CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY G SỬ DỤNG TÍNH VUÔNG GÓC Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông ABCD Gọi là trung điểm c[.]
G SỬ DỤNG TÍNH VNG GĨC Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M 1;3 trung điểm 1 cạnh BC, N ; điểm cạnh AC cho AN AC Xác định tọa độ đỉnh hình 2 x y vuông ABCD, biết D nằm đường thẳng Định hướng: -Phát chứng minh DN MN -Viết phương trình DN Tìm tọa độ điểm D -Giả sử A m; n , từ AC AN C -Từ AB DC B -Từ giả thiết điểm M(1;3) trung điểm BC , tìm nghiệm m,n Lời giải: Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm F trung điểm đoạn DI Khi tứ giác FNMC hình bình hành F trực tâm tam giác NDC nên CF DN Mà CF / / MN nên DN MN Phương trình đường thẳng DN : x y 0 x y 0 x 1 D 1; Tọa độ điểm D nghiệm hệ x y 0 y Giả sử A m; n , từ AC 4 AN C 3m; 3n Từ AB DC B 2m;4 2n 13 5m n ; Suy tọa độ điểm M M 2 13 5m 2 Từ ta có 6 5n 6 m A 3;0 , B 1;4 , C 3;2 n 0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x y 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x y 0 Gọi H hình chiếu B xuống http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 2 AC Biết điểm M ; , K 9;2 trung điểm AH CD Xác định tọa độ đỉnh 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm C có tung độ dương Định hướng: -Phát chứng minh MK MB -Viết phương trình đường thẳng BM Suy tọa độ điểm B -Giả sử C c; c , Từ BC KC 0 c -Viết phương trình đường thẳng BH , MC Suy tọa độ điểm H A Từ tìm D Lời giải: Gọi E trung điểm HB Lúc tứ giác MECK hình bình hành E trung trực tam giác BMC nên CE MB Mà MK / / CE MK MB Phương trình đường thẳng BM : x y 85 9 x y 85 B 1;4 Tọa độ điểm B nghiệm hệ 2 x y Giả sử C c; c , c 9 C 9;4 Từ BC KC 0 c 2c 0 c 4 C 4; 1 lo¹i Phương trình đường thẳng BH : x y 6 Phương trình đường thẳng MC : x y 1 2 x y 6 13 H ; A 1; Từ tìm D 9;0 Tọa độ điểm H nghiệm hệ x y 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD có đỉnh D 2; CD 2 AB Gọi H hình chiếu vng góc điểm D lên đường chéo AC Điểm 22 14 M ; trung điểm HC Xác định tọa độ đỉnh A, B, C , biết đỉnh B thuộc đường 5 thẳng : x y 0 Định hướng: -Phát chứng minh BM DM Viết phương trình BM, suy B -Gọi I giao điểm AC BD http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Ta có AB IB DI IB I CD IC -Viết phương trình đường thẳng AC ; DH H C -Từ CI IA A Lời giải: Gọi E trung điểm đoạn DH Khi tứ giác ABME hình bình hành ME AD nên E trực tâm tam giác ADM Suy AE DM mà AE / / BM DM BM Phương trình đường thẳng BM : x y 16 x y B 4; Tọa độ điểm B nghiệm hệ 3 x y 16 Gọi I giao điểm AC BD Ta có AB IB 10 10 DI 2 IB I ; CD IC 3 Phương trình đường thẳng AC : x y 10 ; Phương trình đường thẳng DH : x y 2 14 18 Suy tọa độ điểm H ; C 6;2 5 Từ CI 2 IA A 2; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A 1;3 Gọi D điểm 1 3 cạnh AB cho AB 3 AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm M ; 2 2 trung điểm đoạn HC Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm đường thẳng x y 0 Định hướng: -Phát chứng minh BM DM Viết phương trình BM, suy B -Từ AB 3 AD D -Viết phương trình đường thẳng CD , BH Suy tọa độ điểm H C Lời giải: Gọi N , I giao điểm đường thẳng qua B vng góc với BC với đường thẳng CD CA http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Do tam giác IBC vuông B AB AC A trung điểm đoạn IC , suy D trọng tâm tam giác IBC Do AN / / BC Gọi E trung điểm BH , E trực tâm tam giác NBM tứ giác NAME hình bình hành nên từ NE BM AM BM x y B 4; Đường thẳng BM có phương trình x y 5 Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 5 Từ AB 3 AD D 2;1 Lúc ta có phương trình đường thẳng CD : x y 1; BH : x y Suy tọa độ điểm H 1; Suy C 2; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có đỉnh A 1; Gọi N trung 19 điểm cạnh AD; điểm H ; hình chiếu vng góc B lên CN Xác định tọa độ 5 đỉnh lại hình vng, biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng x y 0 Định hướng: -Phát chứng minh AH MH -Viết phương trình đường thẳng HM M -Viết phương trình đường thẳng CH -Gọi N trung điểm AD, từ N CH N n;6 2n Lại có AN MN 0 n N D -Từ AB NM B C Lời giải: Tứ giác NHMB nội tiếp Tứ giác ABMN hình chữ nhật Suy Mà hay tứ giác ABMH nội tiếp hay AH MH http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Phương trình đường thẳng HM : x y 20 Tọa độ điểm M nghiệm hệ 4 x y 20 M 2; x y Do CH / / AM nên phương trình đường thẳng CH : x y 6 Gọi N trung điểm AD, từ N CH N n;6 2n n 2 N 2;2 Lại có AN MN 0 19 19 n N ; H lo¹i Suy D 5;2 Từ AB NM B 1; , C 5; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x y 0 A 4;8 Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N 5; Định hướng: Phát chứng minh AN CN Viết phương trình đường thẳng CN Suy tọa độ điểm C -Do tứ giác ADMC hình bình hành, nên AC / / DM mà BN DM BN AC Viết phương trình đường thẳng BN Suy điểm B giao điểm BN với đường tròn tâm I bán kính R IA Lời giải Do tứ giác DBCN nội tiếp, nên , mà giác ABCD hình chữ nhật) Suy nội tiếp (do tứ tứ giác ABCN hay AN CN Đường thẳng CN có phương trình x y 31 3 x y 31 C 1; Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x y Do tứ giác ADMC hình bình hành, nên AC / / DM mà BN DM BN AC Đường thẳng BN có phương trình x y 17 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Điểm B giao điểm BN với đường trịn tâm bán kính R IA 10 , nên tọa độ điểm B nghiệm hệ x 5 B N lo¹i x y 17 y 2 3 1 125 x x y B 4; 2 2 y Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD (vng A B) có 13 BC 2 AD Điểm H ; hình chiếu vng góc điểm B lên cạnh CD Xác định tọa độ 5 đỉnh B D hình thang, biết điểm A 3;1 trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng x y 0 Định hướng: -Phát chứng minh AH MH Viết phương trình đường thẳng MH , suy tọa độ điểm M -Viết phương trình đường thẳng DC Giả sử D d; d , từ AD.MD 0 d D -Từ AD MC C B Lời giải: Tứ giác BDHM nội tiếp nên Tứ giác ABMD hình chữ nhật nên Suy hay tứ giác AHMB nội tiếp, mà Hay AH MH 7 x y 20 M 3; Phương trình đường thẳng MH : x y 20 Tọa độ điểm M nghiệm hệ x y 1 Đường thẳng DC qua H song song với AM nên có phương trình DC : x y 8 d 3 D 1;3 Giả sử D d; d , từ AD MD 0 13 d D ; H lo¹i 5 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Lại có AD MC C 5;1 , từ suy B 1; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A; D trung điểm đoạn AB 11 13 Biết I ; , E ; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam 3 3 giác ADC; điểm M 3; 1 , N 3;0 thuộc đường thẳng DC, AB Tìm tọa độ điểm A, B, C biết A có tung độ dương Định hướng: -Phát chứng minh DG IE -Viết phương trình đường thẳng DC ,tham số hóa tọa độ điểm D, từ DN DI DN DI 0 D -Viết phương trình đường thẳng AB,AI Suy tọa độ điểm A Từ D trung điểm AB suy B -Viết phương trình đường thẳng BC Suy tọa độ trung điểm H BC , suy C Lời giải: Do DK đường trung bình tam giác ABC, nên DK//BC Gọi G giao điểm AI CD, lúc AI BC AI DK AI DE GE / / AD EG DI Lại có ID AB Từ suy G trực tâm