Microsoft word b?a TÍCH PHÂN

Microsoft Word B?A TÍCH PHÂN docx Hỗ T rợ Tài Liệu Các kĩ thuật tích phân Fanpage https //www facebook com/hotrotailieu1st/ www hotrotailieu com BÀI GI NG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH[.]

Trang 1

Hỗ Trợ Tài LiệuCác kĩ thuật tích phân

Trang 2

CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN

BÀI 2 TÍCH PHÂN 2

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 2

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM 3

Dang 1: Tích phân hữu tỉ 3

1 Phương pháp 3

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 4

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 7

Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức 10

1 Phương pháp 10

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 11

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 14

Dạng 3: Tích phân lượng giác 18

1 Phương pháp 182 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 203 Bài tập rèn luyện tốc độ 24Dạng 4: Tích phân từng phần 271 Phương pháp 272 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 273 Bài tập rèn luyện tốc độ 32

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 38

1 Phương pháp 38

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 39

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 42

Dạng 6: Tích phân siêu việt 44

Trang 3

BÀI 2 TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN1 Định nghĩa tích phân

Cho f x  là hàm số liên tục trên đoạn a, b  Giả sử F x  là một nguyên hàm của f x  trên đoạn a, b Hiệu số F b   F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn a, b của hàm số

 f x , kí hiệu là b  af x dx.Ta cịn dùng kí hiệu   baF x để chỉ hiệu F b   F a Vậy    ( ) ( ) ( ).bbaaf x dx F xF b F aTa gọi ba

 là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f x dx  là biểu thức dưới dấu tích phân và f x  làhàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

Trong trường hợp ab hoặc a b, ta quy ước

   ( ) 0;  ( )  ( ) abaaabf x dxf x dxf x dxNhận xét

 Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bới b ( )

af x dx hoặc b (u)afduhoặc b (t) af dt Tích phânchỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x  liên tục và không âm trên đoạn a, b , thì tíchphân b ( )

a

f x dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f x ,  trục Ox và hai đườngthẳng x a,x b. Vậy b  

a

Sf x dx.

II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Tính chất 1: b ( )  b ( ) aakf x dx k f x dx (k: const)Tính chất 2: b ( ) ( ) b ( ) b ( ) aaaf xg x dxf x dxg x dxTính chất 3: b ( ) c ( ) b ( )    aacf x dxf x dxf x dx a c b

III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Hỗ Trợ Tài Liệu

Trang 4

Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn a, b  Giả sử hàm số x  t có đạohàm liên tục trên đoạn  , sao cho        a,   b và a  tb với mọi t   ;. Khi đó:

    b'af x dxft t dt

Định lý 2 (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn a, b  Giả sử hàm số u x  có đạo hàmliên tục và u x    ,. Giả sử ta có thể viết f x g u x u x , x  '    a, b với g x  liên tục trên đoạn

;.  Khi đó ta có:    u bbau af x dxg u du.2 Phương pháp tích phân từng phần

Nếu uu x  và vv x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b thì b b b

a

aa

uvdx uvvdu



B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Dang 1: Tích phân hữu tỉ1 Phương pháp1.1 Một số dạng cần nhớ1) 1ln   , 0. dxax b C aax ba2)  11 1 1 , 0.1      nndxC aanax bax b3)    ln   u xdxu xCu x4) 2 2badxx  thì đặt xtant.1.2 Dạng tổng quát    2   , , 2 4 0, 0 .        mnP xIdx m n N bacax  x  axbx c

+) Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P x   m n 2 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2+) Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P x   m n 2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”

Bước 1: Phân tích:   2  2 112 mnikmnikikP xABMaxbNaxbxcx  x  axbxc  x   x     

Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số ,A B M Nik, ,

Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.

Hỗ Trợ Tài Liệu

Trang 5

Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách sẽ gắn gọn hơn.

+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn.

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năngVí dụ 1: Cho52dxln a.x  Tìm a.A. 5.2 B 2 C 5 D.2.5Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DTa có:5522dx 5 5ln a ln x ln a ln 5 ln 2 ln a ln ln a a x        2  2Ví dụ 2: Cho 2 2 0x 1dx a ln 5 b ln 3, a, b x 4x 3     Giá trị của 3a 2b làA 0 B 1 C 8 D 10.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN A

Khi thấy những bài tích phân có dạng

Trang 6

Ví dụ 4: Biết 0 2 13 5 1 2ln , , 2 3     xx Idx ab a bx Tính giá trị của a4 bA 50 B 60 C 59 D 40.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN C0 2 0110213 5 1 213 112 23 19 211 21.ln 2 21.ln2 2 3                    xx IdxxdxxxxxxKhi đó, 21, 19 4 59.2    ababVí dụ 5: Biết2211 1d ln1 2axx x   b

 với a b, là các số nguyên dương và a

b là phân số tối giản Giá trị

Trang 7

Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DĐặt t x 2dt 2xdx hay xdx dt.2Và x : 01 thì: t : 01. 1 2 111 4 2 200011002 t 1t 2x xdx1tdt1Idt22t 1 t 2x3x2t3t 212113dtln t 2ln t 1ln 3ln 22t 2t 1223a3; b; c2.2            Ví dụ 8: Cho23211ac5a cdxln , a, b,c,d;,bd8b dx 1 x 

  là các phân số tối giản Giá trị của

Trang 8

3a3, b, c02  3 Bài tập rèn luyện tốc độCâu 1: Biết423dxa ln 2 b ln 3 c ln 5x x   

 với a, b, c là các số nguyên Giá trị của S a b c bằng  

Trang 9

222222211111x 1 x11Idxdxdxdxx x 1x x 1x x 1x 1  Suy ra  2 22 221111111x41Idxx 1d x 1lnx 1lnxx 1x 136     41a, b.36  Câu 6: Cho10xdxIa b ln c.x 1 

 Biết b c 1,  với b, c3. Khi đó P abc bằng

Trang 11

Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được: A B 2 A 1; B 33A B322     .Suy ra:2222200002x 31dx3dx11125Idxln x 13ln x 3ln2 x 12 x 3229x4x 3  7125I ABln.29Câu 12: Cho2 243211 ln2 2 1     xdxac d

xxxxbe biết a b c d e N UCLN a b, , , ,  ;  ; 1 và c,d,e là cácsố nguyên tố Giá trị của T a b c d e bằng    

A 32 B 24 C 25 D 31.Hướng dẫn giảiTa có2 24322221112 12 2 1 2 111 12 3                        xxdxdxxxxxxxxxd xxdxxxxxĐặt tx 1x  ta có:243221 1 1ln2 2 1 2 3 4 3xdttdxCxxxxttt          

Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức1 Phương phápLớp bài toán 1:  ax ;axpmpnkmknxxb dxdxb thỏa p 1 k, khi đó ta đặt t n axk bm

Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau

Dấu hiệu Cách đổi biến Chú ý

Trang 12

4 a xora xa xa x  Đặt x a cos 2t0;2t    Lớp bài toán 3: R x ax ; 2bx c dx Hướng 1: theo dạng 2

Hướng 2: Hữu tỉ hoá Sử dụng các phép biến đổi Euler

- Với a , đặt 0 ax2   bx c tax

- Với c , đặt 0 ax2   bx c txc

- Nếu ax2bx c có hai nghiệm x x1 , 2 thì đặt 2 

1axbx c t x x hoặc đặt22ax bx c t x xChú ý:1)2axmx nIdxbx c  ta biến đổi về dạng 222ax2 ax 2 axmbmbdxIdxnabx cabx c         2) ax2   dxK

mx nbx cngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta cịn có thể giải bằng

phép thế đại số Đặt t ax2bx c hoặc 1 2ax bx cthoặc t mx n hoặc   1  mx nt3) Với dạng2ax  

 dxbx c ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa vềdạng:2 2 adxxhoặc 22 ln    dxxxkCxk2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào khơng cùng giá trị với

Trang 13

Ví dụ 2: Tính tích phân30Ix x 1dx ta được a  aI, a, b,bb

 là phân số tối giản Giá trị S 1 1

abbằngA 1311740 B. 16.15 C.116.5 D.16.3Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặt 2  1u x 1 x u 1; du 1 x 'dx dx dx 2udu2 1 x         Đổi biến: u 0  ; 1 u 3 2Khi đó ta có: 3 2 2 53 22242011 1u u 116x x 1dx 2 u 1 u du 2 u u du 2 5 3 15           Do đó: a 116, b 15. Suy ra: S 1 1 131.ab1740  

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân 2 23  *

0

1d , , ,

  a  a

Ixxxa b

bb là phân số tối giản Giá trị

Trang 14

A. 4.3 B.5.3 C.7.3 D.8.3Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặt 2 21 3 1 3 1 1 d 1 d 3 x  tx  t  x t tĐổi cận x  1 t 3;x  5 t 5.Khi đó 5 5 53332 1 2 1 2 4 2 2d 1 d ln ln 3 ln 5.3 3 3 3 3 3             t IttttttDo đó 4 2; 23; 3 3a b c  Vậy 4.3a b c  

Ví dụ 6: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình x

Trang 15

Do đó m m 12 3 2  2  22201m 1 m 1 1t m 1I x x 1dx t dt I 3 1 3          Ví dụ 9: Kết quả của 3 2 02x x 1 a aI dx , a, b ,b bx 1   

  là phân số tối giản Giá trị S a b  bằng

A 36 B 45 C 27 D 59.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN D3202x x 1I dxx 1 Đặt x 1 t     x t2 1 dx 2tdt222222542311 12(t 1) (t 1) 1 4t 54I 2tdt 2 (2t 3t )dt 2t t 5 5            Suy ra: a 54,b 5. Do đó: S a b  59.Ví dụ 10: Cho tích phân120I x ax b 3x  1 dx 3, biết a b 1.  Giá trị S a 3  b3 5a b bằngA 15. B 20 C 102. D 15.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CTa có:111 3 122200 0 0axIax dxbx 3x1dxbx 3x1dx3   + Xét120Abx 3x1dxĐặt 22213x1t3x1 txdxtdt.3   Đổi cận:22 2 31 1btt8bb7bx0t1; x 1t2Adtb 39999       Vậy130ax7ba7bI.3939 Ta có hệ:a7b a 53S 102.39b6ab 1         3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1: Kết quả của tích phân

41dln , , , ,1  xaba b c  bcc

xx là phân số tối giản Giá trị

Trang 16

Đổi biến thành332 22 1 4d 2ln 2ln 1 3  ttt ttSuy ra: a 2, b 4,c 3. Do đó: S29.

Câu 2: Cho tích phân30xI dx1 x 1  nếu đặt t x 1 thì 2  1If t dt trong đóA f t   t2 t B f t 2t22t C f t   t2 t D f t 2t22t.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DĐặt 22dx 2t dtt x 1 t x 1x t 1        và đổi cậnx 0 t 1x 3 t 2     Khi đó 2 2 2  2 2   2111t 1I 2t dt 2t t 1 dt 2t 2t dt f t 2t 2t.t 1            Câu 3: Đặt320d 1axxIxx Ta có:A I=(a2+1) a2+ -1 1 B 1 ( 2 ) 21 1 1 3I= é a + a + + ùê úë ûC I=(a2+1) a2+ +1 1 D 1 ( 2 ) 21 1 1 3I= é a + a + - ùê úë ûHướng dẫn giảiĐAP AN DTa có: 3  2 2220001 d d 1 d1 1axxaxxaIxxxx xxx    2 1 22 1 d dt x   tx  t t x x Đổi cận: x  0 t 1; x a  ta21Khi đó: 2 1   2 1 322111 1 d 1 1 13 3aaIt t ttaa          .Câu 4: Biết323633sin 3d 31xxcdabxx      

 với a b c d, , , là các số nguyên Giá trị

Trang 17

  3633336363331 sin1 sin 1 sin           ItttdttttdtxxxdxSuy ra 3  3 3 2333332 2 sin sin 2 6 3.27 3           Ixx dxIxxdx

Suy ra: a27,b 3,c 2,d 6 Vậy a b c d   28.

Trang 18

Câu 7: Cho tích phân 2 23ax28I4dx.31 x    

 Giá trị a (biết a có giá trị nguyên) là

A 0 B 1 C 1 D 3.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN ATa có:22 23aaxI4dxdx.1 xTính2 23axBdx1 x Đặt 332221 xt1 xtx dxtdt.3  Khi đó222333 aax22Bdx1 x21 a 331 x Ta có:233a22I4x1 x104a1 a33  33328222104a1 a4a1 a6a1 a13333    .

Giải được a 0 (sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE).

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính

Nhập vào màn hình223AX284dx31 X   Ấn CALC và thử các đáp án Ta thấy chỉ đáp án A đúng(kết quả cho bằng 0)

Câu 8: Cho tích phân: 6 

1x 3 1Idxa2 ln a, a.x 2   Giá trị S4 43 a làA 10 B 5 C 15 D 8.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DĐặt t x 3  x t2 3 dx 2tdt.Đổi cận: x 6 t 3x 1t2Suy ra:3 2 33 32 2222ttt1I2dt2dt21dt2 t ln t 12 ln 2a2.t 1t 1t1          Vậy S 8.

