Dạy học định lí 3, bài hàm số liên tục, sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành theo hướng bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường trung học phổ thông

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr 53 63 53 DẠY HỌC ĐỊNH LÍ 3, BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC, SÁCH GIÁO KHOA ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HIỆN HÀNH THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN[.]

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr 53-63 DẠY HỌC ĐỊNH LÍ 3, BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC, SÁCH GIÁO KHOA ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HIỆN HÀNH THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nguyễn Trần Lâm Trường Đại học Vinh Ngày nhận 7/9/2018, ngày nhận đăng 05/11/2018 Tóm tắt: Sách giáo khoa (SGK) có vai trị quan trọng việc học tập định hướng học tập học sinh (HS) Trên sở dạy học định lí SGK Đại số Giải tích 11, chúng tơi nhấn mạnh đến cần thiết việc tổ chức dạy học để HS nắm vững kiến thức SGK vận dụng chúng dạy học giải tập vấn đề liên quan khác, từ góp phần bồi dưỡng HS giỏi Tốn nói riêng phát triển trí tuệ cho HS nói chung Đặt vấn đề Tốn học nhà trường mơn học mang tính lơgic, tính trừu tượng cao, giúp học sinh HS khả tính tốn, suy luận lơgic phát triển tư sáng tạo Việc bồi dưỡng HS có lực học Tốn khơng phải cung cấp cho em nhiều kiến thức môn học thông qua việc làm tập cấp độ khác nhau, mà quan tâm đến việc giáo viên (GV) phải biết tổ chức rèn luyện khả thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn, phát biểu nội dung định lí sở kiến thức học Để làm điều đó, q trình tổ chức dạy học, GV dùng nhiều biện pháp khác Một biện pháp sử dụng SGK, việc sử dụng SGK giúp HS biết cách nghiên cứu khai thác tài liệu học tập - kĩ cần thiết việc học, tự học cá nhân nhằm nâng cao khả thích nghi, đáp ứng kịp với phát triển yêu cầu thời đại Hơn nữa, HS có lực hứng thú định học tập mơn Tốn, em tự làm chủ, chiếm lĩnh khối lượng lớn kiến thức môn học thông qua tập vấn đề liên quan; từ rèn luyện thói quen làm việc khoa học, xem xét vật tượng mối liên hệ biện chứng - yếu tố quan trọng góp phần vào thành công sống thực tiễn em Vai trò sách giáo khoa dạy học Theo Ngô Hữu Dũng: “Sách giáo khoa không tài liệu cung cấp tri thức cần truyền thụ mơn học mà thơng qua quan điểm, phương pháp trình bày, mục tiêu đào tạo nội dung đào tạo lồng vào ý đồ mong muốn đào tạo người học, nhằm góp phần hình thành nhân cách” [2; tr 10] Các nghiên cứu nhà sư phạm SGK có vai trị quan trọng HS SGK khơng cung cấp kiến thức tự nhiên, xã hội, mà cịn tác động khơng nhỏ đến hình thành nhân cách em SGK mơn Tốn trung học phổ thông (THPT) tài liệu bản, bắt buộc sử dụng nhà trường nên có ý nghĩa quan trọng hoạt động dạy học Từ SGK mơn Tốn, HS tiếp cận kiến thức bản, đại, có hệ Email: tranlam.dhv@gmail.com 53 N T Lâm / Dạy học Định lí Hàm số liên tục Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành thống mơn học Ngoài nguồn kiến thức mới, SGK tài liệu giúp HS củng cố, tổng hợp, hệ thống hoá kiến thức thông qua đọc thêm, ôn tập, hướng dẫn ơn tập SGK cịn tài liệu tin cậy để HS tra cứu, đối chiếu thẩm định tài liệu khác môn học Sử dụng hệ thống câu hỏi, tập SGK, HS tự kiểm tra, đánh giá trình độ nhận thức Tăng cường hoạt động học tập HS với SGK đạo GV hướng đổi phương pháp dạy học Toán nhằm tích cực hố hoạt động nhận thức, gây hứng thú học tập, rèn luyện kĩ thực hành, phát triển tư duy, trí tuệ cho em Về SGK mơn Tốn 11 hành, chúng tơi thấy: - Có tính đại, cập nhật, mạch kiến thức ứng dụng thực tiễn nội dung chương trình trọng phù hợp hơn; - Nội dung chương trình phù hợp với yêu cầu liên kết mơn học; - Có xếp phát triển hợp lí mạch kiến thức chương trình; - Có cân đối lí thuyết thực hành, vận dụng; - Sát thực với định hướng đổi phương pháp Như vậy, SGK nói chung SGK mơn Tốn nói riêng có vai trị quan trọng việc giúp HS tiếp cận, chiếm lĩnh kiến thức nhiều mức độ khác Do đó, sử dụng khai thác tiềm SGK nhiệm vụ quan trọng mà người GV cần phát huy trình dạy học cho HS, đặc biệt lĩnh vực bồi dưỡng HS giỏi Toán Quan điểm học sinh giỏi, học sinh giỏi Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Từ nghiên cứu, quan điểm HS giỏi, HS giỏi Toán, bồi dưỡng HS giỏi [3], [5; tr 13, tr 28], [10], [11; tr - tr 5], [12], chúng tơi thấy có điểm tương đồng thống cao với quan điểm HS giỏi Cơ quan giáo dục Hoa Kỳ: “HS giỏi: Đó học sinh có khả thể xuất sắc lực trội lĩnh vực trí tuệ, sáng tạo, khả lãnh đạo, nghệ thuật lĩnh vực lý thuyết chuyên biệt Những HS thể tài đặc biệt tất bình diện xã hội, văn hóa kinh tế” [3] Về HS giỏi Toán, [9; tr 22 - 24], [10; tr 30], [11; tr - 7] đặc điểm HS giỏi Toán, bao gồm: - Về việc thu lượm thông tin liên quan tới toán: Các em thường tri giác tài liệu toán học cách phân tích tổng hợp, em nắm tốn thể tồn vẹn nó, khơng bỏ qua dự kiện toán; - Về việc chế biến thơng tin thu q trình giải tốn: Nhanh chóng tìm chung ẩn náu tốn, nhanh chóng rút gọn q trình lập luận tốn học hệ thống phép biến đổi tương đương; linh hoạt trình giải tốn; rõ ràng, đơn giản tiết kiệm lời giải; chuyển đổi nhanh chóng dễ dàng từ trình tư thuận sang trình tư đảo; - Về việc lưu trữ thơng tin tốn học: Trí nhớ tốn học HS giỏi tốn mang tính khái qt hoạt động; có khả giữ lại nhanh chóng khơi phục sơ đồ tư khái quát, quan hệ khái quát; - Khuynh hướng Tốn học hóa tượng giới xung quanh: Thường xuyên ý đến khía cạnh toán học tượng, ý đến quan hệ không gian số lượng, tương quan phụ thuộc hàm số Nói cách khác, em có xu hướng nhìn giới “bằng mắt tốn học” 54 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr 53-63 Về vấn đề bồi dưỡng HS giỏi, nói vấn đề cần thiết quan trọng chiến lược phát triển chương trình giáo dục phổ thơng Do đó, nghĩ, cần tăng cường việc bồi dưỡng, định hướng cho em có hội phát triển khả mình, từ phát triển trí tuệ cho em, góp phần thực mục tiêu chung bồi dưỡng HS giỏi [13]: - Phát triển phương pháp suy nghĩ trình độ cao phù hợp với khả trí tuệ HS; - Bồi dưỡng lao động, làm việc sáng tạo; - Phát triển kĩ năng, phương pháp thái độ tự học suốt đời; - Nâng cao ý thức khát vọng HS tự chịu trách nhiệm; - Khuyến khích phát triển lương tâm ý thức trách nhiệm đóng góp xã hội; - Phát triển phẩm chất lãnh đạo Dạy học định lí Hàm số liên tục, SGK Đại số Giải tích 11 theo hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Ở đây, minh họa ý tưởng viết thơng qua việc tổ chức dạy học định lí (ĐL) tính chất hàm số liên tục vận dụng ĐL dạy giải tập có mực độ khó cao, nhằm góp phần bồi dưỡng học sinh giỏi 4.1 Tổ chức dạy học giúp HS chủ động khám phá chiếm lĩnh nội dung định lí Theo chúng tôi, ĐL đơn vị kiến thức cốt lõi học hàm số liên tục, có nhiều ý nghĩa việc thúc đẩy hoạt động chiếm lĩnh hệ thống kiến thức liên quan có độ khó cao Định lí [4; tr 138] Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  f  b   tồn điểm c   a; b  cho f  c   Chúng tơi đồng tình với cách đặt vấn đề SGK Đại số Giải tích 11 hành để dẫn tới việc khám phá ĐL “Giả sử hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  với f  a  f  b  trái dấu Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành điểm thuộc khoảng  a; b  không? + Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị hàm số y  f  x  phải cắt trục hoành Ox điểm nằm khoảng  a; b  + Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị hàm số