tam giác DEI hay DG IE Đường thẳng DC qua M vng góc với IE nên có phương trình x 3 d 3 Giả sử D 3; d , từ DN DI DN DI 0 d +) Với d 3 D 3;3 Phương trình đường thẳng AB x y 0 Đường thẳng AI qua I vng góc với DE nên có phương trình x y 2 x y A 7;5 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Từ D trung điểm AB suy B 1;1 Đường thẳng BC qua B vng góc với AI nên có phương trình x y 0 Tọa độ trung điểm H BC x y 0 H 1; 1 C 3; nghiệm hệ x y 2 +) Với d 4 D 3; , tương tự trường hợp cho ta tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 3 2 x y 12 x 27 y 89 107 x lo¹i y 125 27 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C : x y 25 , đường thẳng AC qua điểm K 2;1 Gọi M, N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng MN x y 10 0 điểm A có hồnh độ âm Định hướng: -Phát chứng minh OA MN -Viết phương trình đường thẳng OA A -Viết phương trình đường thẳng AC C -Tìm tọa độ điểm M, viết phương trình đường thẳng BM B Lời giải: Gọi I, J giao điểm BM, CN với đường tròn C Do tứ giác BCMN nội tiếp nên MBC , lại có CJI CNM IBC (cùng chắn cung IC) CJI CNM MN / / IJ ACI ABI JCA JBA ICA AI AJ AO JI Lại có JBA ABI JCA Từ ta có: +) Phương trình đường thẳng OA : x y 0 3 x y 0 +) Tọa độ điểm A nghiệm hệ 2 x y 25 A 4;3 A 4; lo¹i http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word +) Phương trình đường thẳng AC : x y 0 x y 0 Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x y 25 C 4; A lo¹i C 5;0 4 x y 10 0 M 1;2 +) Tọa độ điểm M nghiệm hệ x y 0 +) Phương trình đường thẳng BM : x y 0 3 x y 0 Tọa độ điểm B nghiệm hệ 2 x y 25 B 4;3 A lo¹i B 3;4 Vậy A 4;3 , B 3; , C 5;0 Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A 3;1 , đỉnh C nằm đường thẳng : x y 0 Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE CD , biết N 6; hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD Định hướng: -Phát chứng minh AN CN -Tham số hóa tọa độ C 2c 5; c , từ AN CN 0 c C -Tứ giác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE Viết phương trình đường thẳng NE Tham số hóa tọa độ B, ta có AB.CB 0 b Từ dễ dàng suy D Lời giải: Tứ giác ADBN nội tiếp AND ABD ABD ACD (do ABCD hình chữ nhật) Suy AND ACD hay tứ giác ANCD nội tiếp đường tròn, mà ADC 900 ANC 900 AN CN Giả sử C 2c 5; c , từ AN CN 0 2c c 0 c 1 C 7;1 Tứ giác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE Đường thẳng NE qua N song song với AC nên có phương trình y 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word b 6 B N lo¹i B b ; A B C B b b 12 , ta có Giả sử b B 2; Từ dễ dàng suy D 6; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có (AB M(-1;0) y 0 D thuộc BD: x y 0 nên D(t;1-t) Ta có AD ( t 1; t ), MD ( t 1;1 t ) Vì tam giác ADH vuông D nên t 1 D(1;0) AD MD 0 ( t 1)( t 1) ( t )(1 t ) 0 2t2 0 t D( 1;2) TH1: D(1;0) Vì M trung điểm HD suy H(-3;0) AH ( 4; 2) Đường thẳng BC qua H có vectơ pháp tuyến AH ( 4; 2) nên có phương trình -4( x + 3) – 2(y - 0) = 2x+y+6=0 2 x y 0 x B giao BD BC nên tọa độ B nghiệm hệ => B(-7;8) Vì H x y 0 y 8 trung điểm BC nên suy C(1;-8) TH2: D(-1;2) Vì M trung điểm HD suy H(-1;-2 ) AH ( 2; 4) Đường thẳng BC qua H có vectơ pháp tuyến AH ( 2; 4) nên có phương trình -2( x + 1) – 4(y + 2) = x+2y+ 5=0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word x y 0 B giao BD BC nên tọa độ B nghiệm hệ x y 0 trung điểm BC nên suy C(-9; 2) x 7 => B(7;-6) Vì H y Vậy: C(1;-8), B(-7;8) B(7;-6), C(-9;2) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phân