toán kỹ thuật,dhbkhcm

toán kỹ thuật,dhbkhcm I Hàm biến phức II Chuỗi phức  III Tích phân đường phức IV Điểm bất thường, zeros và thặng dư V Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s Part 3 Hàm biến phức Created and edited by Nguy.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 3: Hàm biến phức I Hàm biến phức II Chuỗi phức  III Tích phân đường phức IV Điểm bất thường, zeros thặng dư V Ứng dụng lý thuyết thặng dư s CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tích phân đường phức Tích phân đường phức Định lý Cauchy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tích phân đường phức  Cho f(z) hàm phức liên tục điểm đường cong đơn C mặt phẳng z hai điểm đầu a b:  C f ( z)dz  lim zk 0 n  f ( z )z k 1 k k  Nếu z = x + jy f(z) = u(x,y) + jv(x,y):  C f ( z)dz   u( x , y)  jv( x , y)  (dx  jdy) C CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tích phân đường phức Ví dụ 4.01: Tính tích phân phức  z dz dọc theo đường C, nối hai điểm -1 + j + 3j theo đường gấp khúc ABD hình: C Nếu C đường thẳng nối A D kết có thay đổi khơng? Đáp án: -4 + j.196/3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tích phân đường phức dz Ví dụ 4.02: Tính tích phân đường phức  C n 1 ( z  z0 ) với C đường tròn |z – z0| = r (r số) Đáp án: 2 j  C ( z  z )n1 dz   0 CuuDuongThanCong.com (n  0) (n  0) https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy  Đường cong kín: đường cong có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, đơn khơng đơn:  Định lý Cauchy: Nếu f(z) hàm giải tích với đạo hàm f’(z) liên tục điểm bên đường cong kín đơn C, đó:  f ( z)dz  C  Goursat sau chứng minh định lý Cauchy cho trường hợp f’(z) không liên tục C CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy  Miền giới hạn: miền giới hạn đường cong kín, đơn liên đa liên:  Tích phân khơng phụ thuộc đường đi: Nếu f(z) giải tích miền đơn liên D, tích phân f(z) khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân D CuuDuongThanCong.com  z2 z1 z2 f ( z)dz   f ( z)dz z1 C https://fb.com/tailieudientucntt C2 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy  Nguyên lý biến dạng chu tuyến: Nếu f(z) hàm giải tích miền đơn liên D, C1 đường cong kín D Nếu C1 biến dạng (co – giãn) trở thành đường cong kín C2 q trình biến dạng khơng vượt khỏi miền D, đó:  C1 f ( z)dz   C2 f ( z)dz C1 C2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy  Nếu f(z) có hữu hạn điểm bất thường z = zi (i = 1,2,…,n) bên đường cong kín đơn C, có n đường kín i bao quanh điểm bất thường (mỗi đường i bao quanh điểm bất thường zi), đó:  f ( z)dz   f ( z)dz   f ( z)dz    f ( z)dz C1 CuuDuongThanCong.com 1 2 n https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy  C ( z  z )n1 dz Ví dụ 4.03: Tính tích phân với C là: a đường cong kín bao quanh z0 b đường cong kín khơng bao quanh z0 z  C ( z  1)( z  j) dz Ví dụ 4.04: Tính tích phân với C a đường cong kín bao quanh hai điểm z = z = -2j b đường cong kín bao quanh z = -2j không bao quanh z = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy  Cơng thức tích phân Cauchy: Cho f(z) hàm giải tích bên biên đường cong kín đơn C Nếu z0 điểm bên C, đó: f ( z) C z  z0 dz  2 j f ( z0 ) f ( z) 2 j ( n) C ( z  z )n1 dz  n ! f ( z0 ) Ví dụ 4.05: Tính tích phân đường: 2z C f ( z)dz with f ( z)  ( z  1)( z  2)( z  j) với C đường cong bao ba điểm z = 1, - and –j CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy Đáp án ví dụ 4.05:  C f ( z)dz   2z ( z  2)( z  j ) dz  z 1  2z ( z  1)( z  j ) dz z2 2z f3 ( z) f1 ( z ) f2 ( z) ( z  1)( z  2)  dz   dz   dz   dz 3    z 1 z  z  j z j 1, 2 3 đường cong kín bao quanh z = 1, - –j Dùng cơng thức tích phân Cauchy ta có kết quả:  C f ( z)dz  2 j  f1 (1)  f2 ( 2)  f3 (  j )   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Định lý Cauchy Ví dụ 4.06: Tính tích phân đường z4 I dz C ( z  1) với C đường cong kín bao quanh z = Đáp án: I = 12πj CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt