CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY C KĨ THUẬT ĐIỂM ĐỐI XỨNG Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật ABCD có là giao điểm củ[.]
C KĨ THUẬT ĐIỂM ĐỐI XỨNG Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có I 6;2 giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M 1;5 thuộc đường thẳng AB Trung điểm E cạnh CD nằm đường thẳng x y 0 Viết phương trình đường thẳng AB Định hướng: -Khai thác tính chất hình chữ nhật có tọa độ tâm đối xứng I Nên sử dụng phép đối xứng tâm -Giả thiết toán cho tọa độ điểm M AB , trung điểm E CD thuộc đường thẳng cho trước nên tham số hóa tọa độ điểm E , suy tọa độ điểm F đối xứng với E qua I - Sử dụng MF IE 0 E Viết phương trình AB Lời giải Giả sử E e;5 e Gọi F điểm đối xứng E qua I, suy điểm F trung điểm AB F 12 e; e 1 e 6 Ta có IE MF IE.MF 0 e 14 2e 0 e 7 +) Nếu e 6 F 6;5 Đường thẳng AB qua hai điểm M F nên có phương trình y 5 +) Nếu e 7 F 4;6 Đường thẳng AB lúc có phương trình x y 19 0 Vậy AB : y - = AB : x - 4y + 19 = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có BC 4 , đường thẳng 5 18 AB AC qua điểm M 1; N 0; Xác định tọa độ đỉnh tam giác 3 x y ABC, biết đường cao AH có phương trình điểm B có hồnh độ dương Định hướng: -Khai thác tính chất tam giác ABC cân A có trục đối xứng AH -Viết phương trình AH , tìm N1 đối xứng với N qua AH http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word -Viết phương trình AB A AB AH -Tham số hóa B , từ d B ; AH BC B Lời giải Phương trình đường thẳng qua N vng góc với AH x y 18 18 16 x y I ; Giao điểm I AH với nghiệm hệ 7 x y 2 Gọi N1 giao AB, suy N1 ;2 Đường thẳng AB qua hai điểm M N1 nên có phương trình x y 2 7 x y 2 A 1;3 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 2 4b 7b 2 Giả sử B b; , lúc d B; AH BC 2 b 2 B 2; b lo¹i Phương trình đường thẳng BC : x y 6 x y 6 H 4; C 6;0 Tọa độ điểm H nghiệm hệ x y 2 Vậy A -1; , B 2;-4 ,C 6; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y 0 Đường cao kẻ từ B có phương trình x y 0 ; điểm M 1;1 thuộc đường cao kẻ từ C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: Tương tự tốn ta có hướng giải: -Tìm B BE -Gọi M1 đối xứng với M qua đường cao AH M1 BE -Tìm tọa độ điểm M1 I AH Viết phương trình AH , tìm H AH BC C http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Lời giải x y B 3; Tọa độ điểm B nghiệm hệ 2 x y 2 Gọi M1 điểm đối xứng M qua đường cao AN, suy M1 BE Đường thẳng qua M song song với BC có phương trình x y 3 x y M1 4; Tọa độ điểm M1 nghiệm hệ phương trình 2 x y 3 5 Suy trung điểm I đoạn MM1 có tọa độ I ; 2 2 Đường cao AN qua I vng góc với BC nên có phương trình x y 13 2 x y 2 21 11 6 2 Tọa độ điểm N nghiệm hệ Do C ; 13 N ; 10 5 5 x y Đường thẳng AC qua C vng góc với đường cao BE nên có phương trình x y Suy tọa độ điểm A x y A 33 ; 49 nghiệm hệ 10 10 x y 13 33 49 2 , B 3;-4 ,C ;- Vậy A - ; 10 10 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x y 0 d2 : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết A thuộc d1 , C thuộc d2 B, D thuộc trục hoành Định hướng: -Nhận xét hình vng có tâm đối xứng có đường chéo trục đối xứng -Tham số hóa A C đối xứng với A qua BD -Từ C d2 suy A ,C tâm I - Tham số hóa B , D Từ IB ID 1 B , D Lời giải Giả sử A t;t Vì A C đối xứng qua BD B, D Ox nên C t; t http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Vì C d2 nên 2t t 0 t 1 Suy A 1;1 , C 1; 1 Trung điểm AC I 1;0 , I tâm hình vng nên IB IA 1 ID IA 1 B Ox Đồng thời D Ox b 1 B b;0 D d;0 d 1 b 0, b 2 d 0, d 2 Suy B 0;0 , D 2;0 B 2;0 , D 0;0 Vậy A 1;1 ,B 0; ,C 1;-1 , D 2; A 1;1 , B 2; ,C 1;-1 , D 0; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A 17 H ; , chân đường phân giác góc A D 5;3 trung điểm cạnh AB M 0;1 Tìm 5 tọa độ đỉnh C Định hướng: -Phát tính chất đường phân giác AD trục đối xứng BAC Gọi N điểm đối xứng M qua AD Suy N AC -Viết phương trình AH , tham số hóa tọa độ điểm A Sử dụng MA MH A -Viết phương trình AD , tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua AD -Viết phương trình AC , BC C AC BC Lời giải Ta có H AH AH HD AH : x y 0 2 Giả sử A 2a; a , từ MA MH 2a a 1 13 a 3 A 3;3 17 a A ; H lo¹i http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Phương trình đường thẳng AD : y 0 Gọi N điểm đối xứng M qua AD Suy N AC tọa độ 1 y 0 N 0;5 điểm N nghiệm hệ 1.x y 1 0 Đường thẳng AC có phương trình x y 15 0 Phương trình đường thẳng BC: x y 0 2 x y 15 0 C 9;11 Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x y 0 Kết luận C 9;11 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H 1; 1 , đường phân giác góc A có phương trình x y 0 đường cao kẻ từ B có phương trình x y 0 Định hướng: Vì H thuộc AB nên điểm K đối xứng với H qua phân giác AD thuộc AC Ta xác định tọa độ điểm K, kết hợp với phương trình đường cao BE Ta viết đường thẳng AC Sau xác định tọa độ điểm A giao AD AC Viết phương trình đường cao CH qua H vng góc với AH Xác đinh tọa độ điểm C giao CH AC Lời giải Gọi K(a;b) điểm đói xứng với H qua AD Khi HK ( a 1; b 1) a b 1 ; trung điểm đoạn HK có tọa độ HK AD Ta có: a b ; x y 0 1( a 1) 1( b 1) 0 a ( a 1) ( b 1) b 1 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Đường thẳng AC qua K 3;1 vng góc với đường thẳng x y 0 có vectơ pháp tuyến n(3; 4) nên AC có phương trình là: x y 1 0 x y 13 0 3 x y 13 0 x 5 A giao AC AD nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x y 0 y 7 Đường thẳng HC qua điểm H(-1; -1) nhận AH ( 6; 8) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: x 1 y 1 0 x y 0 3 x y 0 C giao HC AC nên tọa độ điểm C nghiệm hệ 3 x y 0 10 x y 3 10 Vậy C - ; 4 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có AB : x y 0, BC : x y 0 Phương trình đường phân giác góc A x y 0 Tìm toạ độ điểm C Định hướng: Giả thiết cho hai đường cắt B hai đường cắt A nên ta xác định tọa độ điểm A, B Sử dụng yếu tố phân giác cách lấy E đối xứng B qua phân giác AD ta xác định tọa độ điểm E Tiếp theo viết phương trình AC, xác định tọa độ C giao BC AC Lời giải A giao phân giác AD AB nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình 5 x y 0 x y 0 x Suy A 3; y 4 5 x y 0 x B giao điểm AB BC nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình x y 0 y Suy B(-1; -1) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Gọi E(a; b) điểm đối xứng B qua phân giác AD Khi BE( a 1; b 1) tọa độ trung điểm BE a b 1 ; Ta có BE AD trung điểm BE nằm AD nên ta có hệ phương trình ( a 1)1 ( b 1)( 1) 0 a b 2 Suy E(2; 2) a b 0 Đường thẳng AC có vectơ phương AE (5; 2) nên có vectơ pháp tuyến n (2;5) mà E thuộc AC nên AC : x y 0 x y 14 0 2 x y 14 0 C giao AC BC nên tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 0 11 x y 4 11 Vậy C ; 3 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B 4;1 , trọng tâm G 1;1 đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x y 0 Tìm toạ độ đỉnh A C Định hướng: Bài toán cho tọa độ điểm B trọng tâm G nên ta tìm tọa độ trung điểm M AC Dựa vào tính chất đường phân giác ta xác điểm E đối xứng đối xứng với B qua phân giác góc A thuộc AC Từ viết phương trình đường thẳng AC qua M E ; xác định tọa độ điểm A kết hợp với M suy C Lời giải Gọi E(a;b) điểm đối xứng với B qua phân giác AD góc A a b 1 ; Khi BE ( e 4; e 1) tọa độ trung điểm BE Vì E đối xứng với B qua AD nên BE vng góc với AD trung điểm BE thuộc AD Từ ta có hệ phương trình 1( a 4) 1( b 1) 0 a b 1 0 a b a b 7 a 2 E(2; 5) b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Gọi M(c ;d) trung điểm AC Ta có BM ( c 4; d 1), BG (5;0) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên BM BG c d 7 c M ;1 2 d 1 3 Đường thẳng AC qua E M nên có vectơ phương EM ;6 Suy AC : 4(x - 2) – (y + 5) = 2 x y 13 0 4 x y 13 0 Mà A AC AD nên tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 x 4 A(4;3) y 3 xC 2 xM x A C(3; 1) M trung điểm đoạn AC suy yC 2 yM yA Vậy A 4;3 C 3; 1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A, đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y 0 , cạnh AC song song với d Đường cao kẻ từ A có phương trình x y 0 , điểm M 1;1 nằm đường thẳng AB Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: Vì tam giác ABC cân A nên đường cao kẻ từ A phân giác góc A ta lấy điểm N đối xứng với M qua đường cao AH ta có N thuộc AC Vận dụng AC song song với d để viết phương trình đường thẳng AC, từ xác định tọa độ A giao AH AC Viết phương trình đường thẳng AB qua A M , từ xác đinh tọa độ B giao AM d Viết phương trình đường thẳng BC Suy tọa độ điểm C Lời giải Gọi N a; b điểm đối xứng với M qua đường cao AH Tam giác ABC cân A nên N thuộc AC a 1 b 1 ; Ta có MN ( a 1; b 1) trung điểm MN có tọa độ Vì N đối xứng với M qua đường 1( a 1) 1( b 1) 0 a N ( 4; 4) cao AH nên a b b 0 AC qua N song song với d nên AC : x y 12 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word A giao điểm AC AH nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình x y 12 0 x y 0 x 0 A(0; 3) y Đường thẳng AB qua A M nên có phương trình x y x y 0 1 x y 0 B giao AB d nên tọa độ B nghiệm hệ 2 x y 0 x 1 B ; 3 y BC qua B vng góc với AH nên nhận vectơ phương u(1; 1) AH làm vectơ pháp tuyến Suy 2 1 BC : x y 0 x y 0 3 3 C giao AC BC nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình x y 0 x y 0 8 x 11 C ; 3 y 11 -1 -8 -11 Vậy A 0;-3 , B ; ,C ; 3 3 3 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC điểm M 0;1 Phương trình đường phân giác góc A đường cao kẻ từ C x y 0, x y 0 Đường thẳng AC qua M AB 2 AM Tìm tọa độ điểm B C Định hướng: Từ giả thiết đường phân giác góc A điểm M đường thẳng AC ta xác định điểm N thuộc đường thẳng AB đối xứng với M qua AD Từ tọa độ điểm N phương trình đường cao CE ta xác định phương trình đường thẳng AB Tọa độ điểm A giao AD AB Viết phương trình đường thẳng AC qua A M; từ xác định tọa độ điểm C Vận dụng giả thiết AB = 2AM = 2AN phương trình AB ta xác định tọa độ điểm B, kiểm tra tính phía B C AD để kết luận Lời giải Gọi D chân đường phân giác góc A, E chân đường đường cao kẻ từ C tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word a b 1 Gọi N(a; b) điểm đối xứng với M qua AD Khi MN ( a; b 1) I ; trung điểm MN 2 1.a 1( b 1) 0 Ta có MN vng góc với AD I thuộc AD