giác góc A d : x 0 Gọi E F hình chiếu B C lên d Đường thẳng AB qua M(-2;-1), C nằm đường thẳng d ' : x y 0 Giả sử BF CE cắt K( - ; 5) Xác định tọa độ điểm B Định hướng: Từ trực quan hình vẽ ta dự đốn chứng minh AK vng góc với AD Xác định tọa độ điểm A hình chiếu A phân giác AD Viết phương trình đường thẳng AB qua A M Dựa vào tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm N đối xứng với M qua AD, AC qua A C nên ta lập phương trình AC Lấy tọa độ C giao AC d’ Tiếp theo ta xác định tọa độ điểm F, viết phương trình đường BF qua F K Cuối ta xác định tọa độ điểm B giao BF AB K A E B D C F Lời giải Gọi D chân đường phân giác kẻ từ A tam giác ABC Ta có BE // CF nên Mà tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF (góc- góc) nên KB BE DB (1) KF CF DC BE AE AB (2) Mặt khác D chân CF AF AC http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word đường phân giác nên ta có AB BE KB AE (3) Từ (1), (2) (3) ta suy Suy AK // BE Suy AC CF KF AF AK AD Đường thẳng AK qua K nhận vectơ phương u(0;1) AD làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y – = A giao AK AD nên A(1 ; 5) Đường thẳng AB qua A M nên có phương trình x y 1 x y 0 1 Gọi N(a ; b) điểm đối xứng với M qua AD Khi N thuộc AC a b 1 ; Ta có MN ( a 2; b 1) trung điểm MN I MN u 0 Vì M đối xứng với N qua AD nên I AD AC qua A N nên có phương trình b 0 a 4 N (4; 1) a b 0 x y x y 0 1 2 x y 0 C giao Ac d’ nên tọa độ C nghiệm hệ x y 0 x 5 Suy C(5 ; -3) y CF qua C song song với AK nên có phương trình y + = F giao AD CF nên F(1 ; -3) Suy FK : x 3 y x y 0 13 2 x y 0 x Vậy B(-1 ; 1) B giao AB FK nên tọa độ B nghiệm hệ 2 x y 0 y 1 Bài 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC ( AB I trung điểm BH Vì H trực tâm tam giác nhọn ABC nên IBK PCK 90 o (1) Tam giác AKC vuông K , P trung điểm AC nên PK PC PA PCK (2) PKC Lại có IBK (3) IKB Từ (1), (2) (3) => IKB PKC 90 o IKP 90 o => PK IP2 IK (7 2)2 (5 0)2 3 Đường trịn (S) đường kính AC có tâm P bán kính PK nên có phương trình ( x 7)2 ( y 5)2 45 D K giao (T) (S) nên có tọa độ thỏa mãn hệ ( x 2)2 y2 5 x 4, y x y 3 Vì D có hồnh độ lớn nên D(4; -1), K(1;2) 2 2 ( x 7) ( y 5) 45 ( x 2) y 5 x 1, y 2 Đường thẳng BC qua K Q nên có phương trình x – 1= x 1, y 2 C K ( loai) x 0 Tọa độ C thỏa mãn hệ 2 ( x 7) ( y 5) 45 x 1, y 8 C(1;8) Mà P trung điểm AC nên A(13; 2) AC qua D A nên có phương trình x y 1 x y 0 13 x 0 B giao AC BC nên tọa độ B nghiệm hệ x y 0 x 1 B(1; 2) y Vậy A(13; 2), B(1; -2), C(1; 8) Bài 58 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I M điểm nằm 11 đường tròn (I) không trùng với A, B, C Biết H (1;4), K ; hình chiếu M lên đường 5 thẳng AB, AC; phương trình BC x + y - = khoảng cách từ M đến BC 2 Tìm tọa độ điểm A Định hướng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word ... -Phát chứng minh BM DM Viết phương trình BM, suy B -G? ?i I giao ? ?i? ??m AC BD http://dethithpt.com – Website chuyên t? ?i liệu, đề thi file word Ta có AB IB DI IB I CD IC -Viết phương trình... (T) Tiếp theo viết phương trình đường thẳng AC, BC(? ?i qua hai ? ?i? ??m biết tọa độ) Từ gi? ?i hệ giao ? ?i? ??m BC, AC v? ?i (T) ta suy tọa độ A, B ABC sd AC (1) L? ?i gi? ?i: G? ?i Cx tiếp tuyến v? ?i (T)... độ ? ?i? ??m M, viết phương trình đường thẳng BM B L? ?i gi? ?i: G? ?i I, J giao ? ?i? ??m BM, CN v? ?i đường tròn C Do tứ giác BCMN n? ?i tiếp nên MBC , l? ?i có CJI CNM IBC (cùng chắn cung IC)