toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm

toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm Chương 1 Chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  1 1 Hàm tuần hoàn  1 2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1 3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1 4 K.

Chương Chuỗi Fourier       1.1 Hàm tuần hoàn 1.2 Chuỗi Fourier hàm tuần hồn 1.3 Các cơng thức khác để tính hệ số Fourier 1.4 Khai triển bán kỳ 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier 1.6 Ứng dụng chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng chẵn  Các hệ số khai triển Fourier T a0 = T ∫ f (t )dt T an = T f (t= ) f (−t ) ∫ f (t ) cos(nω0t )dt bn = Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Chuỗi Fourier côsin  Định lý 1.7: Nếu f hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet chuỗi Fourier có dạng: a0 +∞ ) + ∑ an cos(nω0t ) f (t= n =1 T a0 T 4 = f (t )dt ; an ∫ T T ∫ f (t ) co s(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Hàm tuần hoàn đối xứng lẻ  Các hệ số khai triển Fourier f (t ) = − f (−t ) a0 = an = T bn = T ∫ f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng Chuỗi Fourier Sin  Định lý 1.8: Nếu f hàm tuần hoàn lẻ, thỏa điều kiện Dirichlet chuỗi Fourier có dạng: +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 T bn = T ∫ f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  T  Hàm tuần hồn đối xứng nửa sóng f (t ) = − f t ±  2   Các hệ số khai triển Fourier a0 = 0  T an =   ∫ f (t ) cos(nω0t )dt T 0  T bn =   ∫ f (t ) sin( nω0t )dt T ( n = 2k ) (= n 2k + 1) ( n = 2k ) (= n 2k + 1) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng  Định lý : Nếu f hàm tuần hồn nửa sóng, thỏa điều kiện Dirichlet chuỗi Fourier có dạng: +∞ ∑ (a f (t ) n =1 (= n k +1) T an = T ∫ n cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ) T f (t ) cos(nω0t )dt bn = T ∫ f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dời trục tọa độ f(t) g(t) τ t h t f (t ) =± h + g (t ± τ ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng Cho hàm f(t) định nghĩa : f(t) = t + π ( – π < t < π) f(t) = f(t + 2π) Xác định chuỗi Fourier biểu diễn cho f(t) ? Giải  Ta biểu diễn f(t) theo g(t): f(t) = π + g(t)  g(t) tín hiệu đối xứng lẻ nên có chuỗi Fourier: T = 2π; ω0 = 1; g(t) = t (0 < t < π) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng π π  tcos(nω0 t) sin(nω0 t)  2 − = bn = ω ∫t)dt tsin(n = + cos(nπ) − 2πω0 (n )π  ω nn 0 0   π ∞  Chuỗi Fourier g(t): g (t ) = ∑ bn sin( nt ) n =1 − cos(nπ ) sin(nt )  Chuỗi Fourier f(t): f (t )= π + 2∑ n n =1 ∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 10 https://fb.com/tailieudientucntt 1.4.3 Chuỗi Fourier hàm xác định [0,T/2]  Xét hàm f(t) xác định khoảng kín [0,T/2]  Ta cần tìm khai triển Fourier f(t) ϕ (t ) − T < t <  Mở rộng hàm f(t) thành hàm  = F (t )  f (t ) o≤t ≤T2 F(t) tuần hoàn  F (t + T ) ∀t   Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier hội tụ F(t) điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier F(t) hội tụ f(t) đoạn [0,T/2]  Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn  Chọn ϕ(t) ?  Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 11 https://fb.com/tailieudientucntt 1.4.3 Chuỗi Fourier hàm xác định [0,T/2]  Định lý 1.9: Nếu f(t) hàm xác định khoảng kín [0, T/2] thỏa điều kiện Dirichlet khai triển thành : Chuỗi Fourier côsin a0 +∞ + ∑ an cos(nω0t ) ) f (t= n =1 Hoặc thành chuỗi Fourier sin Khai triển bán kỳ +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 12 https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ khai triển bán kỳ     (1 − cos nπ ) = bn nπ  f(t) Cho hàm f(t) định nghĩa f(t)= t+2 ( < t < 2) Xác định chuỗi Fourier sin biểu diễn cho f(t) Giải Thiết lập hàm lẻ F(t) Xác định hệ số bn 2 F(t) -2 Chuỗi Fourier sin f(t) -2 -4 t t f (t ) =12π sin ( π2 t ) − π2 sin ( π2 t ) + π4 sin ( π2 t ) − π1 sin ( π2 t ) + Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 13 https://fb.com/tailieudientucntt 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier  Chuỗi Fourier dạng sóng hài +∞  Dạng sóng hài cosin f (t ) = C0 + ∑ Cn cos(nω0t + α n ) n =1 +∞   Dạng sóng hài sin Các hệ số khai triển f (t ) = C0 + ∑ Cn sin(nω0t + β n ) n =1 a0 = C0 ; = Cn bn an ; βn = αn = −arctg arctg an bn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com an2 + bn2 14 https://fb.com/tailieudientucntt 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier  Chuỗi Fourier dạng mũ phức f (t ) = +∞ • ∑D n e jnω0t n = −∞ •  Các hệ số khai triển phức T − jnω0t D n = ∫ f (t )e dt T −T •  Quan hệ với hệ số khai triển lượng giác khai triển hài a0 D= C= 0 • an − jbn Cn = ∠α n D= n 2 • ∗ an + jbn Cn = ∠ − α= D −= Dn n n 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 15 https://fb.com/tailieudientucntt 1.5 Các dạng khác chuỗi Fourier   Phổ biên độ hàm f(t) Hàm f(t) có khai triển phức f (t ) = +∞ ∑ • D n e jnω0t n = −∞ •   D= Dn ∠α n n Có tần số ω0 = 2π/T Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T  Định nghĩa : Phổ biên độ chuỗi Fourier mũ phức hàm tuần hoàn f(t) đồ thị điểm (nω0, |Dn|) Phổ biên độ gọi phổ tần số hay tần phổ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 16 https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ phổ biên độ  f(t) A Khai triển lượng giác +∞ 4A f (t ) = ∑ sin(nω0t ) nπ n =1 -T/2  Và khai triển phức Dn Phổ biên độ -5 -3 -1 +∞ ∑ f (t ) = n = −∞ (= n k +1) 2A/π 2A/3π -7 T/2 t 2A/5π A jnω0t e −j nπ 2A/7π Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com T -A n k +1) (=  https://fb.com/tailieudientucntt ω ω0 17 ... sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Dời trục tọa độ f(t) g(t) τ t h t f (t ) =± h + g (t ± τ ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com... + ∑ an cos(nω0t ) f (t= n =1 T a0 T 4 = f (t )dt ; an ∫ T T ∫ f (t ) co s(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho... hệ số khai triển Fourier f (t ) = − f (−t ) a0 = an = T bn = T ∫ f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.4 Khai triển bán kỳ cho