nên a b 0 a N ( 1;0) b 0 Vì M thuộc AC nên N thuộc AB Mà AB vuông góc với CE nên AB: 1( x 1) 2( y 0) 0 x y 0 x y 0 x 1 A(1;1) A giao AB AD nên tọa độ A nghiệm hệ x y 0 y 1 AC qua A M nên có phương trình x y x y 0 1 2 2 x y 0 C giao AC CE nên tọa độ C nghiệm hệ 2 x y 0 x C ; 2 y Vì B thuộc AB nên B 2m 1; m Theo đề ta có AB 2 AM m 3 (2m 1)2 ( m 1)2 2 (0 1)2 ( 1)2 m2 10 m 15 0 m Suy B 5; B 3; 1 1 nên B 5; C ; phía AD (loại) Ví (5 3) 2 Vậy B -3;-1 , C - ;-2 Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B 4; , M trung điểm cạnh BC, D giao điểm đường phân giác MAC với BC Biết CB 3CD , đường thẳng AD có phương trình x y 0 , diện tích tam giác ABC hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh A C Định hướng: Phát tính chất AM đối xứng với AC qua AD Gọi E điểm đối xứng C qua AD Từ CD 2 DM D trọng tâm tam giác ACE M trung điểm AE hay tứ giác ACEB hình bình hành Nên từ AD CE AD AB Viết phương trình đường thẳng BA Suy tọa độ điểm A http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 39 đỉnh C có Tham số hóa tọa độ điểm D C Sử dụng SABC 39 C Lời giải Gọi E điểm đối xứng C qua AD Từ CD 2 DM D trọng tâm tam giác ACE M trung điểm AE hay tứ giác ACEB hình bình hành Nên từ AD CE AD AB Phương trình đường thẳng BA : x y x y 5 A 1; 1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ 2 x y 3m 3m 9m ; Giả sử D m; , từ BC 3 DC C Theo ta lại có m 3 39 d C; AB AB SABC m 2 m 5 9 Kết hợp giả thiết C có hồnh độ dương, suy C ; 2 Bình luận: Chúng ta sử dụng chứng minh BA DA sau: Ta có BC 3 DC MC MB 3 MC MD MB MC 3 MD MC 3 MD Do MB MC Theo tính chất đường phân giác suy Mà AM DM AC DC BM BM AM AB phân giác ngồi góc MAC BA DA BC BC AC Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ A phân giác góc B d1 : x y 0, d2 : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết M 0; thuộc đường thẳng AB AB 2 BC http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Định hướng: Sử dụng tính chất phân giác ta xác định tọa độ điểm N AC cho N đối xứng với M qua phân giác góc B từ viết phương trình BC qua N vng góc với đường cao d1 Xác định tọa độ điểm B giao cùa d2 với BC Tiếp theo ta viết phương trình đường thẳng AB qua B M, xác định tọa độ điểm A giao AB d1 Biểu diễn tọa độ điểm C theo tham số kết hợp với AB = 2BC ta xác định tọa độ điểm C Lời giải Gọi N(a ; b) điểm đối xứng với M qua d2 a b2 Khi N thuộc BC, MN ( a; b 2) trung điểm MN có tọa độ ; Vì MN vng góc với d2 2 1.a 1( b 2) 0 a b2 ; d b2 nên ta có hệ a 2 0 a 3 N (3; 1) b Đường thẳng BC qua N nhận vectơ phương u1 (2;1) d1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x 3) 1( y 1) 0 x y 0 2 x y 0 x 2 B(2;1) B giao BC d2 nên có tọa độ nghiệm hệ x y 0 y 1 Đường thẳng AB qua B M nên có phương trình x y x y 0 1 x 3 x y 0 1 A giao AB d1 nên có tọa độ nghiệm hệ A 3; 2 x y 0 y C thuộc đường thẳng BC nên C(c ; 5-2c) Theo đề ta có 7 3 c 4 C ; 1 2 ( c 2)2 (5 c 1)2 9 1 2 c C ; 2 AB 2 BC 2 9 9 1 1 Vì nên C ; A 3; nằm phía so với d2 (loại) 4 2 2 1 3 Vậy A 3; , B 2;1 , C ; 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A, Biết B C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc B d: x + 2y – = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng AC qua K(6;2) Định hướng: Sử dụng tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho M đối xứng với O qua d Vì B thuộc d nên ta biểu diễn tọa độ điểm B theo tham