Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Vĩnh Lộc năm 2017 có đáp án

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = 3x  x  x x 2  x 1 x 2 x 2  x 1 a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tìm x để P < Bài 2: (4,0 điểm) a Giải phương trình: x  x  x   30 b Cho hai số dương a b Chứng minh 1  4 a b  a  b   Bài 3: (4,0 điểm) a Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương b Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x  y  z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC' a Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B   900 Chứng minh AM = AN b Trên BB' lấy M, CC' lấy N cho  AMC  ANB c Gọi S, S' diện tích tam giác ABC tam giác A'B'C' Chứng minh cos A  cos B  cos C   S' S Bài 5: (2,0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn x  y  A  3x  y   5x y 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 35 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Nội dung cần đạt Điểm Câu a: (2,0 điểm) - Tìm ĐKXĐ: x  0, x  0,5 - Ta có 3x  x  x x 2     x 1  x2 3x  x  ( x  2)( x  1)  0,5 x 2  x 1 ( x  1)( x  1) ( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  1) 3x  x   x   x  ( x  2)( x  1) 0,5 x3 x 2 ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1)  x 1 0,5 x 1 Câu b: (2,0 điểm) - Ta có: P <  x 1 x 1 0,5 0  x   0(do x   0)  x 1 1,0  x 1 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với  x  P < 0,5 Câu a: (2,0 điểm) Giải phương trình: x  x  x   30 - ĐKXĐ x  5 0,25 - Ta có x  x  x   30  x  x  16  x   x      x  4    x53  - Vì  x  4  0;   x    nên 1,0  x       x     x     x     x4   0,5 0,25 (thỏa mãn ĐKXĐ) - Nghiệm phương trình cho x = Câu b: (2,0 điểm) 1  1 Cho hai số dương a b Chứng minh  a  b      a b  0,75 - Ta có 1 a b    2  b a a b  a  b   - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương a b a b  2 2 b a b a 0,75 0,5 1 1 - Do  a  b      a b Câu a: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương - Để A số phương A = n + n + = a2 (a  N )  4n  4n  24  4a 0,25 0,5 - Ta có: n + n + =a2   2a    2n  1  23 2   2a  2n  1  2a  2n    23 0,5 - Vì a, n số tự nhiên nên (2a +2n +1) số tự nhiên 2a + 2n + > 2a – 2n -1 Do 0,25  2a  2n   23   2a  2n    4a  24   4n  20 a   n  0,5 - Vậy n = Câu b: (2,0 điểm) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x  y  z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 1,0 - Xét phép chia xy cho Nếu xy không chia hết cho  x  1(mod 3)   y  1(mod 3)  x  1(mod 3)   y  1(mod 3) (Vô lí)  z  x  y  2(mod 3) Vậy xy chia hết cho (1) - Xét phép chia xy cho Nếu xy không chia hết cho  x  1(mod 4)   y  1(mod 4)  x  1(mod 4) TH1:    y  1(mod 4)  z  x  y  2(mod 4) 0,5 (vô lí ) TH2: Trong hai số x,y số chia dư 2, số chia dư -1 Không tính tổng quát giả sử  x  1(mod 4)   y  2(mod 4)  x  1(mod 8) ( vô lí)   y  4(mod 8)  z  x  y  5(mod 8) 0,5 - Vậy xy chia hết cho (2) - Từ (1) (2): Vậy xy chia hết cho 12 A B' C N M B A' C Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có Góc A chung 2,0 '  C '  90 B Suy ra: ΔAC'C  ΔAB'B Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN 0,5 - Xét AMC vuông M đường cao MB' AM  AB '.AC 0,5 - Xét ANB vuông N đường cao NC' 0,5 0,5 AN  AC '.AB - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos A  cos B  cos C   - Chỉ - Tương tự S AB 'C '  AB '     cos A S ABC  AB  S BA 'C '  cos B S ABC 0,5 - Do đó: 0,5 S  S BA 'C '  SCA ' B ' cos A  cos B  cos C  AB 'C ' S ABC  S ABC  S A ' B 'C ' S ABC 0,5 SCA ' B '  cos C S ABC S' S  1 0,5 S' S Cho x, y số dương thỏa mãn x  y  34 35 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  3x  y   5x y 0,5 - Ta có:  5x y 1 5x y  x y    2 5x y A  3x  y  0,5 - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta 5x 2.5 x  2 2 5x x.2 7x 8.7 x  2 4 7x x.2 0,25 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm... thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H 99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline... sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh