Tiệm cận của đồ thị hàm số và cách giải bài tập A LÝ THUYẾT 1 Đường tiệm cận đứng Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( )a;+¥ ; ( );b ¥ hoặc ( ); ¥+¥ ) Định nghĩa Đường[.]
Tiệm cận đồ thị hàm số cách giải tập A LÝ THUYẾT Đường tiệm cận đứng Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng vơ hạn (là khoảng dạng (a;+¥) ; ; )) (-¥ ;b ) (-¥+¥ - Định nghĩa: Đường thẳng xx= gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số điều kiện sau thỏa mãn: limf(x) =+¥ limf(x) =-Ơ limf(x) =+Ơ limf(x) =-Ơ + + ; xxđ ; xx® ; xx® xx ® Đường tiệm cận ngang - Định nghĩa: Đường thẳng yy= gọi đường tiệm cận ngang đồ thị = hàm số yf(x) cỏc iu kin sau c tha món: limf(x)y= xđ+Ơ limf(x)y= ; xđ-Ơ Chỳ ý: axb + y,adbc0,c0 =-¹¹ ( cxd+ - Đồ thị hàm số a d y= x =c; c đứng yf(x) == - Nếu ) ln có tiệm cận ngang tiệm cận P(x) Q(x) hàm số phân thức hữu tỉ + Nếu Q(x) = có nghiệm x0, x0 khơng nghiệm P(x) = đồ thị có tiệm cận đứng xx= + Nếu bậc (P(x)) bậc (Q(x)) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng Xác định tiệm cận hàm số Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa để giải tốn Ví dụ minh hoạ Ví dụ Tiệm cận đứng đồ thị hàm số trình: A x1=- y= x1+ x2- đường thẳng có phương C x2= B x2=- D x1= Li gii x1+ limylim ==-Ơ -x2x2 đđ x2 (hoc x1+ limylim ==+Ơ đđ ++ x2Ta cú: x2x2 ÷ ø Vậy x2= tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn C Ví dụ Cho hàm số xác định liên tục có bảng biến thiên sau: x -¥ f’(x) f(x) -1 - - +¥ +¥ -¥ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận C Đồ thị hàm số có hai TCN TCĐ D Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận Lời giải Từ bảng biến thiên, ta có: ìlimfx ( ïx1®-( )+ í limfx ( ùx1đợ ( ) ) =+Ơ ) =-Ơ ắắđ=x1 limfx5y5 ( ) =ắắđ= xđ-Ơ l TC l TCN v limfx2y2 ( ) =ắắđ= xđ+Ơ Chn C Vớ d Chn khng định khẳng định sau: TCN A th hm s limfx1 ( )= xđ-Ơ yfx = = B Nếu hàm số yfx cận đứng xx= ( )= y1= xlimfx1 ®+¥ ( )có tiệm cận ngang ( ) khơng xác định = x0 đồ thị hàm số yfx ( ) có tiệm limfx ( + ) =+¥ C Đồ thị hàm số limfx ( ) =+¥ x2 ® yfx = ( ) có tiệm cận đứng x2= D Đồ thị hàm số yfx = ( ) có nhiều hai đường tiệm cận ngang x2 ® Lời giải limfx1 limfx1 ( )= ( )= A sai cần mt hai gii hn xđ-Ơ hoc xđ+Ơ tn ti suy tiệm cận ngang y1= limfx ( ) yx1 =x2 ®B sai, ví dụ hàm số không xác định x2=- ( ) limfx ( ) + x2 ®-( ) khơng tiến đến vô nên x2=- tiệm cận đứng đồ thị hàm số C sai cần tồn bốn giới hạn sau: limfx,limfx,limfx,limfx ( ) =-Ơ=+Ơ=-Ơ=+Ơ ( ) ++ x2x2x2x2 đđđđ D có hai giới hạn ( ) ( ) limfx,limfx ( ) ( ) xx đ-Ơđ+Ơ Chọn D Bài tập vận dụng Câu Tiệm cận đứng đồ thị hàm số A x2=- B x1= Câu Tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= 2x2x1+ C x1=- y= 4x1+ x1- D x2= A y= C y1= B y4= Câu Tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y1= B y.= y= D y1=- 5x1+ x1- là: = D y5 =C y1 limfx1 ( )= ( ) =yfx = ( ) cú xlimfx1 đ+Ơ Cõu Cho hm s v xđ-Ơ Khng nh no sau khẳng định ? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y1= y1=- D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng x1= x1=- limfx( ( )= yfx = ( ) cú xlimfx0 đ+Ơ Cõu Cho hm s v xđ-Ơ sau khẳng định đúng? ) =+¥ Khẳng định A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục hoành = D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng y0 limfx( ( )= yfx = ( ) cú xlimfx0 đ+Ơ Câu Cho hàm số x0® + sau khẳng định đúng? ) =+¥ Khẳng định A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng B Trục hoành trục tung hai tiệm cận đồ thị hàm số cho C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đường thẳng y0= D Hàm số cho có tập xác định Câu Cho hàm số sau: yfx = D0, =+¥ ( ) ( ) xác định liên tục ¡ \1{- }, có bảng biến thiên x -¥ y' +¥ -1 + + +¥ y -2 -¥ -2 Khẳng định sau khẳng định ? =A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y1=- tiệm cận ngang x2 B Đồ thị hàm số có tiệm cận C Đồ thị hàm số có ba tiệm cận =D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1=- tiệm cận ngang y2 Câu Cho hàm số sau: x -¥ f’(x) f(x) fx( ) xác định liên tục ¡ \1,{ } -1 - - có bảng biến thiên +¥ +¥ -¥ Khẳng định sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận = C Đồ thị hàm số có hai TCN y2, y5= TCĐ x1 =- D Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận yfx = ( ) xác định ¡ \0{ }, liên tục khoảng xác Câu Cho hàm số định có bảng biến thiên sau: x y' y -¥ - + - +¥ -¥ -¥ -¥ Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng = B Hàm số đạt cực tiểu x0 C Giá trị lớn hàm số D Hàm số khơng có cực trị Câu 10 Cho hàm số yfx = ( ) có bảng biến thiên sau: -¥ x +¥ -3 y' + + +¥ + +¥ y 0 -¥ -¥ Mệnh đề sau sai? =A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x3 = B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x3 = C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y0 D Đồ thị hàm số có tất hai đường tiệm cận Câu 11 Cho hàm số yfx = x ( ) có bảng biến thiên sau: -¥ -2 - y' +¥ + +¥ +¥ y -¥ Hỏi đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận? A B C D 2 x3x4 -y= x16Câu 12 Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số B A C D Câu 13 Đồ thị hàm số hàm số có tiệm cận đứng? A y.= x B y.= x1 + C ì x1 + ï ï y =í x ï2x ï ỵx1Câu 14 Đồ thị hàm số A B y.= x1 + D y.= xx1 ++ x1³ x1< có tất đường tiệm cận? C D Câu 15 Đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận ngang? A xx y= x2+ x2y= x1+ B 4x2x1 ++ Câu 16 Đồ thị hàm số Câu 17 Đồ thị hàm số A y= D x2+ x2- có tất đường tiệm cận? C B y= x1+ y= A 4xy= x1+ C x72 x3x4 +- B D có đường tiệm cận đứng? C D Câu 18 Gọi n, d số đường tiệm cận ngang số đường tiệm cận đứng 1xy.= - ) (x1x đồ thị hàm số Khẳng định sau đúng? == A nd1 == d1 B n0; == C n1;d2 == D n0;d2 16x- y= x16Câu 19 Đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận? A B C D x1- y= 2x11 -Câu 20 Cho hàm số Gọi d, n số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Mệnh đề sau đúng? += A nd1 += B nd2 += C nd3 += D nd4 x3x4 -y= x16Câu 21 Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B Câu 22 Cho đường cong (C)? (A L2;2 (C:y ) C = D x2x2+ Điểm giao hai tiệm cận ( ) B M2;1 ) (-C N2;2 (D K2;1 ) ) Câu 23 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng ? y= A C y= x3+ B x1 - D Câu 24 Đồ thị hàm số A y= x22 x4 - B y= 2xx1++ y= xx1 có tiệm cận ? C D Câu 25 Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang hai đồ thị hàm số y= 2x1xx3 ++ x5x6 -+ A 2 x3x4 -y= x1 B C Câu 26 Các đường tiệm cận đồ thị hàm số hình chữ nhật có diện tích A B 12 y= C D 4x3+ x2tạo với hai trục tọa độ D y= x52x ++2 x3x2 -+ Câu 27 Cho hàm số đúng? Khẳng định sau khẳng định A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang đường thẳng y1= B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang đường thẳng y0= C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang đường thẳng y1=- D Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang hai đường thẳng y1=- y1= x1x1+ cho khoảng cách từ M đến Câu 28 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số tiệm cận ngang khoảng cách từ M đến trục tung y= ỉư1 M2; ỗữ A ốứ3 C ( ) ( B M2;1,M4;3 M1;0,M2;3 ( ) (- ) D y= 2x3x2- ) M0;1,M2;3 ( ) (- ) M điểm (C ), d tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị (C ) Giá trị nhỏ d A B 10 C D Câu 29 Cho hàm số (C ) Gọi 13x y= 3xCâu 30 Cho hàm số có đồ thị (C ) Điểm M nằm (C ) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang (C ) Khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận (C ) A 32 D 25 C B Đáp án 10 11 12 13 14 15 C B D C C B D C A D B D A A 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 B 29 30 B C D C C C D B D D C C C D D Dạng Tìm m để hàm số có tiệm cận thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Bước Tìm điều kiện tham số để hàm số xác định Bước Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Bước Giải điều kiện toán để tìm tham số Bước Kết luận axb + y =-¹¹ adbc0, c0( cxd+ Lưu ý: Với Hàm số ( 00 Gi Mx;y y= ddmin 12+ắắđ y= axb+ d D+= :x0 cxd+ có TCĐ c ì+ =D=+= [ ] 110 ïddM,x ï í ïddM,y =D=-= [ ] ï 220 Ta có ỵ d.d 12 , ta có: ) điểm thuộc đồ thị hàm số Đồ thị hàm s dkd 12= ) dcxd cc ổử axb+ Mx;y ỗữ00 cxd+ , suy èø ; TCN D-= :y0 a c aadbc cccxd( + ) cxdadbcd +=ắắđ=- kxkp cccxdc ( + ) adbc d.dpconst === 12 c dd22p 12+³= adbc c2 = xảy Dấu '''' cxdadbc += cccxd ơắđ+=-ơắđ=- (cxdadbcxp ) 00 ( + d c = ) axb + cxd + ( 00 Điểm Mx;y hồnh độ d xp =-± c ) có - Có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận ngắn thỏa 2p - Khoảng cách đến tâm đối xứng nhỏ 2p Ví dụ minh hoạ Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số x1+ y= mx1 + có hai tiệm cận ngang A Khơng có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề B m0< C m0= D m0> Lời giải > Khi m0, ta cú: 1 + x111 + limlimy ==ắắđ= x xx đ+Ơđ+Ơ 1mm mx1+ m+ x ổử 1 x1ỗữ+ ốứ x x limylimy ===-ắắđ=xx đ-Ơđ-Ơ 11mm xmm ++22 xx - TCN ; 11 TCN x1+ y =ắắđ Vi m0= suy th hàm số khơng có tiệm cận Với m0< hàm số có TXĐ đoạn nên đồ thị hàm số khơng có TCN Vậy với m0> đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Chọn D 2x1+ x1- điểm M cho khoảng cách từ Ví dụ Tìm đồ thị hàm số M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị y= ỉư M4; ỗữ ( hoc M2;5 ốứ A ( C M4;3 ) ( B M4;3 ) M2;1 (- ) ổử M4; ỗữ (5 hoc M2;1 ốứ D ) hoc M2;5 ( ) ) Li gii ổử2a1+ Ma; ỗữ Gọi èø a1- với a1¹ điểm thuộc đồ thị Đường tiệm cận đứng d:x1;= Yêu cầu toán -=ị (a19 ) Â = ng tim cn ngang d:y2 Û=Û-=dM,d3dM,da132 [ ] [ ¢] a4= é ê a2=ë M4;3 é ( ê M2;1 (ê ë 2a1+ a1- ) ) Chọn B Áp dụng công thức giải nhanh c1,d1,k3,p3 ==-=== vi adbc c2 cxdadbcd +=ắắđ=- kxkp cccxdc ( + =± Suy x13 ) Bài tập tự luyện Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đường tiệm cận ngang đồ thị +- ) (m2x3 y= A1;2 ) 4xhàm số qua điểm ( A m2=- B m1= C m4=- D m2= Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị 4x5y= A3;1 - ) xm hàm số qua điểm ( A m3=- C m5= B m4=- D m4= - 2021;2021] để đồ Câu Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ x1+ y= xmx4 -+ thị hàm số có đường tiệm cận? B 4034 C 2017 D 2016 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số x2+ y = 32 x3xm -+ có nhiều đường tiệm cận A 4033 A mỴ¡ é ê m4 D xm x1+ (C ) với m tham số thực Gọi M điểm thuộc Câu 20 Cho hàm số (C ) cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận (C ) nhỏ Tìm tất giá trị m để giá trị nhỏ = A m0 = B m2 =-= m0 C m2, Đáp án = D m1 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C A A C C A C B A A A C B C B C C A B C ... ? =A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y1=- tiệm cận ngang x2 B Đồ thị hàm số có tiệm cận C Đồ thị hàm số có ba tiệm cận =D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1=- tiệm cận ngang y2 Câu Cho hàm số sau:... õy l khẳng định ? A Đồ thị hàm số tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y1= y1=- D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng... Cho hàm số x®-¥ sau khẳng định đúng? ) =+¥ Khẳng định A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục hồnh = D Đồ thị hàm số