Câu 9: Cho tích phân 1 3 

Trang 19

ĐÁP ÁN BTa có:1134500Ixx1dxx dx.61650 1x1x dx66 Đặt tx4 1t2x4 1tdt2x dx3 Đổi cận: x 0  t 1; x 1  t2.Suy ra:22 321 111 t21It dt.22 336    Vậy I 2 1 a2.3 

Câu 10: Giá trị tích phân b3 

axdxIb 22x 2

 bằng bao nhiêu nếu biết z a bi  là căn bậc hai của sốphức 35 3i.4A 125 B 75 C 65 D 115 Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN ATheo đề: 222 35 1aab35abi3i 4 24 2ab 3 b 3 b 0        Đặt 3t3 23t2t2x 2xdxdt22   Đổi cận: x 1 t1; x3t22      3222254211 1t2 3t. 3 3 t 1222Idtt2t dttt44 55  

Dạng 3: Tích phân lượng giác1 Phương pháp

1.1 Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thực k 0

Trang 20

2

11

cot

sin kxdx  kkx C



1.2 Một số lớp bài toán thường gặp

Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác

sin cos  I  fxxdx f t dtcos sin  I  fxxdx  f t dttan  12  cosIfxdxf t dtx   cot  12  sinIfxdxf t dtx   

Lớp bài toán 2: Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng

sinax.sinbxdx cos cosaxbxdx ; sinax.cosbxdx



Cách giải: Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng:

1cos cososos2xy cx ycx y1sin sinosos2xy  cxy cx y1

sin cossinsin

2

xy  xy  x y

Lớp bài toán 3: s in xndx ; cosnxdx n N n ; 2

Cách giải:Nếu n chẵn thì dùng cơng thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:21os221os2cos;s in x =22cxcxx 

Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:



cosxdx d s inx ; sin xdx d cosx

Trang 21

Lớp bài toán 5:111a sin coss inx cos   x bx cIdxabx cCách giải

Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C rồi ta đưa về dạng 4 nếu C 0

Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khácnữa, địi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyênhàm tích phân.2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năngVí dụ 1: Cho tích phân 22cos x cos 3xdx a b.  Giá trị A a3b31.A 3 B 2 C 1 D 4.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN C        222222 22221

Icos x.cos 3xdxcos 4x cos 2x dx2

1111

cos 4xdxcos 2xdxsin 4xsin 2x0a b 0.

22843 33A ab 1a b3ab a b 1 1.Ví dụ 2: Cho tích phân 4 4 0Isin xdx ab, a, b.    Giá trị A 1 1ab bằngA 11 B 20.3 C 4 D 7.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN B         2 22

421 cos 2x1 2 cos 2 x cos 2xsin xsin x

24

111 1 cos 4 x311

cos 2xcos 2xcos 4x.

42428284 4003113111

Icos 2xcos 4x dxxsin 2xsin 4x38

Trang 22

A 0 B 2 C 1 D 1.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN B      4 2 4 2 4 4 42200000401dxtan xdxtan x 1 1 dx1 dxdxcos xcos xtan x x1.41a 1; bA2.4   Ví dụ 4: Cho tích phân 4244

3 sinx dx8 sin 2a.cos x   

 Giá trị Asin6acos6a bằng

A 1.4 B 1.2 C 1 D 3.4Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN A         4424443 23 2

3 sin x dx4 tan x 3 cos x448

22cos x sin 2a 1. Suy ra: 321A 1sin 2a.44 Ví dụ 5: Cho tích phân 2 5 0I1 cos x dxab, a, b.    Giá trị A6a15b bằngA 11 B 4 C 7 D 3.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN ATa có 2 2255000I1 cos x dxdxcos xdx.  Trong đó:2200dxx2.Xét 2 52 42 2 2000

Kcos xdxcos x.cos xdx1 sin x cos xdx.Đặt tsin x suy ra dt cosxdx, x 0  t 0, x   t 1

Trang 23

Ví dụ 6: Cho tích phân 630dxIa ln 3 b.cos x  Giá trị A4a3b bằngA 2 B 5 C 4 D 7.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN ATa có: 6642200d sin xcos xIdxcos x 1 sin x