số, kết hợp với O trung điểm BC ta suy tọa độ điểm C theo tham số B Tiếp tục vận dụng quan hệ vng góc CK BM (vì tam giác ABC vuông A) ta giải tọa độ điểm B Suy tọa độ điểm C Viết phương trình đường AB qua B, M AC qua C K ta giải tọa độ A Lời giải Gọi M ( m1 , m2 ) điểm đối xứng với O qua d Khi M thuộc AB m m m m Ta có OM ( m1 ; m2 ) trung điểm OM có tọa độ ; Vì OM vng góc với d ; d 2 2 2m1 m2 0 nên ta có hệ m1 m 2 0 2 m1 2 M (2;4) m2 4 B thuộc d nên B(5-2b ; b) Vì B C đối xứng qua O nên C(2b-5 ; -b) Ta có HB (3 2b; b 4), KC (2b 11; b 2) Vì tam giác ABC vng A nên b 1 B(3;1), C( 3; 1) HB KC 0 (3 2b)(2b 11) ( b 4)( b 2) 0 b2 6b 0 b 5 B( 5;5), C(5; 5) Vì ( 2( 1) 5)(2 2.4 5) C( 3; 1), H (2;4) nằm phía d(loại) Vì (5 2( 5) 5)(2 2.4 5) C(5; 5), H(2;4) nằm khác phía d (thỏa mãn) Đường thẳng AB qua B H nên có phương trình x y x y 30 0 7 Đường thẳng AC qua C K nên có phương trình x y x y 40 0 1 7 x y 30 0 A giao AB AC nên tọa độ A nghiệm hệ 7 x y 40 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 31 x 31 17 A ; 5 y 17 31 17 Vậy A ; , B( 5;5), C(5; 5) 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B(-3; -5), d : x y 0 phân giác góc A Biết đường cao kẻ từ B qua M(4;-6), đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua E(-4; -4) Xác định toạ độ điểm C Định hướng: Sử dụng tính chất phân giác ta xác định tọa độ B1 AC đối xứng với B qua AD Viết phương trình AC qua B1 vng góc BM Từ xác định tọa độ điểm A giao d AC Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua ba điểm biết tọa độ A, B, E Tiếp theo xác định tọa độ C giao AC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: Gọi B1 điểm đối xứng với B qua đường thẳng d Vì d phân giác góc A nên B1 thuộc AC Đường thẳng BB1 qua B nhận vectơ phương ud (1;2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1( x 3) 2( y 5) 0 x y 13 0 1 x x y 13 0 13 39 Tọa độ trung điểm BB1 nghiệm hệ Suy B1 ; 2 x y 0 y 32 Đường thẳng AC qua B1 vng góc với BM nên nhận BM (7; 1) làm vectơ pháp tuyên nên có 13 39 phương trình x y 0 x y 26 0 7 x y 26 0 A giao d AC nên tọa độ A nghiệm hệ 2 x y 0 x 4 suy A(4; 2) y 2 Đường tròn ngoại (T) tiếp tam giác ABC có phương trình dạng x2 y2 2ax 2by c 0( a2 b2 c 0) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word 16 a 4b c 0 (T) qua ba điểm A, B, E nên 16 16 a 8b c 0 9 25 a 10b c 0 a 0 b ( tm) (T): x2 y2 y 24 0 c 24 x2 y2 y 24 0 Điểm C khác A có toạ độ thoả mãn hệ phương trình nên C(3; -5) 7 x y 26 0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường cao CH có phương trình x – y = 2x + y – = Đường thẳng AC qua điểm M(0; -1), biết AB = 3AM Tìm tọa độ đỉnh B, biết B có hồnh độ dương Định hướng: Sử dụng tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm M’ thuộc AB Dựa vào AB vng góc với CH ta viết phương trình AB Từ xác định tọa độ A giao AB AD Tính độ dài AB = 3AM Kết hợp với B thuộc AB ta giải tọa độ điểm B Lời giải: Gọi M’ điểm đối xứng với M qua AD: x – y = Khi M’ thuộc AB M’(-1;0) Do AB CH nên AB nhận vectơ phương uCH (1; 2) làm vectơ pháp tuyến, mà M’ thuộc AB nên AB có phương trình 1( x 1) 2( y 0) 0 x y 0 x y 0 A(1;1) A giao AB AD Tọa độ A nghiệm hệ x y 0 Gọi B(x0;y0), ta có AB 3 AM AB 3 ( x0 1)2 ( y0 1)2 45 x0 7 x0 y0 0 y0 4 Kết hợp với B thuộc AB ta có hệ Vậy B(7; 4) 2 x ( x0 1) ( y0 1) 45 ( loai) y0 Bài 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ B phân