CHUÛ ÑEÀ 2 TOÅ HÔÏP XAÙC SUAÁT Baøi 01 QUY TAÉC ÑEÁM 1 Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện[.]
CHỦ ĐỀ TỔ HP - XÁC SUẤT Bài 01 QUY TẮC ĐẾM Quy tắc cộng Một cơng việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m n cách thực Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m n cách hồn thành cơng việc CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề QUY TẮC CỘNG Câu Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 cỡ 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi có lựa chọn (về màu áo cỡ áo)? A B C D Lời giải Nếu chọn cỡ áo 39 có cách Nếu chọn cỡ áo 40 có cách cách chọn mua áo Chọn A Câu Một người có quần khác nhau, áo khác nhau, cà vạt khác Để chọn quần áo cà vạt số cách chọn khác là: A 13 B 72 C 12 D 30 Theo qui tắc cộng, ta có Lời giải Nếu chọn quần có cách Nếu chọn áo có cách Nếu chọn cà vạt có cách Theo qui tắc cộng, ta có 13 cách chọn Chọn A Câu Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Một học sinh muốn chọn đồ vật bút chì bút bi tập số cách chọn khác là: A 480 B 24 C 48 D 60 Lời giải Nếu chọn bút chì có cách Nếu chọn bút bi có cách Nếu chọn tập có 10 cách Theo qui tắc cộng, ta có 10 24 cách chọn Chọn B Câu Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? A 45 B 280 C 325 D 605 Lời giải Nếu chọn học sinh nam có 280 cách Nếu chọn học sinh nữ có 325 cách Theo qui tắc cộng, ta có 280 325 605 cách chọn Chọn D Câu Một trường THPT cử học sinh dự trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12 B Hỏi nhà trường có cách chọn, biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến? A 31 B C 53 D 682 Lời giải Nếu chọn học sinh lớp 11A có 31 cách Nếu chọn học sinh lớp 12B có 22 cách Theo qui tắc cộng, ta có 31 22 53 cách chọn Chọn C Câu Trong hộp chứa sáu cầu trắng đánh số từ đến ba cầu đen đánh số 7, 8, Có cách chọn cầu ấy? A 27 B C D Lời giải Vì cầu trắng đen đánh số phân biệt nên lần lấy cầu lần chọn Nếu chọn trắng có cách Nếu chọn đen có cách cách chọn Chọn B Câu Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay Hỏi có cách từ tỉnh A đến tỉnh B ? A 20 B 300 C 18 D 15 Lời giải Nếu tơ có 10 cách Nếu tàu hỏa có cách Nếu tàu thủy có cách Nếu máy bay có cách Theo qui tắc cộng, ta có 10 20 cách chọn Chọn A Theo qui tắc cộng, ta có Câu Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người đề tài văn hóa Mỗi thí sinh quyền chọn đề tài Hỏi thí sinh có khả lựa chọn đề tài? A 20 B 3360 C 31 D 30 Lời giải Nếu chọn đề tài lịch sử có cách Nếu chọn đề tài thiên nhiên có cách Nếu chọn đề tài người có 10 cách Nếu chọn đề tài văn hóa có cách Theo qui tắc cộng, ta có 10 31 cách chọn Chọn C Vấn đề QUY TẮC CỘNG Câu Có kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, trịn, elip) kiểu dây (kim loại, da, vải nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây? A B C 12 D 16 Lời giải Để chọn đồng hồ, ta có: Có cách chọn mặt Có cách chọn dây Vậy theo qui tắc nhân ta có 12 cách Chọn C Câu 10 Một người có quần, áo, cà vạt Để chọn thứ có bao nhiều cách chọn '' quần-áo-cà vạt '' khác nhau? A 13 B 72 C 12 D 30 Lời giải Để chọn '' quần-áo-cà vạt '' , ta có: Có cách chọn quần Có cách chọn áo Có cách chọn cà vạt Vậy theo qui tắc nhân ta có 72 cách Chọn B Câu 11 Một thùng có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh Số cách khác để chọn đồng thời hộp màu đỏ, hộp màu xanh là? A 13 B 12 C 18 D 216 Lời giải Để chọn hộp màu đỏ hộp màu xanh, ta có: Có 12 cách chọn hộp màu đỏ Có 18 cách chọn hộp màu xanh 216 cách Chọn D Câu 12 Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Số cách khác để chọn đồng thời bút chì, bút bi tập A 24 B 48 C 480 D 60 Lời giải Để chọn '' bút chì - bút bi - tập '' , ta có: Có cách chọn bút chì Có cách chọn bút bi Có 10 cách chọn tập Vậy theo qui tắc nhân ta có 12 18 Vậy theo qui tắc nhân ta có 10 480 cách Chọn C Câu 13 Một bó hoa có hoa hồng trắng, hoa hồng đỏ hoa hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy ba bơng hoa có đủ ba màu A 240 B 210 C 18 D 120 Lời giải Để chọn ba bơng hoa có đủ ba màu (nghĩa chọn hoa hồng trắng- bơng hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có: Có cách chọn hoa hồng trắng Có cách chọn hoa hồng đỏ Có cách chọn hoa hồng vàng 210 cách Chọn B Câu 14 Một người vào cửa hàng ăn, người chọn thực đơn gồm ăn năm món, loại tráng miệng năm loại tráng miệng nước uống ba loại nước uống Có cách chọn thực đơn A 25 B 75 C 100 D 15 Lời giải Để chọn thực đơn, ta có: Có cách chọn ăn Có cách chọn tráng miệng Có cách chọn nước uống Vậy theo qui tắc nhân ta có 75 cách Chọn B Câu 15 Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? A 910000 B 91000 C 910 D 625 Lời giải Để chọn nam nữ dự trại hè, ta có: Có 280 cách chọn học sinh nam Có 325 cách chọn học sinh nữ Vậy theo qui tắc nhân ta có 5 Vậy theo qui tắc nhân ta có 280 325 91000 cách Chọn B Câu 16 Một đội học sinh giỏi trường THPT, gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Số cách chọn ba học sinh khối có em? A 12 B 220 C 60 D Lời giải Để chọn nam nữ dự trại hè, ta có: Có cách chọn học sinh khối 12 Có cách chọn học sinh khối 11 Có cách chọn học sinh khối 10 60 cách Chọn C Câu 17 Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tổng số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc phát biểu ý kiến cho hai người khơng vợ chồng? A 100 B 91 C 10 D 90 Lời giải Để chọn người đàn ông người đàn bà khơng vợ chồng, ta có Có 10 cách chọn người đàn ơng Có cách chọn người đàn bà Vậy theo qui tắc nhân ta có Vậy theo qui tắc nhân ta có 10 90 cách Chọn D Câu 18 An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường? A B C 10 D 24 Lời giải Từ An Bình có cách Từ Bình Cường có cách Vậy theo qui tắc nhân ta có 24 cách Chọn D Câu 19 Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D mà qua B C lần? A Lời giải Từ B Từ C B 10 Từ A B có cách C có cách D có cách C 18 D 24 24 cách Chọn D Câu 20 Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D quay lại A? Vậy theo qui tắc nhân ta có A 1296 B 784 C 576 D 324 Lời giải Từ kết câu trên, ta có: Từ A D có 24 cách Tương tự, từ D A có 24 cách Vậy theo qui tắc nhân ta có 24 24 576 cách Chọn C Câu 21 Trong tuần bạn A dự định ngày thăm người bạn 12 người bạn Hỏi bạn A lập kế hoạch thăm bạn (thăm bạn khơng q lần)? A 3991680 B 12! C 35831808 D 7! Lời giải Một tuần có bảy ngày ngày thăm bạn Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba Có cách chọn bạn vào ngày thứ tư Có cách chọn bạn vào ngày thứ năm Có cách chọn bạn vào ngày thứ sáu Có cách chọn bạn vào ngày thứ bảy Vậy theo qui tắc nhân ta có 12 11 10 3991680 cách Chọn A Câu 22 Nhãn ghế hội trường gồm hai phần: phần đầu chữ (trong bảng 24 chữ tiếng Việt), phần thứ hai số nguyên dương nhỏ 26 Hỏi có nhiều ghế ghi nhãn khác nhau? A 624 B 48 C 600 D 26 Lời giải Một nhãn gồm phần đầu phần thứ hai 1;2; ;25 Có 24 cách chọn phần đầu Có 25 cách chọn phần thứ hai Vậy theo qui tắc nhân ta có 24 25 600 cách Chọn C Câu 23 Biển số xe máy tỉnh A (nếu khơng kể mã số tỉnh) có kí tự, kí tự vị trí chữ (trong bảng 26 tiếng Anh), kí tự vị trí thứ hai chữ số thuộc tập 1;2; ;9 , kí tự bốn vị trí chữ số thuộc tập 0;1;2; ;9 Hỏi dùng mã số tỉnh tỉnh A làm nhiều biển số xe máy khác nhau? A 2340000 B 234000 C 75 D 2600000 Lời giải Giả sử biển số xe a1a2 a3 a4 a5 a6 Có 26 cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có 10 cách chọn a3 Có 10 cách chọn a4 Có 10 cách chọn a5 Có 10 cách chọn a6 2340000 biển số xe Chọn A Câu 24 Số 253125000 có ước số tự nhiên? A 160 B 240 C 180 D 120 Lời giải Ta có 253125000 23.34.58 nên ước số tự nhiên số cho có dạng 2m 3n p m, n, p cho m 3; n 4; p Vậy theo qui tắc nhân ta có 26 10 10 10 10 Có cách chọn m Có cách chọn n Có cách chọn p Vậy theo qui tắc nhân ta có 180 ước số tự nhiên Chọn C Câu 25 Từ chữ số 1, 5, 6, lập chữ số tự