Đặt tsin x, với x0 thì t0, với x

Trang 24

Ví dụ 8: Cho tích phân 2 0cos 3x2 cos xIdxa ln 8b, a, b.2 3 sin x cos 2x  Giá trị A a b  5 bằngA 3. B 2. C 2 D 4.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DTa có:   22222200

4 cos x 1 cos x 3 4 sin x

Idxd sin x

2 sin x 3 sin x 12 3 sin x1 2 sin x

.Đặt tsin x Khi x0 thì t0, khi x

2 thì t 1 Suy ra:                     121120001 1004t 42t 13 4t6t 5Idt2dt2dt2t 1 t 12t 1 t 12t3t 1412dt2t 2 ln 2t 1ln t 12t 1t 12 2 ln 3 ln 2 ln18 2.a 1; b2A 4.    Ví dụ 9: Cho 2 3112dxln a 4 3ln b 2 21.3sin x 1 cos x2 2  Giá trị A a 3 b3 2ab bằngA 301 B 240 C 360 D 412.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN D

Đặt t 1 cos x t2 1 cos x2tdt sin xdx.

3xt; xt 1322      222331112222223332221s inxdxdx

sin x 1 cos xsin x 1 cos x

Trang 25

3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1: Cho tích phân

    2 440xxsincosdx a b

22 và a3b3 7.Giá trị của a và b lần lượt là

A a 1 .b2    B a 2.b 1    C a 1 a 2.b 2b 1       D a 1 a 2.b2b 1       Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN D            2 44 2 2222 200020xxxxxx

sincosdxsincossincosdxcos xdx

222222sin x1.                   3 3  3 3ab 1a b1 a 1 a 2b2b 1ab7b 1b706464222200tan xtan xIdxdx

cos x sin xcos x 1 tan x.Đặt 2dxttan xdtcos x và x : 06 thì t : 0 33                     3333433222200033 30t1111Idtt1dtt1dt2 t 1t 11 tt1t1t 110 31tlnln 23 32t 1272Tìm được a3.

Câu 2: Cho tích phân 3

Trang 26

       21112Ixcos 2xI422411a; bA5.44   

Câu 3: Cho tích phân 2 5  

0I x cos x dxF xC. Giá trị F  bằngA. 2.4B. 2.2C. 2.2 D. 2.4Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN B    55425322F x2

Ix cos x dxxdxcos xdxxdxcos xd sin xxsin x2 sin x

xdx1 sin x d sin xsin xC

253

F.

2

Câu 4: Cho tích phân 4 

023 tan xIdxa 5b 2 , a, b.1 cos 2x  Giá trị A9a2b bằngA 1 B 5 C 4 D 7.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN A  4  4  1220012 3 tan x1Idx2 3 tan xd 2 3 tan x2 cos x 6Đặt        53522 211 212 3 tan xtItdt t5 5 2 266 3952a; bA 1.99   Câu 5: Cho 2 3  2 10Icos x 1 cos xdxab , a, b.    Giá trị A9a b bằngA 29.64 B 31.20 C 101.20 D 53.60Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CTa có: 2 5 2 200Icos xdxcos xdxA B.   +) Tính 2 2 2 2000111

Bcos xdx1 cos 2 x dxxsin 2x.

Trang 27

+) Tính2 50Acos xdx.Đặt tsin xdtcos xdx và x : 02 thì t : 01.Khi đó:  2 42 2 2 1 2 2000

Acos x cos xdx1 sin xcos xdx1 tdt

   1154230 0t28t2t1 dttt.531581101a; bA.15420   Câu 6: Cho022sin 2ln 2 , , 2 sin    x Idx ab a bxTính A a 2b3.A 1. B 4. C 1 D 2.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN B002222sin 2x2 sin xIdxcos xdx2 sin x2 sin xĐặt t 2 sin xdtcos xdx và x :  02 thì t : 12.Khi đó 2  2 2221112 t 2 2 4 4Idtdt2 ln t2 ln 2 2a2; b2.tttt              A 4.

Câu 7: Cho tích phân 2 

4sin x cos xbbdx aln 2, a; b,c,sin x cos xcc    

  là phân số tối giản Giá tị

 Aa 2b c bằngA 4 B 5 C 1 D 7.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN A  222444d sin x cos xsin x cos xIdxln sin x cos xln1 ln 2ln 2

sin x cos xsin x cos x a 0, b 1,c 2  A 4.

