều kiện x  0; y  1 Ta có: (1)  y  ( x  x  1) y  ( x3  x  x)   ( y  x  1)( y  x  x)  0,25  y  x  4x   y  x 1  Từ (2)  x  y   x    x   y  x   y  x   Vậy ta có (1)  y  x  x Thay y  x  x vào (1) ta có x  x  x   x  (3) Vì x  không nghiệm (3) nên 1 (3)  x   x 4 3 x x 1 (t  2)  x   t  Phương trình trở thành: Đặt t  x  x x t  t  t2    t2    t    t  2 t   (3  t ) x  25 17   x  x 1    Suy x   x  x 4  15 Từ suy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (4;0);( ; ) 16 Câu Cho đường tròn (O; R ) điểm A cố định (O; R ) Gọi M, N giao ฀ điểm hai đường tròn (O; R ) ( A; R ) ; H điểm thay đổi cung nhỏ MN đường tròn ( A; R ) Đường thẳng qua H vng góc với AH cắt (O; R ) B, C Kẻ HI  AB ( I  AB ), HK  AC ( K  AC ) N A K J t O I C M B H A' ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4,0 Nội dung a) Chứng minh IK ln vng góc với đường thẳng cố định AB AC  R Ta có ฀AIH  900 ; ฀AKH  900 Vì ฀AIH  ฀AKH  1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp Kẻ tiếp tuyến At đường tròn (O; R ) A ฀  ฀ACB  HAC  900 Điểm 2,5 0,5 0,5 Ta có:   ฀ACB  ฀AHK (1) ฀ ฀  AHK  HAC  90  Ta lại có: ฀AHK  ฀AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2) ฀  ฀ACB (cùng sđ ฀AB ) (3) BAt ฀ Từ (1), (2), (3) suy ra: BAt  ฀AIK  At ฀ IK Mặt khác OA  At  IK  OA Vậy IK vng góc với đường thẳng cố định OA Gọi J giao điểm AO IK; A’ điểm đối xứng với A qua O Ta có: ACH  AA ' B ฀AHC  ฀ABA '  900 ; ฀ACH  ฀AA ' B   AC AH   AB AC  AH AA '  R AH  R AA ' AB b) Tìm giá trị lớn diện tích AIK H thay đổi  AK AH Ta có AKH  AHC    AK AC  AH AH AC 0,5 0,5 0,25 0,25 1,5 0,25 Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC AIK Ta có AIK ฀ ACB  AI AK IK AJ , suy ra:    AC AB BC AH 2 AJ IK S' AJ IK  AK   AK AC  AH AH           S AH BC AH BC  AB   AB AC   AH R 2 R 1 R R R2 Suy S '  S  AH BC  BC  R  8 R2 Vậy giá trị lớn tam giác AIK , đạt H  O Câu Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2(a 2b  b 2c  c a )  (a  b  c )  4abc Ta có: ab  bc  ca  (a  b  c)(ab  bc  ca )  (a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca )  3abc Suy a  b  c  (a  b  c)  2(ab  bc  ca )   2(ab  bc  ca ) 0,25 0,5 0,25 0,25 1,5 0,25   (a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca )  3abc  Do đó: P  2(a 2b  b 2c  c a )   (a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca )  3abc   4abc 0,25   2(ab  bc  ca  abc) Khơng tính tổng qt giả sử a  b  c 0,25 2 ThuVienDeThi.com Nội dung Điểm Suy a (a  b)(b  c)   (a  ab)(b  c)   a 2b  a 2c  ab  abc   ab  ca  a 2b  abc Do ab  bc  ca  abc  (ab  ca )  bc  abc  (a 2b  abc)  bc  abc  b(a  c) Với số dương x, y, z ta ln có: 2 x  y  x  3 xyz  x  y  z  x  y  y  z  z  x            x yz Suy x  y  z  xyz  xyz    (*)   Dấu xảy x  y  z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có ac ac   b    a  c  a  c  abc b(a  c)  4b    4    4   3      27     19 Suy P   2(ab  bc  ca  abc)   2b(a  c)    27 27 19 Vậy MinP  P đạt giá trị nhỏ a  b  c  27 0,25  3 ……….Hết……… ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... J t O I C M B H A' ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4,0 Nội dung a) Chứng minh IK ln vng góc với đường thẳng cố định AB AC  R Ta có ฀AIH  90 0 ; ฀AKH  90 0 Vì ฀AIH  ฀AKH  1800 nên...  3      27     19 Suy P   2(ab  bc  ca  abc)   2b(a  c)    27 27 19 Vậy MinP  P đạt giá trị nhỏ a  b  c  27 0,25  3 ……….Hết……… ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... nội tiếp Kẻ tiếp tuyến At đường tròn (O; R ) A ฀  ฀ACB  HAC  90 0 Điểm 2,5 0,5 0,5 Ta có:   ฀ACB  ฀AHK (1) ฀ ฀  AHK  HAC  90  Ta lại có: ฀AHK  ฀AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2) ฀ 