Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Thạch Hà năm 2017 có đáp án

Vững vàng tảng, Khai sáng tƣơng lai PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán Thời gian làm 150 phút Câu 1: a) Tính giá trị đa thức f ( x )  ( x  3x  1)2016 x   b) So sánh 20172   20162     2.2016 20172   20162  sin2 x cos2 x  c) Tính giá trị biểu thức: sin x cos x  với 00  x  900  cot x  tan x d) Biết số vô tỉ, tìm số nguyên a, b thỏa mãn:   9  20 ab ab Câu 2: Giải phương trình sau: x 1 x     a) x  x 1 b) x  5x   x  Câu 3: a) Cho đa thức P  x   ax  bx  cx  d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x – xy  y2 –  c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số Câu 4: a4  b4  ab3  a3b  a2b2 a) Chứng minh b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + =2 a+b+1 b+c+1 c+a+1 Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a) Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Gọi M, N chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi không giải thích thêm, học sinh không dùng máy tính bỏ túi ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tƣơng lai SƠ LƢỢC GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 150 phút) Câu Câu Ý a) Đáp án     x  9       2     9 2 2 42 4  =9  8 1 2 52 52 2   f ( x)  f (1)  b) Ta có c) d) 20152   20142   ( 20172   20162  1)( 20172   20162  1) 20172   20162  (20152  1)  (20142  1) 2017  20162 (2017  2016)(2017  2016)    20172   20162  2017   20162  2017   2016  2017  2016 2.2016   2 2017   2016  2017   20162  2.2016 Vậy 20172   20162  > 20172   20162  sin2 x cos2 x sin x cos x   cos x sin x 1 1 sinx cos x sin x cos3 x  sin x cos x    cosx 1+sinx  sinx  cos x  sin2 x  sinx.cos x  cos2 x  sin3 x  cos3 x  sin x cos x   sin x.cos x  sinx  cosx sinx  cosx  sin x.cos x   sin x.cos x  ĐK: a  b (*) ab  ab  9  20  2(a  b 5)  3(a  b 5)  (9  20 5)(a  b 5)(a  b 5)  9a2  45b2  a  5(20a2  100b2  5b) (*) Ta thấy (*) có dạng A  B A, B Q , B  thi  A  I vô lí B B = => A= Câu a) W: www.hoc247.net 9a  45b2  a  9a  45b  a  9a2  45b2  a     Do (*)     9 2  20a  100b  5b  9a  45b  b  a  b    a  a  a  b (không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b =   hoac  b  b    b  4b   ĐK x  1; x  (**) F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tƣơng lai x 1 x  (2)    x  x 1 x3 x3   ( x  3)( x  1) + Trường hợp: x + =  x  3 (TMĐK (**) + Trường hợp: x +   x  3 Ta có (x-3)(x-1) =  x2  x    x2  x    ( x  2)2   x   hoac x   (TMĐK (*)) Vậy tập nghiệm phương trình (2) là: S ={-3;  ;  } b) ĐK: x  (***) x  6x   x   x     x  3  x   x      x  3    x  1   x     x  (thỏa mãn ĐK(***))  x    Vậy nghiệm phương trình x = Câu Ta có: P(0) = d a) P(1) = a + b + c + d => a + b + c P(-1) = -a + b – c + d (1) => -a + b – c (2) Từ (1) (2) suy 2b => b P(2) = 8a + 4b + 2c + d => 8a + 2c => a => c 5 (2,5) = 1, suy a + c b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16  ( 2x – y )2 + 3y2 = 16  ( 2x – y )2 = 16 – 3y2 Vì ( 2x – y )2  nên 16 – 3y2   y2   y2  { 0; 1; } - Nếu y2 = x2 =  x =  - Nếu y2 = ( 2x – y )2 = 13 không số phương nên loại y2 = - Nếu y2 =  y =  + Khi y = x = x = + Khi y = - x = x = - Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = ( - 2; ); ( 2; ); ( 0; ); ( 2; ); ( 0; - ); ( - 2; -2 ) c) - Nếu n số chẵn n4 + 4n số chẵn lớn nên hợp số - Nếu n số lẻ, đặt n = 2k + với k số tự nhiên lớn n4 + 42k + = (n2)2 + (2.4k )2 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tƣơng lai Câu a) Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k = (n – 2k)2 + 4k > Suy n4 + 42k + hợp số Vậy n4 + 4n hợp số với số tự nhiên n lớn a  b4 Giả sử ta có  ab3  a3b  a2b2 4  a  b  2ab  2a3b  2a2b2  a4  b4  2ab3  2a3b  2a 2b2   a4  2a3b  a2b2  b4  2ab3  a2b2    a  ab    b2  ab   với a, b 2 a  b4  ab3  a3b  a2b2 với a, b Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z số thực dương 1 + + =2 Ta có x+1 y+1 z+1 1 1 y z   2   1 1   x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 y+1 z+1 Vậy b)  y z 2  x+1 y+1 z+1 (Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số dương Chứng minh tương tự ta có y z ) y+1 z+1 x z y x 2  2  y+1 x+1 z+1 z+1 y+1 x+1 1 y z x z x y   2  2  2  x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 x+1 z+1 x+1 y+1 1 xyz    8 x+1 y+1 z+1  x  1 y  1 z  1 Suy Dấu “ = ” xẩy x y z   x yz x+1 y+1 y+1 abc  xyz  Vậy giá trị lớn tích ( a + b )( b + c )( c + a) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tƣơng lai Câu A I K F N H M E B a) b) C D Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông tac có: AE.AB = AD ; AF.AC = AD2 Suy ra: AE.AB = AF.AC Biểu thị : tanB = AD AD AD2 ; tanC = ; tanB.tanC = BD CD BD.CD Biểu thị được: CD BD BD.CD ; tanC = tan DHB  ; tanB.tanC = HD HD HD2 AD AD Suy ra: (tanB.tanC)2 = => tanB.tanC = =3 HD HD tanB = tan DHC  c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK BM BD BE    ME / /IK  M  EF MI DC EK Tương tự chứng minh N  EF suy điểm E, M, N, F thẳng hàng Chứng minh được: Tổng Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng cho điểm tối đa W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tƣơng lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm... thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H 99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline... Khai sáng tƣơng lai SƠ LƢỢC GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 150 phút) Câu Câu Ý a) Đáp án     x  9       2     9 2 2 42 4  =9