Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Hoạt động 1 trang 4 Toán lớp 12 Giải tích Từ đồ thị (H 1, H 2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn 3 ; 2 2 và của[.]
Bài Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Hoạt động trang Tốn lớp 12 Giải tích: Từ đồ thị (H.1, H.2) 3 khoảng tăng, giảm hàm số y = cosx đoạn ; hàm số y = 2 |x| khoảng ; Lời giải: 3 + Hình 1: Hàm số y = cosx đoạn ; : 2 3 - Các khoảng tăng: ;0 , ; (do đồ thị hàm số lên khoảng 2 đó, nghĩa x tăng y tăng) - Khoảng giảm: [0; π] (do đồ thị hàm số xuống khoảng đó, nghĩa x tăng y giảm) + Hình 2: Hàm số y = |x| khoảng ; : - Khoảng tăng: [0; +∞) (do đồ thị hàm số lên khoảng đó, nghĩa x tăng y tăng) - Khoảng giảm (– ∞, 0] (do đồ thị hàm số xuống khoảng đó, nghĩa x tăng y giảm) Hoạt động trang 5, Tốn lớp 12 Giải tích: Xét hàm số sau đồ thị chúng: x2 a) y (H.4a) b) y (H.4b) x Xét dấu đạo hàm hàm số điền vào bảng tương ứng Từ nêu nhận xét mối quan hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm Lời giải: a) Hàm số y x2 có đạo hàm y' = - x, y' = x = Trên khoảng ;0 , đạo hàm y' mang dấu +, đồ thị hàm số lên; khoảng 0; , đạo hàm mang dấu –, đồ thị hàm số xuống Ta có bảng biến thiên sau: b) Hàm số y xác định x \ 0 có đạo hàm y 1 với x2 x \ 0 Do đó, khoảng ;0 , 0; , đạo hàm y' mang dấu –, đồ thị hàm số xuống Ta có bảng biến thiên sau: * Nhận xét: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K + Nếu f'(x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K + Nếu f'(x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K Hoạt động trang Tốn lớp 12 Giải tích: Khẳng định ngược lại với định lí có khơng? Nói cách khác, hàm số đồng biến (nghịch biến) K đạo hàm có thiết phải dương (âm) hay khơng? Chẳng hạn, xét hàm số y = x3 có đồ thị Hình Hình Lời giải: Xét hàm số y = x3 có đạo hàm y’ = 3x2 ≥ với số thực x hàm số đồng biến toàn Vậy khẳng định ngược lại với định lý chưa hay hàm số đồng biến (nghịch biến) K đạo hàm khơng thiết phải dương (âm) Bài tập Bài trang Tốn lớp 12 Giải tích: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y = + 3x – x2; b) y x 3x 7x ; c) y = x4 – 2x2 + 3; d) y = – x3 + x2 – Lời giải: a) Tập xác định : D = Ta có: y' = – 2x y’ = – 2x = x Ta có bảng biến thiên: 3 Vậy hàm số đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng 2 3 ; 2 b) Tập xác định : D = Ta có: y' = x2 + 6x - x 7 y' = x 6x x Ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến khoảng (-∞ ; -7) (1 ; +∞); nghịch biến khoảng (-7; 1) c) Tập xác định: D = Ta có: y' = 4x3 – 4x x y' = 4x3 – 4x = 4x.(x – 1)(x + 1) = x x 1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-∞ ; -1) (0 ; 1); đồng biến khoảng (-1 ; 0) (1; +∞) d) Tập xác định: D = Ta có: y' = -3x2 + 2x x y' = -3x2 + 2x = x.