Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Với bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=f(x) ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số, tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x)=0, lập bảng biến thiên và đưa [r]

(1)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Giải trang sách GK Toán GT lớp 12

Xét đồng biến, nghịch biến hàm số

a)

4 y= + x−x

b) 3

y= x + x − x−

c)

2

y=x − x +

d) y= − +x x −

1.1 Phương pháp giải

Với toán xét đồng biến nghịch biến hàm số ta thực bốn bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định hàm số

• Bước 2: Tính đạo hàm f'(x)=0 Tìm điểm xi (i= , , , n) mà đạo hàm

bằng khơng xác định

• Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên

• Bước 4: Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

Bên cạnh em cần ơn lại định lý dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai học lớp 10 để xét dấu đạo hàm hàm số cách xác

1.2 Hướng dẫn giải

Câu a: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y= + x−x

Tập xác định: D=R

Có 3

2 y= − x y=  − x=  =x

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến khoảng ;3 − 

 

  nghịch biến khoảng

;

2  +

 

 

Câu b: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số

3

y= x + x − x−

Có 2

6 7

7 x

y x x y x x

x = 

= + −  =  + − =  

= − 

(2)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí

Vậy hàm số đồng biến khoảng (− −; 7) (1;+)

Hàm số nghịch biến (−7;1)

Câu c: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số

2

y=x − x +

Có 3

4 4

y= x − x  y=  x − x=

( )

2

4

1 0

1

x x x x x x

 − =

= 

  − =

 = 

  = 



Vậy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1;+)

Hàm số nghịch biến khoảng (− −; 1) ( )0;1

Câu d: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y= − +x x −

Có 2

0

3 2

3 x

y x x y x x

x =  

= − +  =  − + = 

 = 

Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2

 

 

(3)

Hàm số nghịch biến khoảng (−;0) 2;  +

 

 

2 Giải trang 10 sách GK Tốn GT lớp 12

Tìm khoảng đơn điệu hàm số a)

1 x y

x + =

−

b)

2

x x

y

x

− =

−

c)

20

y= x − −x

d) 22

9 x y

x =

−

Với tốn tìm khoản đơn điệu hàm số, ta giải theo bước sau:

Câu a: Tìm khoảng đơn điệu hàm số 1

x y

x + =

−

Tập xác định: D=R\  

Có:

( )2 ( )2

3.1 ( 1).1

0

1

y x D

x x

− −

 = =   

− + − +

Vậy hàm số đồng biến khoảng xác định là: (−;1) (1;+)

Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:

1

3 3

lim 3, lim , lim

1 1

x x x

x + x − x

→ → →

+ = − + = − + = +

− − −

Câu b: Tìm khoảng đơn điệu hàm số

2

x x

y

x

− =

−

Tập xác định: D=R\ 1 

Có

( )( )

( ) ( )

2

2 2 2

1

x x x x x x

y

x x

− − + − − + −

 = =

(4)

( )

2

2 2 1

1

x x x x

x x

− − + − − + −

= =

− −

( )

( ) ( )

2

1 1

1

x

x D

x x

− − −

= = − −   

− −

Vậy hàm số nghịch biến khoảng xác định là: (−;1) (1;+)

Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào bảng biến thiên

2

1

2

lim lim

1

3

lim lim

1

x x

x x x x

x x

+ −

→+ →−

→ →

− −

= − = +

− −

+ = + + = −

− −

Câu c: Tìm khoảng đơn điệu hàm số

20

y= x − −x

Có ( )( )

20

x − −x   +x x− 

4 x x

 −    



Tập xác định: D= − −  +( ; 4 5; )

Có

2

2 1

0

2

2 20

x

y y x x D

x x

−

=  =  − =  = 

− −

Vậy hàm số nghịch biến khoảng (− −; 4) đồng biến khoảng (5;+)

Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT

2

4

lim 20 lim 20

x x

x x x x

− +

→− →+

→ →

− − = + − − = +

− − = − − =

Câu d: Tìm khoảng đơn điệu hàm số 22 x y

x =

−

Có

9

(5)