nhiên có chữ số (khơng thiết phải khác nhau) ? A 324 B 256 C 248 Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abcd với a, b, c, d D 124 A 1, 5, 6, Vì số cần tìm có chữ số khơng thiết khác nên: a chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn • • b chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn c chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn • • d chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn Như vậy, ta có 4 4 256 số cần tìm Chọn B Câu 26 Từ chữ số 1, 5, 6, lập chữ số tự nhiên có chữ số khác ? A 36 B 24 C 20 Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abcd với a, b, c, d D 14 A 1, 5, 6,7 Vì số cần tìm có chữ số khác nên: a chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn b chọn từ tập A \ a (có phần tử) nên có cách chọn c chọn từ tập A \ a, b (có phần tử) nên có cách chọn d chọn từ tập A \ a, b, c (có phần tử) nên có cách chọn 24 số cần tìm Chọn B Câu 27 Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ? Như vậy, ta có A 99 B 50 C 20 Lời giải Gọi số cần tìm có dạng ab với a, b A D 10 0, 2, 4, 6, a Trong đó: a chọn từ tập A \ (có phần tử) nên có cách chọn b chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn Như vậy, ta có 20 số cần tìm Chọn C Câu 28 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập chữ số tự nhiên bé 100 ? A 36 B 62 C 54 D 42 Lời giải Các số bé 100 số có chữ số hai chữ số hình 1, 2, 3, 4, 5, Từ tập A lập số có chữ số thành từ tập A Gọi số có hai chữ số có dạng ab với a, b A Trong đó: a chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn b chọn từ tập A (có phần tử) nên có cách chọn Như vậy, ta có 6 36 số có hai chữ số Vậy, từ A lập 36 42 số tự nhiên bé 100 Chọn D Câu 29 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số lẻ gồm chữ số khác ? A 154 B 145 C 144 Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abcd với a, b, c, d Vì abcd số lẻ d 1, 3, D 155 A 0,1, 2, 3, 4, d : có cách chọn Khi a : có cách chọn (khác d ), b : có cách chọn c : có cách chọn Vậy có tất 4 144 số cần tìm Chọn C Câu 30 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số chẵn gồm chữ số khác ? A 156 B 144 C 96 Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abcd với a, b, c, d Vì abcd số chẵn TH1 Nếu d d D 134 A 0,1, 2, 3, 4, 0, 2, 0, số cần tìm abc0 Khi đó: a chọn từ tập A \ nên có cách chọn b chọn từ tập A \ 0, a nên có cách chọn c chọn từ tập A \ 0, a, b nên có cách chọn Như vậy, ta có TH2 Nếu d 2, 60 số có dạng abc0 d : có cách chọn Khi a : có cách chọn (khác d ), b : có cách chọn c : có cách chọn Như vậy, ta có 4 96 số cần tìm Vậy có tất 60 96 156 số cần tìm Chọn A Bài 02 HOÁN VỊ – CHỈNH HP – TỔ HP I – Hốn vị Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử n Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử Định lí Số hốn vị n phần tử, kí hiệu Pn n! n n n 3.2.1 II – Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử n Kết việc lấy k 1 n phần tử khác từ n phần tử tập hợp A k xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Định lí Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử n! n k ! Ank Một số qui ước 0! 1, An0 1, Ann n! Pn III – Tổ hợp Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử n Mỗi tập gồm k k n phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Định lí Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Cnk n! k ! n k ! Một số quy ước Cn0 1, Cnn n! với số nguyên dương k thỏa k ! n k ! với qui ước ta có Cnk Tính chất Tính chất Cnk Tính chất C k n 1 Cnn C k k n =C k n k n k n k n CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề HỐN VỊ Câu Có khả xảy thứ tự đội giải bóng có đội bóng? (giả sử khơng có hai đội có điểm trùng nhau) A 120 B 100 C 80 D 60 Lời giải Số khả xảy thứ tự đội giải bóng có đội bóng hốn vị phần tử nên có 5! 120 cách Chọn A Câu Có cách xếp khác cho người ngồi vào bàn dài? A 120 B C 20 D 25 Lời giải Số cách xếp khác cho người ngồi vào bàn dài hốn vị phần tử nên có 5! 