Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Hoằng Hóa năm học 20152016 môn thi: Toán34994

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 12/10/2015 PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho A  a) Rút gọn biểu thức A x 9 x 1 x 3   (x  0, x  4, x  9) x 5 x 6 x 3 2 x b) Tìm giá trị x để A =  Bài 2: (4,5 điểm) a) Tính  15   15 x  3x  3x  x  2015 b) Cho – x – = Tính giá trị biểu thức: P  x  x  3x  3x  2015 3x 6 c) Giải phương trình: x  x 9 x2 Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n bé để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125 b) Chứng minh với số tự nhiên n >1 số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 khơng thể số phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) SABC = AB.BC.sinB AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD b) tanB.tanC = HD c) H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF HB.HC HC.HA HA.HB    d) AB.AC BC.BA CA.CB Bài 5: (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  y  y  z  z  x  2015 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T    yz zx xy Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị không giải thích thêm ThuVienDeThi.com PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ I II Bài Hướng dẫn chấm có 03 trang Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a(2,0đ) A  HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN : TỐN x 9 x 1 x 3   ( x  3)( x  2) x 3 x 2  x   (2 x  1)( x  2)  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  2) 0,25  x   2x  x  x   x  x x 2  ( x  3)( x  2) ( x  3)( x  2) 0,5  ( x  2)( x  1)  ( x  3)( x  2) x 1 x 3 1,0 x 1 x 3 Vậy A  0,25 b(2,0đ) Ta có: x 1    x 2   x 3 x 3  x   x  (t / m) 1 Vậy x = A =  A  0,75 1,0 0,25 a(1,5đ) Ta có  15   15   15    15   (  3)  (  3)      2 b(1,5đ) Ta có: x2 – x – =  x2 – x =  (x2 – x)3 =  x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = Mặt khác: x2 – x – =  x2 = x +  x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + P  2015 2016  1  2015 2016 x  c(1,5đ) ĐK: x2 – >    x  3 + Nếu x > 3: Bình phương hai vế phương trình ta được: x2  Đặt t  9x 6x x4 x2 72      72  x2  x2  x2  x2  x2 x 9 (t  0) , phương trình: t  6t  72   t  (t/m) ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Khi đó: x2 (loại) x  3 3x + Nếu x < –3: Khi đó: x  0,25   x4 – 36x2 + 324 =  x2 = 18 x 9 Suy : x  (t/m) x2  0,5 0,25   : PT vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x  a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6) Thử với n = 1; 2; F khơng chia hết cho 125 Thử với n = F = chia hết cho 125 Vậy số nguyên dương bé cần tìm là: n = b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 = n4(n2-1) + 2n2(n+1) = n2(n+1)(n3-n2 +2) = n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] = n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1)  (n-1)2 +1 khơng thể số phương Vậy A khơng thể số phương a(2,0đ) 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 A E F H * Ta có: SABC = BC.AD B D ABD vng D có AD =AB.sinB, SABC = C BC.AB.sinB ABE vng E có AE = AB.cosA BFC vng F có BF = BC.cosB ACD vng D có CD = AC.cosC Do AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD AD b(1,5đ) Xét ABD có tanB = ; ACD có tanC = BD CD AD suy tanB.tanC = (1) BD.CD ฀ ฀ ฀ Do HBD  CAD (cùng phụ với ACB ) nên BDH  ADC (g.g) DH BD  BD.DC = DH.DA   DC AD ThuVienDeThi.com 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 AD AD  DH.AD DH ฀ ฀  ABC c(1,5đ) Chứng minh AEF  ABC (g.g)  AEF ฀ ฀ ฀ ฀  CBA  CED Tương tự CED nên AEF mà BE  AC ฀ ฀ ฀  DEB ฀  AEB  CEB = 900 Từ suy FEB  EH phân DEF Tương tự DH, FH phân giác DEF nên H giao ba đường phân giác DEF d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC CH CE Dễ thấy CHE  CAF(g.g)   CA CF HB.HC HB.CE 2.SBHC SBHC     AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC.HA SCHA HA.HB SHAB   Tương tự có ; BC.BA SCBA CA.CB SCAB HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB Do đó:      1 AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB Kết hợp với (1) tanB.tanC = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt a  x  y ; b  y  z ;c  z  x  a; b;c  a  b  c  2015 Ta có: a  b  c2  2(x  y  z )  a  b  c 2 a  b  c 2 a  b  c ;y  ;z  2 x2 a  b2  c2  Do đó: (y  z)2  2(y  z )  2b  y  z  2b  yz 2b  x2  y2 a  b2  c2 z a  b  c  ,  zx xy 2c 2a a  b2  c2 b a  b2  c2 c a  b2  c2 a        T 2b 2 2c 2 2a 2 1 1 a bc  (a  b  c )       2 a b c  1  2015  (a  b  c)       2 a b c  1  2015  (a  b  c)(a  b  c)       2 a b c 2015 2015  2015.9   2 2 2015 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  2015 2015 Vậy T  x  y  z  2 Tương tự: Người làm đáp án: ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Người thẩm định: Người duyệt: ...PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ I II Bài Hướng dẫn chấm có 03 trang Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai... cho điểm u cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a(2,0đ) A  HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN x ? ?9 x 1 x 3   ( x  3)( x  2) x 3 x 2  x   (2 x  1)( x  2) ... vế phương trình ta được: x2  Đặt t  9x 6x x4 x2 72      72  x2  x2  x2  x2  x2 x ? ?9 (t  0) , phương trình: t  6t  72   t  (t/m) ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25