Tập xác định: D=R\ 3

Có: ( )

( ) ( ) ( ( ) )

2 2

2 2 2 18

0

9 9

x x x x x

y x D

x x x

− − − − − +

 = = =   

− − −

Vậy hàm số nghịch biến khoảng xác định là: (− −; ;) (−3; 3)và (3;+ )

Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT

2 2 3 2 3 2

lim lim

9 2 lim lim 9 2 lim lim 9 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + − →− →+ →− →− → → = = − − = + = − − − = + = − − −

3 Giải trang 10 sách GK Toán GT lớp 12

Chứng minh hàm số 2

1 x y

x =

+ đồng biến khoảng (-1;1) nghịch biến

khoảng (− −; 1) (1;+) 3.1 Phương pháp giải

Với toán khảo sát tính đơn điệu hàm số y=f(x) ta thực bước sau: Tìm tập xác định hàm số, tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x)=0, lập bảng biến thiên đưa kết luận đồng biến nghịch biến hàm số

Tập xác định: D=R Có:

( ) ( )

2 2

2

1

x x x

y x x + − −  = = + +

0

1 x y x x =    =  − =   = − 

Ta có:

0 1

y   −x   −  x

Do hàm số đồng biến khoảng (−1;1)

2

0

1 x y x x      −     − 

Do hàm số nghịch biến khoảng (− −; 1) (1;+)

Chứng minh hàm số

2

y= x−x đồng biến khoảng (0;1) nghịch biến

(6)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 4.1 Phương pháp giải

Bài toán khảo sát tính đơn điệu hàm số chứa thức, để giải ta thực hiên qua bước

Sau khảo sát xong tính đơn điệu hàm số ta có điều phải chứng minh theo yêu cầu

Xét hàm số

2

y= x−x

Tập xác định: D= 0;

2

2 2

0

x x

y

x x x x

y x

− −

 = =

− −

 =  =

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến khoảng (0;1) nghịch biến khoảng (1;2)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan (0 )

2 xx  x 

b)

3

tan (0 )

3

x

x +x  x 

Với dạng tập chứng minh g(x)>h(x) với x thuộc miền cho trước ta thường tiến hành sau:

• Bước 1: g x( )h x( )g x( )−h x( )0

• Bước 2: Đặt f x( ) ( ) ( )=h x −g x , khảo sát tính đơn điệu hàm số f x( ) • Bước 3: Tìm x để f x( )=0 (thường hai đầu mút miền xét) • Bước 4: Từ tính đơn điệu hàm số f x( ) đưa kết luận cho toán

(7)

Để chứng minh tanx x với

2

x 

  ta chứng minh tanx − x  với

2

x 

 

Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn giá trị x đề tanx− =x 0hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị x=0

2 x=

Dễ thấy: tan( )0 − =0

Khi ta tiến hành mở rộng khoảng xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết sau:

Xét hàm số f x( )= tanx x– liên tục nửa khoảng 0;



 

  

1

( )

cos f x

x

 = −  với 0; x  

 

( ) 0

f x =  =x

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến 0;



 

  

Vậy với

2

x 

  ta có f x( ) f ( )0 = 0 tanxx với 0; x  

 

Câu b: Chứng minh

3

tan (0 )

3

x

x +x  x 

Tương tự câu a Xét hàm số

3

( ) tan

3

x

g x = x− −x liên tục 0;



 



  có đạo hàm:

2 2

2

( ) tan

cos

g x x x x

x

 = − − = −

( )( ) 0, 0;

2

tanx x tanx x x   

= − +    

  (Theo câu a)

( ) 0

g x =  =x

(8)

Vậy hàm số đồng biến 0;



 

  

Vậy với

2

x 

  ta có ( ) ( )

3

0

3

x

g x g tanx +x với 0; x  

 

Nhận xét: Với dạng tập chứng minh f x( )0 với x thuộc khoảng (a;b) Nếu f(a) f(b)

đề khác không, f(x) không xác định a b Thì f x( )=0 x0, với x0 nghiệm