120 cách Chọn A Câu Số cách xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A 6!4! B 10! C 6! 4! D 6! 4! Lời giải Số cách xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ hoán vị 10 phần tử nên có 10! cách Chọn B Câu Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Số cách xếp cho bạn Chi ln ngồi A 24 B 120 C 60 D 16 Lời giải Xếp bạn Chi ngồi có cách Số cách xếp bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào chỗ cịn lại hốn vị phần tử nên có có ! cách Vậy có 24 cách xếp Chọn A Câu Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Hỏi có cách xếp cho bạn An bạn Dũng ngồi hai đầu ghế? A 120 B 16 C 12 D 24 Lời giải Xếp An Dũng ngồi hai đầu ghế có 2! cách xếp Số cách xếp bạn Bình, Chi, Lệ vào ghế cịn lại hoán vị phần tử nên có có 3! cách Vậy có 2!.3! 12 cách Chọn C Câu Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Hỏi có cách xếp cho bạn An bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A 24 B 48 C 72 D 12 Lời giải Số cách xếp bạn vào chỗ ghế dài hoán vị phần tử nên có 5! 120 cách Số cách xếp cho bạn An bạn Dũng ngồi cạnh 2.4! 48 cách ( An Dũng ngồi cạnh xem bạn; xếp bạn vào chỗ có ! cách; cách xếp An Dũng ngồi cạnh 2! ) Vậy số cách xếp cho bạn An bạn Dũng không ngồi cạnh 120 48 72 cách Chọn C Câu Có viên bi đen khác nhau, viên bi đỏ khác nhau, viên bi xanh khác Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? A 345600 B 725760 C 103680 D 518400 Lời giải Số hoán vị màu bi xếp thành dãy 3! Số cách xếp viên bi đen khác thành dãy 3! Số cách xếp viên bi đỏ khác thành dãy ! Số cách xếp viên bi xanh khác thành dãy 5! Số cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh 3!.3!.4!.5! 103680 cách Chọn C Câu Cô dâu rể mời người chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có cách xếp cho cô dâu, rể đứng cạnh A 8! 7! B 2.7! C 6.7! D 2! 6! Lời giải Khi dâu, rể đứng cạnh (có thể thay đổi vị trí cho nhau), ta coi phần tử đứng với vị khách mời để chụp ảnh nên có 2.7! cách xếp Chọn B Câu Trên giá sách muốn xếp 20 sách khác Có cách xếp cho tập tập đặt cạnh A 20! 18! B 20! 19! C 20! 18!.2! D 19!.18 Lời giải Sắp xếp 20 sách giá hốn vị 20 phần tử nên ta có 20! cách xếp Khi hai tập tập đặt cạnh (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi phần tử xếp với 18 sách lại giá nên có 2.19! cách xếp Vậy có tất 20! 2.19! 19!.18 cách xếp theo yêu cầu tốn Chọn D Câu 10 Có cách xếp người vào ghế ngồi bố trí quanh bàn tròn? A 12 B 24 C D Lời giải Chọn người ngồi vào vị trí Xếp người cịn lại vào ghế trống bàn hoán vị phần tử nên có có 3! cách Chọn D Câu 11 Có nữ sinh tên Huệ, Hồng, Lan, Hương nam sinh tên An, Bình, Hùng, Dũng ngồi quanh bàn trịn có chỗ ngồi Hỏi có cách xếp biết nam nữ ngồi xen kẽ nhau? A 576 B 144 C 2880 D 1152 Lời giải Giả sử ghế ngồi đánh số từ đến Chọn bạn ngồi vào vị trí ngẫu nhiên bàn trịn có cách (Nếu chọn cách tức nhầm với bàn dài) Xếp bạn giới tính cịn lại vào ghế (có số ghế tính chẵn lẻ với bạn đầu) có 3! cách Xếp bạn cịn lại ngồi xen kẽ bạn đẫ xếp có ! cách Vậy có 3!.4! 144 cách Chọn B Câu 12 Từ số tự nhiên 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau: A B 24 C D 42 ... Chọn D Câu M? ?t trường THPT cử học sinh dự trại hè to? ?n quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12 B Hỏi nhà trường có cách chọn, bi? ?t lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B... Chọn B Câu Giả sử t? ?? t? ??nh A đến t? ??nh B phương tiện: t? ?, t? ?u hỏa, t? ?u thủy máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến t? ?, chuyến t? ?u hỏa, chuyến t? ?u thủy chuyến máy bay Hỏi có cách t? ?? t? ??nh A đến t? ??nh B ? A 20... Nếu t? ? có 10 cách Nếu t? ?u hỏa có cách Nếu t? ?u thủy có cách Nếu máy bay có cách Theo qui t? ??c cộng, ta có 10 20 cách chọn Chọn A Theo qui t? ??c cộng, ta có Câu Trong thi t? ?m hiểu đ? ?t nước Vi? ?t Nam,