y  f  x  phải cắt trục hồnh Ox điểm nằm khoảng  a; b  + Bạn Tuấn cho rằng: “Đồ thị hàm số y  f  x  khơng cắt trục hồnh Ox khoảng  a; b  …” Câu trả lời bạn đúng, sao?” Từ SGK dẫn tới ĐL trình bày 55 N T Lâm / Dạy học Định lí Hàm số liên tục Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành Cần nói thêm rằng, SGK Đại số Giải tích nâng cao lớp 11, nội dung Định lí Hệ ĐL [8; tr 171] Tuy nhiên, chúng tơi chưa thấy tính chủ động khám phá, phát nội dung ĐL từ phía người học Do đó, từ thực tiễn dạy học mình, đề xuất phương án, cách tổ chức dạy học dẫn tới phát hiện, khám phá nội dung ĐL tiến hành sau: Yêu cầu HS quan sát bảng phụ Hình đây: y b a a b x x b x Hình 1d a 0 Hình 1e x y b a b Hình 1c y y 0 a Hình 1b Hình 1a a y y b x Hình 1f Hình 1: Bảng phụ đồ thị số hàm số y  f  x  đoạn  a; b  Tiếp GV hỏi: Các em trả lời câu hỏi sau: + Em có nhận xét tính liên tục hàm số có đồ thị hình cho đoạn  a; b  ? + Em có nhận xét tương giao đồ thị hàm số y  f  x  đoạn  a; b với trục hồnh Ox? + Sự tương giao có quan hệ với tính liên tục hàm số đoạn  a; b  không? Phát biểu điều kiện để đồ thị hàm số y  f  x  đoạn  a; b  cắt trục Ox qua mối liên hệ với tính liên tục? Hãy phát biểu lại điều kiện dạng nghiệm phương trình f  x   đoạn  a; b  Việc trả lời tốt câu hỏi dẫn tới phát biểu tốt nội dung ĐL Có thể nói, cách xây dựng vừa khắc sâu ý nghĩa hình học đồ thị hàm số liên tục đoạn  a; b  - đường “liền nét” đoạn đó, vừa tăng tính hứng thú, thích khám phá HS, giảm tải tính hàn lâm, khó nắm bắt, tiếp thu kiến thức người học việc minh họa kết tính chất, tốn hàm liên tục sinh động 56 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr 53-63 Tiếp theo, HS nắm nội dung định lí trên, GV hỏi HS để khuyến khích, thúc đẩy HS hiểu sâu nội dung phát ý nghĩa ĐL câu hỏi như: Câu hỏi Em phát biểu lại kết luận Định lí dạng nghiệm phương trình f  x   khoảng  a; b  ? Câu trả lời mong đợi: Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b  Câu hỏi Ở giả thiết Định lí, em thay điều kiện f  a  f  b   f  a   f  b   (hoặc f  a  f  b   ) kết luận toán thay đổi nào? Câu trả lời mong đợi: Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b f  a   f  b   (hoặc f  a  f  b   ) phương trình f  x   có nghiệm đoạn  a; b  Câu hỏi Em nêu cách chứng minh tồn nghiệm phương trình miền K cho trước hay khơng? Em chứng minh phương trình f  x   có n nghiệm phân biệt (với f  x  đa thức bậc n) hay không? Em chứng minh phương trình f  x   có m nghiệm phân biệt (1  m  n ) có nghiệm miền K hay không? Chẳng hạn, với việc chứng minh phương trình f  x   có nghiệm miền K cho trước, HS có lực trả lời rằng: “Em có đoạn  a; b  K mà hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  đó, đồng thời thỏa mãn f  a  f  b   f  a   f  b   , từ suy phương trình f  x   có nghiệm đoạn  a; b (tức có nghiệm miền K)” Dưới minh họa số ứng dụng ĐL qua việc tổ chức dạy học giải tập liên quan nhằm góp phần đáp ứng nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi 4.2 Thiết kế tình để HS vận dụng nội dung ĐL theo hướng bồi dưỡng HS giỏi 4.2.1 Các toán liên quan tới chứng minh phương trình có nghiệm, có nghiệm nhất, có m nghiệm miền K cho trước Ví dụ Chứng minh phương trình a cos3x  b cos x  c cos x  sin x  ln có nghiệm khoảng 0,2  Chúng ta dẫn dắt HS khám phá lời giải toán Em có nhận xét tính liên tục hàm số f  x   a cos3x  b cos x  c cos x  sin x ? Câu trả lời mong đợi: Hàm số f  x   a cos3 x  b cos x  c cos x  sin x liên tục R 57 N T Lâm / Dạy học Định lí Hàm số liên tục Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành Hãy tính giá trị hàm số 0;    5 3 , , , ; , 2 tìm số quan 4 hệ giá trị chúng? Những giá trị mà quan hệ chúng thỏa mãn kết luận Câu hỏi 