1Bài tập Toán kỹ thuật � Khoa Điện & Điện tử � ĐHBKTPHCM Chương 10 Lý thuyết thặng dư (residue) P10 1 Xác định các điểm bất thường cô lập của f(z) và cho biết loại của chúng ? 2 3 z (z 1) a) + 3 2 2z[.]
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.1: Xác định điểm bất thường cô lập f(z) cho biết loại chúng ? a) z2 (z +1) 2z3 − z +1 b) (z − 4) (z −i)(z −1+ 2i) c) sin(mz) (z + 2z + 2) d) 1−cos z z (Ans: a) z = -1 : cực cấp 3 b) z = 4: cực cấp 2; z = i 2i : cực đơn c) z = + i and 1 i : cực đơn d) z = : điểm bất thường bỏ Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.2: Dùng chuổi Laurent, tìm thặng dư z = hàm phức sau: a) (z + z) b) zcos 1z c) z −sin z z (Ans: a) b) 1/2 c) ) P10.3: Dùng chuổi Laurent, xác định cấp thặng dư cực hàm phức sau: a) 1−cosh z z3 b) 1−e2 z z4 (Ans: c) e2 z (z −1)2 a) m = 1; -1/2 b) m = 3; - 4/3 c) m = 2; 2e2 ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.4: Tìm thặng dư hàm phức : f(z) = z(z−1 2)4 z = dùng phương pháp : a) Khai triển chuổi Laurent quanh điểm z = ? b) Dùng cơng thức tính thặng dư cực ? (Ans: (a), (b) : 1/16 Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: ) Lý thuyết thặng dư (residue) P10.5: Tìm thặng dư hàm điểm z tương ứng : a) b) z (z +1) ; z = i & −i z (z + 2z +5) (Ans: ; cực c) d) 2z (z +1)(2z −1) z − 2z (z +1)2 (z + 4) ; cực ; cực a) Res{f,i} = 1/2 ; Res{f,- i} = 1/2 b) Res{f,-1+2i} = (2+i)/4; Res{f,-1-2i} = (2-i)/4 c) Res{f,i} = -(1+2i)/5; Res{f,-i} = -(1-2i)/5; Res{f,1/2} = 2/5 d) Res{f,2i} = (7+i)/25; Res{f,-2i} = (7-i)/25; Res{f,-1} = -14/25) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.6: Tìm thặng dư hàm cực: 3z + a) (z −1)(z +9) z3 − z + z −1 b) (z + 4z) (Ans: c) z + 4z + z3 +1 d) 3+ 4z (z −1)5 (z3 +3z + 2z) a) Res{f,3i} = (15-5i)/12; Res{f,-3i} = (15+5i)/12; Res{f,1} = 1/2 b) Res{f,2i} = (-3+6i)/8; Res{f,-3i} = (-3-6i)/8; Res{f,0} = -1/4 c) Res{f,1} = 19 d) Res{f,-2} = -5/2; Res{f,-1} = ; Res{f,0} = 3/2) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.7: Dùng định lý thặng dư, tính tích phân: a) �∫ c) �∫ 5z − |z|= z(z −1) dz 3z3 + 2 |z|= (z −1)(z + 4) b) �∫ dz d ) 3z3 + 2 |z − 2|= (z −1)(z + 4) �∫ (3z + 2)2 |z|=3 z(z −1)(2z +5) (Ans: a) 10πi b) 2πi Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM dz dz c) 5πi / d) 9πi ) Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.8: Cho C đường tròn |z| = , tính: I = �∫ f (z)dz C a) f (z) = z z −1 b) f (z) = c) f (z) = z (z + 2) z e ) f ( z ) = d) f (z) = (z2 +3z 2 (z z+1) + +2) f ) f ( z) = (Ans: a) 2iπ b) d) z(z − 2)3 z(z + 6z + 4) c) f) − 0.27i ) e) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.9: Dùng định lý thặng dư, tính tích phân: a) �∫ c) �∫ z +1 |z +i|=7 (z −1) (z + 2i) b) �∫ dz d) �∫ dz iz |z +3i|= (z −i)(z +9) (Ans: a) 2πi b) 4πi Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM 2z |z −1|=3 (z −i) dz (z + 2)(z + 4) 2 |z −i|=1 (z +1)(z + 6) c) − πi / d) 3π / dz ) Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.10: Dùng định lý thặng dư, tính tích phân: a) �∫ b) �∫ c) �∫ z +i C z +6 dz [C = hình vng, cạnh = 8, tâm gốc tọa độ] z − 2z dz 2 C (z +1) (z + 4) C (z +1) (z −1)(z − 2) [C = hình trịn |z + i| = ] dz [C = hình chữ nhật, cạnh ± i; ± i ] (Ans: a) 2πi b) 2π 25 (25 − 39i) c) − 19108πi ) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM Chương 10: P10.11: Tính: Lý thuyết thặng dư (residue) �∫ C z (z + 4) dz a) C : đường trịn, bán kính 2, tâm gốc tọa độ (Ans: a) πi/32 ; b) C : đường trịn, bán kính 3, tâm ( 2, 0) b) ) P10.12: Tính : a) �∫ b) �∫ |z| =3 z (z + 2z + 2) dz z + z +1 |z| =3 / z dz (z −1)(z − 2) Bài tập Toán kỹ thuật Khoa Điện & Điện tử ĐHBKTPHCM (Ans: a) b) 7πi/2 ) 10