1Bài tập Toán kỹ thuật � Khoa Điện & Điện tử � ĐHBKTPHCM Chương 8 Tích phân phức (Ans (a) [e2(cos2 + isin2) � 1]/2 (b) (sin1coshπ + icos1sinhπ) (c) e + 1 ) P8 1 Tính tích phân hàm phức biến thực 1 i 2[.]
Chương 8: Tích phân phức P8.1: Tính tích phân hàm phức biến thực : a) ∫ 1+i (e 2z )dz b) ∫ 1+iπ (cos z)dz c) (Ans: (a) [e2(cos2 + isin2) 1]/2 P8.2: Tính : ∫ 3+i ∫ iπ (e z )dz (b) (sin1coshπ + icos1sinhπ) (c) e + ) (z )dz a) Dùng cơng thức thứ (tìm ngun hàm) b) Dùng công thức thứ hai với đường (c) đoạn thẳng nối từ điểm z = đến z = 3+ i (Biểu diễn đường (c) có phương trình z(t) = x(t) + i.y(t) với a ≤ t ≤ b ) (Ans: (a) = (b) = (18 + 26i)/3 ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: P8.3: Tính : Tích phân phức ∫ C zdz Với đường (C) hình bên (Ans: 0,375 0,5i ) P8.4: Tính : ∫ C zdz Với đường (C) hình bên (Ans: πi ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM -1 (C) -i Chương 8: Tích phân phức P8.5: Tính : ∫ 1+i (x + y)dz Với đường lấy tích phân : a) Dọc theo trục Oy, từ đến i, sau dọc theo đường y = đến 1+ i b) Đoạn thẳng từ z = đến z = 1+ i (Ans: (a) (3 + i)/2 (b) (1 + i) ) P8.6: Tính : ∫ i −i (x + iy )dz Với đường lấy tích phân : a) Nửa đường trịn |z| = nửa mặt phẳng phức b) Dọc theo đường thẳng x = (Ans: (a) (-2 + i4)/3 (b) 2/3 ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: Tích phân phức P8.7: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ c) �∫ z +1 |z|= z b) �∫ dz d) )(2z −i) �∫ dz 2z |z|=1 (4 − z z3 |z|= z + 6z +5 z |z|= (z −1) (z −i) (Ans: (a) 2πi (b) πi/2 (c) 4π/17 Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM dz dz (d) ) Chương 8: Tích phân phức P8.8: a) Xác định nghiệm phương trình : z3 = ? b) Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : �∫ (Ans: |z −1|=1 (z −1) dz (a) 1; 1∠120o; 1∠-120o (b) nghiệm bên C, ta có I = 4πi/9 ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: Tích phân phức P8.9: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ b) �∫ dz c) (z − z) �∫ z +1 �∫ 2z −1 |z|= |z|= z dz −1 d) z |z|= (z + 4)(z − 6) |z|= z (z + 4) dz dz (Ans: (a) 4πi (b) (c) 3πi/10 (d) πi/32 ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: Tích phân phức P8.10: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ b) �∫ c) �∫ z |z|= (z + 7z + 6) d) dz z3 2 |z −i|=0,5 (z +1)(z + z +1) (z −1) |z|=1 z(z − 2) (z −3) �∫ z3 +3z +1 2 |z|= z (z −5) dz dz dz (Ans: (a) -2πi/5 (b) π (c) πi/6) (d) -6πi/5 Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: Tích phân phức P8.11: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ |z|= c) �∫ z |z + 2i|=1 (z −1)(z + 2i) z dz (9 − z )(z + i) b) �∫ dz d) �∫ |z −i|= z + dz 2z |z|=1 (2z −1)(z + 2) dz (Ans: (a) π/5 (b) π/2 (c) 2πi[4/5+2i/5] (d) 4πi/5 ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: Tích phân phức P8.12: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : �∫ 5z C (z +1)(z − 2)(z + 4i) dz Với C là: a) Đường tròn |z| = ? b) Đường tròn |z| = ? (Ans: (a) (4π/17)[9 + 2i] (b) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: ) Tích phân phức P8.13: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ b) �∫ c) �∫ cosz C z(z dz +8) dz + 4z + (C: đường tròn |z 2i| = 3, , theo chiều dương ) sin2z (C: đường tròn |z + 2i| = 2, , theo chiều dương ) sin2z Cz (C: hình chữ nhật giới hạn x = ± 2, y = ± , theo chiều dương ) 2 C z + 4z + dz (Ans: (a) πi/4 (b) πsin2(2 i) (c) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM ) 10 Chương 8: Tích phân phức P8.14: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) b) c) d) �∫ �∫ �∫ �∫ z +1 C z (z − 2) z +1 C z (z − 2) z +1 C z (z − 2) dz (C: đường tròn đơn vị |z | = ) dz (C: đường tròn |z i | = ) dz (C: đường tròn |z 2i | = ) C (2z −3i)(z +i) dz (C: đường tròn |z + i | = ) (Ans: (a) 3iπ/2 (b) 3iπ/2 (c) (d) 2πi/5 ) 11 Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 8: Tích phân phức P8.15: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ b) �∫ 2 |z −i| = (z + 4) z4 |z| = dz c) dz (z −1)3 d) �∫ �∫ z3 + z |z| =1 (2z +1) dz 4z |z| =3 (z −1)(z + 2) (Ans: (a) π/16 (b) 12πi Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM dz (c) -3πi/8 (d) ) 12 Chương 8: Tích phân phức P8.16: Dùng cơng thức tích phân Cauchy để tính : a) �∫ b) �∫ dz c) (z − 2) �∫ dz d) z +4iz +1 �∫ |z −i| = z |z| =1 5z − 2 |z| =3 (z − z) z10 10 |z| =1 (z −0,5)(z + 2) (Ans: (a) πi/4 (b) π/√5 (c) 10πi Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM dz dz d) 2πi/(211 + 1) )) 13