Câu 8: Cho tích phân 3

Trang 28

ĐÁP ÁN A.3 223 2222 3 23 24444

cos 2xcos x sin x11

Idxdxdxdx

cos x sin xcos x sin xsin xcos x

3414cotx tanx6 4 3a2; bA 14.33      Câu 9: Xét tích phân20sin 2xdxI 1 cos x

 Nếu đặt t 1 cos x, ta được:

A 2 2 1I 4  x 1 dx B.1324t 4tI 4 dt.t  C.1324t 4tI 4 dx.t   D 2 2 1I 4  t 1 dt.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN C2

t 1 cos x  t cos x2tdt sin xdxKhi x 0 thì t 2, khi x2 thì t 1.Do đó: 2 1  2  1 30224t t 12sin x cos xdx 4t 4tI dt dtt t1 cos x     Dạng 4: Tích phân từng phần1 Phương pháp

Cho u u x v v x  ,    là các hàm số liên tục trên đoạn  a b; và có đạo hàm trên khoảng  a b; ta có

 

bb

ba

aa

udvuv vduudv uv  vdu



Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau LOGARIT  ĐA THỨC  MŨ, LƯỢNG GIÁC và

   ,

P x Q x là 2 trong các loại hàm số đó Khi cần tính P x Q x dx    ta chọn từng phần theo nguyêntắc sau

Trang 29

20 2 ln 1I  x x dx A B Tính 2 2200 2 4A xdx x Tính 20 ln 1B x dxXem:  ln 1uxdv dx 11dxduxv x    Dùng cơng thức tích phân từng phần 222200001ln 1 1 ln 1 3ln 3 3ln 3 2.1          xBxdxxxdxxxVậy: 20 2 ln 1 3ln 3 2.    IxxdxVí dụ 2: Biết rằng tích phân 1 x 0(2x 1)e dx a be, a, b       Giá trị ab bằngA 1 B 1. C 15. D 20.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặt u (2x 1)  du 2dxxxdv e dx  v e1 1 111xxxxx00000(2x 1)e dx  (2x 1)e 2 e dx (2x 1) e  2 e  e 1.Ví dụ 3: Tìm số thực m 1 thỏa mãn m1ln x 1 dx m. A m 2e. B m e. C m e  2 D m e 1. Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN Bmmm111A ln x 1 dx ln xdxdxm1Iln xdxĐặt1u ln x du dxxdv dxv x      mm11I x ln x dx  m1m eA x ln x m ln m m m 0     

Ví dụ 4: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số   f x  ex

x trên khoảng 0;  và 3 31d exIxx

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Hỗ Trợ Tài Liệu

Trang 30

A I F 3 F 1 B I F 6 F 3 C I F 9 F 3 D I F 4 F 2 Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CXét331dxeIxxĐặt t3xdt3d x Đổi cận: x   , 1 t 3 x   3 t 9Suy ra 9 9  9   3333 1 d d 9 3 3 et et   IttF tFFttVí dụ 5: Đặt1 ln d ,ekkIx

xk nguyên dương Ta có Ik   khi:e 2

A k 1;2 B k 2;3 C k 4;1 D k 3;4 Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặt1lnkududxxxdv dxv x          11.ln + d 1 ln 1eekkIxxekx         Ik  e 2 1 ln 1 2 ln 3 ln 1 21 1eekekkee          

Do k nguyên dương nên k 1;2

Trang 31

A 47.12 B 5 .12 C 11.4 D 21.14Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặt2dxuxdu dx; dvsin x  , chọn v cot x.Vậy 3 3 3 3 3244444xcos x

Idxx cos xcot xdxx cos xdx

sin xsin x     3 49 4 3 1 3x cot x ln sin xln3622      9 4 3147a; bA.36212  Ví dụ 8: Cho tích phân 4 22 0Ix tan xdx abc ln 2, a, b,c.     Giá trị A32a4b2c bằngA 3 B 2 C 1. D 1.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CTính 4 20x tan x 1 dxĐặt u x du dx; dvtan x 1 dx2  , chọn v tan x.Vậy 4  442 4 400000sin xx tan x 1 dxx tan xtan xdxx tan xdx

cos x4 400x tan xln cos x  Do đó: 4  2 4 220 0x2

Ix tan xdxx tan x ln cos xln

24232       21ln 23242   111a; b; cA1.3242     Ví dụ 9: Cho tích phân 3 236ln sin x 3Idx a lnb cos x4  

 Giá trị Alog3alog6b bằng

Trang 32

ĐÁP ÁN CĐặt  cos xu ln sin xdudxsin x ;2dxdvcos x , chọn v tan x Vậy 3  332666ln sin xIdxtan x ln sin xdxcos x   333133 lnln3 ln22232 4 6           11a3; bA.62    Ví dụ 10: Cho tích phân 2   11Icos ln x dx sin a cos b

2 Giá trị A e 5a e bằng2bA 28 B 35 C 27 D 32.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặt ucos ln x  du sin ln x dx; dv dxx , chọn v x.Vậy 2   2 2  111

Icos ln x dxx cos ln xsin ln x dx.

* Tính 1 2  1Isin ln x dxĐặt   dxu sin ln xdu cos ln x; dv dxx , chọn v x    2221 111

Isin ln x dxx sin ln xcos ln x dx

 

Vậy 2   2  2 2  

11

11

Icos ln x dx x cos ln xx sin ln xcos ln x dx

   

2

22

11

1

2I2 cos ln x dx x cos ln xx sin ln x

  

Vậy 2    

1

1

Trang 33

eee111d x ln x 1ln x 1dxln x ln x 1ln a ln a 1x ln x 1x ln x 1        .A 1 ln a ln a 1 1 ln a ln a 1    .Ví dụ 12: Giá trị tích phân    2e1a x1 ln xIdx, a0x bằngA. e2 1 2a.4 B. e2 1 2a.4 C. e2 1 2a.4 D. e2 1 2a.4 Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CTa có: e  2  e e111a x1 ln x a ln xIdxx ln xdxdxxx   Xét   e2ee111a ln xa ln xaAdxa ln xd ln xx22   Xét e1Bx ln xdx.Đặt 2dxduu ln x xdvxdx xv2      e e ee22221 111xxxxe1Bln xdxln x.222444       Vậy I e2 1 2a.4 3 Bài tập rèn luyện tốc độCâu 1: Biết 2 xx420e 2x e dx a.e  b.e c

 với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị S a b c bằng  

A S 2. B S  4 C S  2 D S 4.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DTa có 2  2 2 2x 2 2 x 2xx2xxxx000 0 00e e 1I e 2x e dx e dx 2x.e dx 2 xe dx 2 xe dx.2 2 2          Đặt  4 2 2xxxx 004 2 2 42x200u x du dx e 1I 2x.e 2 e dx2 2dv e dx v ee 1 e 32x.e 2e 2e2 2 2 2                 1 3a ;cS a b c 4.2 2b 2        

Câu 2: Tìm a sao cho

Trang 34

A 1 B 0 C 4 D 2.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN DTa có:ax20Ix.e dx Đặt xx22u x du dxdv e dx v 2.e        a a axxaxa22222000

I 2x.e 2 e dx 2ae 4.e 2 a 2 e 4

        Theo đề ra ta có: I 4 2 a 2 e   a2    4 4 a 2.Câu 3: Tìm m để 1 0 e x m dx ex A m 0. B m e. C m 1. D m e.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CĐặtxx1111xxxx0000u x m du dxdv e dx v eI e x m dx e x m e dx e x m 1 me m 1                 Mặt khác: I e me m 1 e   m e 1      e 1 m 1.Câu 4: Cho21(1 ln ) ln ,( , , ).x  x dx a b c a b c  

  Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Trang 35

A  40I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx.0    B  40I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx.0   C  401 1I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx.2 0 2     D  401 1I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx.2 0 2    Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN CĐặt  40du dxu x 1 1 1I x 1 cos 2x 4 cos 2xdx1dv sin 2xdx v cos 2x 2 0 22             Câu 6: Tích phân 40d ln 2,1 cos 2   xx abx với a, b là các số thực Giá trị 16a8 bA 4 B 5 C 2 D 3.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN AĐặtd dd 1d tan1 cos 2 2u xuxxvvxx         Ta có401 1tan 4 tan d2 201 1 1 1 1 1ln cos 4 ln ln 2 , 8 2 0 8 2 2 8 4 8 4          Ixxx xxab  Do đó, 16a8b4.

Câu 7: Kết quả tích phân 10

2 3 xd

I  x e x được viết dưới dạng I ae b  với a, b là các số hữu tỉ.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 36

Câu 8: Xét tích phân 1 2  20

2 4 xd

I  x  ex Nếu đặt u2x24, v e2 x, ta được tích phân11 200( ) 2 xdI  x  xex, trong đó:A  x 2x24e2x B  x x22e2x.C   2 2   xxxe D   1 2 2 4 2  xxxeHướng dẫn giảiĐÁP ÁN BĐặt222d 4 d2 41d d2xxux xuxvev ex      Khi đó 1 2  2  2  2 1 1 20002 4 xd 2 x 2 xdI  x  ex x  e  xex.

Câu 9: Giả sử tích phân 1 20170

.ln 2 1 d   ln 3.

xxx ab

c Với phân sốb

c tối giản Giá trị b c bằng

Trang 37

 111000101 110 01 1.                  x  xx  xxxIe x m dxx m d ex m ee dxx m eeme mI eme mem

Câu 11: Biết kết quả của tích phân 2

21

I x 1 ln xdx được viết dưới dạng a ln 4 b

c

(a, b, c là các sốnguyên) Khi đó a+b+c bằng

A 17 B 10 C 13 D 28.hướng dẫn giảiĐAP AN DĐặt 2  32223 2 3331111dxduu ln x xdv x 1 dx xv x3x x x xI x ln x 1 dx x ln x x3 3 3 9                                   a 63ln 4 2 6ln 4 4I b 4 a b c 28.9 18c 18          

Câu 12: Cho tích phân







2   

0

I2 sin 2x cos x ln 1 sin x dx a ln 2 b a, b Giá trị 1 33

Sab3 bằngA 1 B 2 C 3 D 4.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN C 2  22  2 000

Icos x ln 1 sin x dx1 sin x ln 1 sin xcos xdx 2 ln 2 1.Vậy     1 33

I2 ln 2 1a2; b 1Sab3

3

Trang 38

        3312222003 32 200xsin x dx x sin xIdx II

cos xcos xcos x

11Id cos xcos xcos xĐặt    12xuxdx dudxdvvtan xcos xSuy ra 3  3 1100Ix tan xxtan xdxx x1.   

Câu 14: Biết tích phân sau  2 

20sin ln 1 3 1         aIxbx dxx  Giá trị S a 5b bằng5A 300 B 200 C 275 D 135.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN C     2  2 000aaxIxb sin x dxdxbx sin xdxx1x1 Tính       2221 2 2000d x1axaaaIdxln x1ln1222x1x1 Tính 20Ibx sin xdx.Đặt     x udu dxb sin xdx dvvb cos x      2 0 00

Ibx cos xb cos xdxb3sin xb Vậy a     2      2  

Iln1bln13a2; b 3

2

Suy ra: S 275.

Trang 39

11 1000xdxdxxln x 1ln 2.x 1x 1                 Do đó I 1    ln 2.

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối1 Phương pháp

Bài tốn: Tính tích phân  d

b

a

I g x x

( với g x( )là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

PP chung:

Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên  a b;

Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)Tính mỗi tích phân thành phần.Đặc biệt: Tính tích phân ( ) dbaI  f x xCách giảiCách 1:

+) Cho f x( ) 0 tìm nghiệm trên  a b;

+) Xét dấu của f x( ) trên  a b; , dựa vào dấu của f x( ) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sửdụng tính chất 3 để tách)

+) Tính mỗi tích phân thành phần.

Cách 2:

+) Cho ( ) 0f x  tìm nghiệm trên  a b; giả sử các nghiệm đó là x x1; ; 2 xn

Trang 40

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năngVí dụ 1: 2 21aaSxx 2 dx, a, b,bb

    là phân số tối giản Giá trị a b bằng

A 11 B 25 C 100 D 50.Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN A 222322211 1xxSxx 2 dxxx 2 dx2x32841194232322                 Ví dụ 2:  *0I1 sin 2xdx a a , a.

  Hỏi a3 là bao nhiêu?

A 27 B 64 C 125 D 8.

Hướng dẫn giảiĐÁP ÁN D

Ta có: 2

1 sin 2xsin x cos xsin x cos x2 sin x.

4    Với x0;x;3 .44 4             + Với x; 044       thì sin x 4 0  + Với x0;344      thì sin x04  404I2 sin xdx2 sin xdx2 2.44            Ví dụ 3: Biết512 2 1d 4 ln 2 ln 5,  x   Ixab

xvới a , b là các số nguyên Giá trị S a b bằng 