(-3x + 2) = x Bảng biến thiên: 2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-∞ ; 0) ; , đồng biến 3 2 khoảng 0; 3 Bài trang 10 Tốn lớp 12 Giải tích: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y 3x ; 1 x x 2x b) y ; 1 x c) y x x 20 ; d) y 2x x 9 Lời giải: a) Tập xác định: D = Ta có: y y \ {1} 3x 31 x 4 3 1 x 1 x 1 x 1 x x D Lại có: y' khơng xác định x = 3x 3 x x 1 Ta có: lim y lim x 3x 3 x x 1 lim y lim x Do ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến khoảng (-∞; 1) (1; +∞) b) Tập xác định: D = Ta có: \ {1} 2x 1 x x 2x y 1 x x 2x 1 x y’ < với x thuộc D (vì –x2 + 2x – = – (x – 1)2 – < 0) y' không xác định x = Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-∞ ;1) (1 ; +∞) c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] [5; +∞) Ta có: y 2x x x 20 Có y 2x 1 2x – = x D 2 x x 20 y' không xác định x = -4 x = Nên ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -4); đồng biến khoảng (5; +∞) d) Tập xác định: D = Ta có: y \ {±3} x 2x.2x x 9 2 x x 9 Vì x 0x x2 + > với x nên -2(x2 + 9) < với x Mà (x2 - 9)2 > với x thuộc D Suy ra: y’ < với x thuộc D y' không xác định x = ±3 2x 0 x x Lại có: lim y lim x lim y lim 2x x 9 lim y lim 2x x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 2 lim y lim 2x x 9 lim y lim 2x x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 2 Nên ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) (3; +∞ ) x đồng x 1 biến khoảng (-1; 1), nghịch biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞) Bài trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y Lời giải: TXĐ: D = Ta có: y 1. x 1 2x.x x 1 x2 x 1 Do (x2 + 1)2 với số thực x nên: + Hàm số nghịch biến y’ < x 1 – x2 < x2 > x x ; 1 1; + Hàm số đồng biến y’ > – x2 > x2 < – < x < x 1; 1 Vậy hàm số đồng biến khoảng (-1; 1) nghịch biến khoảng (-∞; 1) (1; +∞) Bài trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y 2x x đồng biến khoảng (0; 1), nghịch biến khoảng (1; 2) Lời giải: TXĐ: D = [0; 2] Ta có: y Do 2x 2x x 1 x 2x x với x thuộc (0; 2) 2x x x 0; nên: + Hàm số đồng biến y’ > với x (0; 2) 1–x>0 x x x ; 2 b) tan x > x + x3 x 2 Lời giải: a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x khoảng 0; 2 Ta có: y tan x với số thực x cos x Suy hàm số đồng biến khoảng 0; 2 Do đó: f(x) > f(0) với x 0; 2 Lại có: f(0) = tan – = Khi đó: tan x – x > với x 0; 2 tan x > x với x 0; (đpcm) 2 x3 b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x – 0; 2 Ta có: g x x tan x x = (tan x – x)(tan x + x) cos x Theo kết câu a) ta có: tan x – x > với x 0; , tan x + x > 2 với x 0; 2 Do đó: g x x 0; 2 Suy y = g'(x) đồng biến 0; 2 g(x) > g(0) với x 0; 2 03 Lại có: g(0) = tan – – =0 Do đó: g(x) > với x 0; 2 x3 Hay tanx – x – > với x 0; 2 x3 Khi đó: tan > x + với x 0; (đpcm) 2 ... ? ?1; 1? ?? Vậy hàm số đồng biến khoảng ( -1; 1) nghịch biến khoảng (-∞; 1) (1; +∞) Bài trang 10 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y 2x x đồng biến khoảng (0; 1) , nghịch biến khoảng (1; ... biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) (3; +∞ ) x đồng x ? ?1 biến khoảng ( -1; 1) , nghịch biến khoảng (-∞; -1) (1; +∞) Bài trang 10 Tốn lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số. .. có: y 1. x 1? ?? 2x.x x 1? ?? x2 x 1? ?? Do (x2 + 1) 2 với số thực x nên: + Hàm số nghịch biến y’ < x ? ?1 – x2 < x2 > x x ; ? ?1? ?? ? ?1; + Hàm số đồng biến y’