1, Câu hỏi kết luận tương tự? Từ tính tốn, thử, khám phá, phát HS thơng qua làm việc nhóm, câu trả lời mong đợi: 2    5  Ta có     f   4 a c ,f a    c ,  2 2     5  f   f  a c   0,    2  4    (1)    3  f    a  b  c, f    b  1, f    b  1, f    a  b  c , 2      3  f    f    f    f    a  b  c  b   b   a  b  c  (2) 2   hoặc: suy ra: Với quan hệ (1) (2), em có nhận xét nghiệm phương trình kết luận toán? Câu trả lời mong đợi: + Với quan hệ (1), phương trình f  x   có nghiệm thuộc đoạn   5   ;  Suy phương trình f  x   có nghiệm thuộc khoảng 0,2  (đpcm)    3    f    f    , phương trình 2     3  có nghiệm thuộc đoạn  ;  ; 2    Nếu f    tồn f   f    f   f    2  3    f   f    dẫn đến phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;     2  3   0;    0;    Suy phương trình f  x   có nghiệm thuộc khoảng  0;2  + Với (2), f     f  (đpcm) Như vậy, điểm mấu chốt dự đoán, phát giá trị biến x khoảng  0;2  mà hàm số giá trị có quan hệ với để thỏa mãn (1) (2) 58 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr 53-63 x2 y Ví dụ Cho elip (E):   parabol (P): y  x  x  a) Chứng minh (E) (P) cắt bốn giao điểm phân biệt b) Chứng minh bốn giao điểm nằm đường tròn Đối với ý a), tiến hành hỏi tương tự như: + GV: Em phát biểu lại yêu cầu tốn dạng hồnh độ giao điểm hai đồ thị, từ chuyển đổi yêu cầu toán toán tương đương HS trả lời rằng: Hoành độ giao điểm (E) (P) nghiệm phương trình 2 x  x  x  1     x  x  1  x  36  (3) Do tốn qui chứng minh phương trình (3) có nghiệm phân biệt + GV: Đến em giải toán chưa? HS có lực giải tốt Một HS giải tiếp toán sau:   Xét hàm số f  x   x  x   x  36 Ta có f  x  liên tục R Khi đó, phát được: f 1  4, f 0  27 , f 1  , f 2  11 , f 3  36 nên f  1 f 0  , f 0 f 1  , f 1 f 2  , f 2 f 3  Suy khoảng (3) có nghiệm, (3) có bốn nghiệm (4) Mặt khác, vế trái phương trình (3) đa thức bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm (5) Từ (4) (5) suy ra, phương trình (3) có bốn nghiệm phân biệt hay (E) (P) cắt bốn điểm phân biệt Với ý b), Có thể dẫn dắt em giải vấn đề toán sau: +GV: Với câu hỏi b, theo em toán tiến hành nào? Câu trả lời HS là: Em tìm tọa độ điểm chứng minh chúng thuộc đường tròn theo cách viết đường trịn qua điểm chứng minh tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình đường trịn + GV: Em có tìm tọa độ giao điểm để thuận lợi việc viết phương trình đường trịn hay khơng? Theo em, việc tìm tọa độ giao điểm viết phương trình qua giao điểm tốn có khả thi khơng? Em cho phương án khác để giải tốn hay khơng? Câu trả lời thực tế có là: Em thấy việc tìm tọa độ giao điểm khơng thuận lợi việc giải phương trình (3) gặp khó khăn, nên việc tìm tọa độ giao điểm viết phương trình đường trịn qua giao điểm tốn khơng khả thi Em nghĩ theo hướng chứng minh tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình, mà phương trình phương trình đường trịn + GV: Em làm rõ ý em không? Việc nghĩ tới biểu diễn tọa độ giao điểm dạng thỏa mãn dạng “phương trình đường tròn” chuyển đổi “sáng tạo” trả lời câu hỏi tốn Do dẫn tới việc HS giải ý b) sau: 59 ... đạo Dạy học định lí Hàm số liên tục, SGK Đại số Giải tích 11 theo hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Ở đây, minh họa ý tưởng viết thông qua việc tổ chức dạy học định lí (ĐL) tính chất hàm số liên. .. trình dạy học cho HS, đặc biệt lĩnh vực bồi dưỡng HS giỏi Toán Quan điểm học sinh giỏi, học sinh giỏi Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Từ nghiên cứu, quan điểm HS giỏi, HS giỏi Toán, bồi dưỡng HS giỏi. ..  sin x liên tục R 57 N T Lâm / Dạy học Định lí Hàm số liên tục Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành Hãy tính giá trị hàm số 0;    5 3 , , , ; , 2 tìm số quan 4 hệ giá trị chúng? Những