Gọi I , K lần lợt là giao điểm của OH và OM với PQ.. b Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đ-ờng thẳng xy.. Qua G vẽ đờng thẳng d cắt các cạnh MP, PO của
Trang 1phòng GD ĐT phù cừ–
đề thi chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi CấP HUYệN
Năm học 2014 - 2015
Môn thi: TOáN 9
Ngày thi: 08/01/2015
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
-Bài 1 (5.0 điểm):
a) Rút gọn các biểu thức sau:
b) Cho các số thực a, b thỏa mãn 4a > b > 0 và 4a2 + b2 = 5ab Tính giá trị của
−
2 2
4
ab B
Bài 2 (4.0 điểm): Giải các phơng trình sau:
a) ( x2 −2x)2 +2( x−1)2 − =2 0
x
Bài 3 (4.0 điểm):
a) Cho f(x) = mx + 2014 và g(x) = (m2 + 1)x - 2015 Chứng minh rằng hàm số
y = f(x) + g(x) là hàm số đồng biến trên R
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + x + 6 = y2
Bài 4 (6.0 điểm): Cho (O, R ) và một đờng thẳng xy cố định nằm ngoài đờng tròn Kẻ
OH vuông góc với xy (H thuộc xy) Từ một điểm M tùy ý trên xy vẽ 2 tiếp tuyến MP
và MQ tới (O, R ) (P, Q là các tiếp điểm) Gọi I , K lần lợt là giao điểm của OH và OM với PQ
a) Chứng minh hai tam giác OKI và OHM đồng dạng
b) Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đ-ờng thẳng xy
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MPO Qua G vẽ đờng thẳng d cắt các cạnh
MP, PO của tam giác MPO lần lợt tại E và F Chứng minh:
12 + 12 ≥ 9 2
Bài 5 (1.0 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3+ + = Tìm
1 3a 1 3b 1 3c P
Họ tên: Chữ kí giám thị:
Số báo danh: Phòng thi số:
Phũng GD&ĐT Phự Cừ
Đề chớnh thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2014 - 2015
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Trang 2Hướng dẫn chấm thi
I Hướng dẫn chung
1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả Trong
bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không được làm tròn
II Đáp án và thang điểm
Bài 1(2 điểm):
Bài 1(5.0 điểm):
a) Rút gọn các biểu thức sau:
b) Cho các số thực a, b thỏa mãn 4a > b > 0 và 4a2 + b2 = 5ab Tính giá trị của
−
2 2
4
ab B
điểm
=
b) Cho các số thực a, b thỏa mãn 4a > b > 0 và 4a2 + b2 = 5ab
Tính giá trị của biểu thức =
−
2 2
4
ab B
Trang 3⇔(a - b)(4a - b) = 0 (1)
−
B
Bài 2(4.0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) ( x2 −2x)2 +2( x−1)2 − =2 0
x
điểm
2
2
⇔(x2 −2x x)( 2 −2x 2+ =) 0 (1)
0,5đ
( )
2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 2
1,0đ
2,0đ
⇔ +x 2 x− = +2 3 2
x x ĐKXĐ:
− ≥
2 0 0
x x x
⇔ − +x 2 2 x− − =2 3 0
Đặt x−2
x = t > 0,
0,5đ
phương trình (2) trở thành:
t2 + − = ⇔ −2t 3 0 (t 1) (t+ = ⇔ =3) 0 t 1 ( do t > 0 )
0,5đ
Trang 4* t=1, ta được x−2
( ) ( )
2
2
x
x = -1 hoặc x = 2 (thỏa mãn)
1,0đ
Bài 3(4.0 điểm):
a) Cho f(x) = mx + 2014 và g(x) = (m2 + 1)x - 2015 Chứng minh rằng hàm số
y = f(x) + g(x) là hàm số đồng biến trên R
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + x + 6 = y2
điểm
a) Cho f(x) = mx + 2014 và g(x) = (m2 + 1)x - 2015 Chứng minh rằng
Hàm số y = f(x) + g(x) = (m2+m+1)x - 1 có dạng y = ax +b Trong đó
hệ số a = m2+m+1 =
2
0
m
1.0 đ
Do vậy hàm số y = f(x) + g(x) là hàm bậc nhất có hệ số a > 0
Ta cú: x2 + x + 6 = y2 ⇔ 4x2 + 4x + 24 = 4y2 ⇔(2x + 1)2 – 4y2 = -23
Với x, y nguyên, xét các trường hợp:
y y
y y
y y
y y
0, 5 đ
Giải cỏc trường hợp trờn và kết hợp với điều kiện x, y nguyờn ta được
cỏc nghiệm nguyờn (x, y) là (5; 6); (5; -6) ; (-6;- 6); (- 6; 6)
0,5 đ
Trang 5Bài 4(6.0 điểm): Cho (O, R ) và một đường thẳng xy cố định nằm ngoài đường tròn.
Kẻ OH vuông góc với xy(H thuộc xy) Từ một điểm M tùy ý trên xy vẽ 2 tiếp tuyến
MP và MQ tới (O, R ) Gọi I , K lần lượt là giao điểm của OH và OM với PQ
a) Chứng minh hai tam giác OKI và OHM đồng dạng
b) Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng xy
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MPO Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh
MP, PO của tam giác MPO lần lượt tại E và F Chứng minh:
12 + 12 ≥ 9 2
điểm
H
I
G E
K
N D
O x
y
F d
M
P
Q
a) Chứng minh ∆OKI: ∆OHM
Tao có: + MP = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
+ OP = OQ = R
Suy ra : OM là trung trực của OP => OM vuông góc với PQ =>
OKI 90 (1)
1.0 đ
Do OH vuông góc với xy nên ∠OHM 90 (2)= 0
Từ (1) và (2) suy ra ∠OHM=∠OKI
b) Từ (3) suy ra OI.OH OK.OM= (4)
0, 5 đ
VOMP vuông tại P, đường cao PK suy ra OK.OM OP= 2 =R (5)2
Trang 6Suy ra I cố định => PQ luôn đi qua điểm cố định I
Kẻ PN vuông góc với EF ( N thuộc EF) Kéo dài PG cắt OM tại D
VPEF vuông tại P, đường cao PN suy ra 12 + 12 = 12
0, 5 đ
Từ (6) và (7) suy ra 12 + 12≥ 9 2
0, 5 đ
Bài 5(1.0 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 Tìm+ + =
1 3a 1 3b 1 3c P
áp án
i m
đ ể
2
1 3a
+ 2
c 1 3b
1 3b
1 3b
+ 2
a 1 3c
1 3c
1 3c
0,5 đ
Suy ra
P ≥ +3 3 a b c( + + −) a b c 3 ab bc ca+ + + ( + + ) =5 a b c( + + ) −3
⇒ + + ≥a b c 3 ( a, b, c dương ) Suy ra P ≥ 6 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0,5 đ
Hết