toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm Chương Chương 2 T2 Tíích phân Fourier bich phân Fourier biếến ñn ñổổi Fourier i Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 � 2 1 Tích phân Fourier � 2 2 Phép biến ñổi Fou.toán kỹ thuật,quốc tuấn,dhbkhcm Chương Chương 2 T2 Tíích phân Fourier bich phân Fourier biếến ñn ñổổi Fourier i Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 � 2 1 Tích phân Fourier � 2 2 Phép biến ñổi Fou.
Chương Tích phân Fourier & biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier 2.2 Phép biến ñổi Fourier 2.3 Ứng dụng tích phân Fourier biến ñổi Fourier 2.4 Các hàm bất thường biến ñổi Fourier chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1 Tích phân Fourier Hàm tuần hồn Chuỗi Fourier Hàm xác định khoảng kín Chuỗi Fourier Hàm khơng tuần hồn Tích phân Fourier Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier Khác biệt hàm tuần hồn khơng tuần hồn ? T →∞ Chu kỳ T hữu hạn vô hạn f(t) -T -T/2 f(t) T T/2 -T/2 T/2 f(t) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) khoảng (-∞,+∞) f(t) T →∞ Ta bắt ñầu từ fΤ(t) fT(t) -T/2 Dễ thấy t T/2 f (t ) = lim fT (t ) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier Hàm tuần hồn fT(t) có định nghĩa chu kỳ -T/2 fT(t) 0 fT (t ) = 1 0 fT(t) -1 − T < t < −1 −1 < t < 1< t < T2 1 t T/2 có khai triển Fourier : a0 +∞ +∞ sin(nω0 ) fT (t ) = + ∑ an cos(nω0 t ) = + ∑ cos(nω0 t ) n =1 T n =1 T nω0 Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier ωn = nω0 sin( nω0 ) sin ωn = ∆ω an = T nω0 π ωn ðặt ðịnh nghĩa hàm biên ñộ ∆ω = ω0 2 π A(ω ) = sin ω π ω A(ω ) π ω=0 ω>0 sin(ω ) ω ω0 2ω0 π 2π = sinc(ω )=Sa(ω ) ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier Chu kỳ T kéo dài → vạch (ñặc trưng cho biên ñộ ) chạy dồn trục tung ñường biên ñộ A(ω) A(ω ) π ω0 2ω0 π 2π ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier +∞ sin(nω0 ) fT (t) = + ∑ cos(nω0t) T n=1 T nω0 an = ∆ω sin ωn π ωn Viết lại fT(t) fT (t) = ∆ω π sin(ωn ) +∑ {cos(ωnt)}∆ω +∞ n=1 π ωn +∞ fT (t) = + ∑ A(ω){cos(ωnt)} ∆ω π n=1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier fT (t) = ∆ω π sin(ωn ) +∑ {cos(ωnt)}∆ω +∞ n=1 π ωn +∞ fT (t) = + ∑ A(ω){cos(ωnt)} ∆ω π n=1 Nếu xét t cố ñịnh biến ω thay đổi ta có: T → ∞ ; ω → +∞ f (t ) = lim fT (t ) = T →∞ ∫ A(ω ) cos(ωt)dω Tích phân Fourier Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier Lý luận tương tự dùng khai triển số mũ ta tích phân Fourier mũ phức +∞ fT (t ) = • ∑De jnω0 t n n =−∞ Dn = ∫ f (t )e− jnω0t dt T −T fT (t ) = ∑ n =−∞ 2π +∞ T • T ∫ f (t )e −T − jωn t jω t dt e n ∆ω +∞ f (t ) = lim fT (t ) = T →∞ ∫ D(ω )e jω t dω −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 10 https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier ðịnh lý : Nếu f(t) thỏa ñiều kiện Dirichlet khoảng hữu hạn ∫ ∞ −∞ |f(t)|dt hội tụ thì: 1 jωt − jωt + − ∫−∞ 2π −∞∫ f(t)e dt e dω = f(t ) + f(t ) +∞ +∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 11 https://fb.com/tailieudientucntt Tích phân Fourier mũ phức +∞ f (t ) = ∫ D ( ω ) e jω t d ω −∞ +∞ − jωt D(ω) = f (t)e dt ∫ 2π −∞ F (ω ) = 2π D(ω ) Miền t: f(t) F F−1 Miền ω: F(ω) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 12 https://fb.com/tailieudientucntt Tương đồng chuỗi phức tích phân phức Chuỗi Fourier phức +∞ ∑ Tích phân Fourier phức +∞ ∫ dω n =−∞ • Dn nω0 T dt ∫ T −T −∞ D(ω) ω +∞ dt ∫ 2π −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 13 https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tích phân Fourier mũ phức Cho hàm f(t) ñịnh nghĩa t 0) t >0 e Tìm tích phân Fourier mũ phức biểu diễn cho f(t) ? Giải D(ω ) = 2π +∞ ∫ f (t )e −∞ − jωt dt = 2π +∞ ∫e − at − jωt e −1 dt = e − ( a + jω )t 2π (a + jω ) +∞ +∞ e jωt D(ω ) = ⇒ f (t ) = ∫ dω 2π ( a + jω ) 2π (a + jω ) −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 14 https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn Nếu định nghĩa A (ω ) = B (ω ) = π π +∞ ∫ f ( t ) c o s (ω t ) d t −∞ +∞ ∫ f ( t ) s i n (ω t ) d t −∞ Thì tích phân Fourier dạng chuẩn +∞ f (t ) = ∫ [ A(ω ) cos(ωt ) + B(ω ) sin(ωt )] dω Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 15 https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tích phân Fourier dạng chuẩn Tìm tích phân Fourier dạng chuẩn f(t) ? A(ω ) = π Giải 0 f (t ) = − at e +∞ − at e ∫ cos(ωt )dt ; B (ω ) = π t0 ( a > 0) +∞ − at e ∫ sin(ωt )dt +∞ a + jω A(ω ) + jB(ω ) = ∫ e e dt = = π π (a − jω ) π (a + ω ) − at jω t a ω A(ω ) = ; B (ω ) = 2 π (a + ω ) π (a + ω ) +∞ ⇒ f (t ) = ∫ a cos ω t + ω sin ω t dω 2 π (a + ω ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 16 https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.3 Tích phân Fourier cos sin Nếu f(t) chẵn A (ω ) = π +∞ ∫ f ( t ) c o s (ω t ) d t Thì tích phân Fourier cos +∞ f (t ) = ∫ A(ω ) cos(ωt )dω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 17 https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.3 Tích phân Fourier cos sin Nếu f(t) lẻ B (ω ) = π +∞ ∫ f ( t ) s in ( ω t ) d t Thì tích phân Fourier sin +∞ f (t ) = ∫ B(ω ) sin(ωt )dω Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 18 https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.3 Tích phân Fourier cos sin ðịnh lý Nếu hàm f(t) = t < tích phân Fourier cos tích phân Fourier sin hai lần số hạng thứ thứ hai tích phân Fourier dạng chuẩn Gợi ý :Thêm hàm ϕ(t) để f(t) thành chẵn lẻ Bài giảng Tốn Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com 19 https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tích phân Fourier cos Fourier sin Tìm tích phân Fourier cos , fourier sin f(t) ? Giải 0 f (t ) = − at e f (t ) = +∞ π ∫ f (t ) = f (t ) = t0 a cos ω t + ω sin ω t dω 2 (a + ω ) π π +∞ ∫ +∞ ∫ ω sin ω t dω 2 (a + ω ) a cos ω t dω 2 (a + ω ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com ( a > 0) 20 https://fb.com/tailieudientucntt ... Hàm xác định khoảng kín Chuỗi Fourier Hàm khơng tuần hồn Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier ... tuần hồn ? T →∞ Chu kỳ T hữu hạn vô hạn f(t) -T -T/2 f(t) T T/2 -T/2 T/2 f(t) T →∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier ... a0 +∞ +∞ sin(nω0 ) fT (t ) = + ∑ an cos(nω0 t ) = + ∑ cos(nω0 t ) n =1 T n =1 T nω0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.1.1 Tích phân Fourier ωn