giác góc A d : x y 10 0, d' : x y 0 Điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách D khảng Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: Dùng tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ N AC cho N đối xứng với M qua d’ Khi với đường cao kẻ từ B ta xác định phương trình đường thẳng AC, xác định tọa độ A giao d’ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word AC Viết phương trình đường thẳng AB qua A M Kết hợp với đường thẳng d ta xác định tọa độ đỉnh B Biểu diễn tọa độ C theo tham số vận dung CM = Lời giải Ta có u (1;1) vectơ phương d’ để xác định tọa độ điểm C Gọi N(a; b) điểm đối xứng M qua d’ Khi N thuộc AC ; MN ( a; b 2) vng góc với u (1;1) a.1 ( b 2).1 0 a 1 a b2 I ; N (1;1) trung điểm thuộc d’ nên ta có hệ phương trình a b 2 b 1 0 Đường thẳng AC qua N nhận vectơ phương v (4; 3) d làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 4( x 1) 3( y 1) 0 x y 0 4 x y 0 A giao d’ AC nên tọa độ A nghiệm hệ x y 0 Đường thẳng AB qua A M nên có phương trình x 4 A(4;5) y 5 x y x y 0 4 5 x 3 x y 0 1 B giao AB d nên có tọa độ nghiệm hệ B 3; 3 x y 10 0 y 4c C thuộc AC nên C c; Theo đề ta có CM c 1 C(1;1) 2 4c 4c ( c 0) 2 c 2 c 31 C 31 ; 33 25 25 25 1 31 33 Vậy A(4;5), B 3; , C(1;1) A(4;5), B 3; , C ; 25 25 Bài 32 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AC > AB, C(6;0) hai đường thẳng d : x y 10 0, d' : x y 16 0 Biết đường thẳng d chứa phân giác góc A, đường thẳng d' vng góc với cạnh AC ba đường thẳng d, d' trung trực BC đồng quy điểm Tìm tọa độ điểm B Định hướng: Ta xác định tọa độ điểm đồng quy K ba đường đường biết phương trình Nhận thấy AC qua C vng góc với d’ nên ta viết phương trình AC Từ xác định tọa độ A giao d AC Tiếp theo vận dụng tính chất phân giác ta xác định phương trình AB thông qua việc xác định điểm đối xứng với C qua d Biểu diễn tọa độ B theo tham số, kết hợp với KB = KC ta xác định tọa độ điểm B Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Gọi K điểm đồng quy ba đường d, d’, trung trực BC Khi tọa độ K nghiệm hệ 23 x 3 x y 10 0 K 23 ; 2 3 x y 16 0 y 3 Vì AC vng góc với d’ nên nhận vectơ phương u ' (1; 1) d’ làm vectơ pháp tuyến, mà AC qua C nên có phương trình 1(x - 6) – 1(y - 0) = x – y – = 3 x y 10 0 x 2 A(2; 4) A giao d AC nên có tọa độ nghiệm hệ x y 0 y Gọi E(a; b) điểm đối xứng với D qua đường thẳng d Khi CE( a 6; b) trung điểm EC có tọa độ a 6 b ; Ta có CE vng góc với d trung điểm CE nằm d nên ta có hệ phương trình 1( a 6) 3b 0 a6 b 3 10 0 a E 6;8 5 5 b 28 Đường thẳng AB qua A có vectơ phương AE ; nên có phương trình 5 x y 4 x y 10 0 Suy B(m; 10 – 7m) Vì K nằm trung trực BC nên 1 6 8 m B ; E AB AC( loai ) 23 3 23 3 KB KC m 10 7m 6 2 2 2 m B ; 3 3 2 2 2 Vậy B ; 3 3 Bài 45 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với trung tuyến phân giác góc B có phương trình 2x + y – = 0, x + y – = Điểm M(2;1) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính giác ABC Biết đỉnh A có hồnh độ dương, xác định toạ độ đỉnh tam Hướng dẫn: Xác định tọa độ điểm B giao hai đường biết phương trình Sử dụng tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm N BC cho N đối xứng với M qua phân giác góc B Tính góc B, B góc đặc biệt ta xác định vị trí tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, kết hợp với giả thiết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính để tìm thêm mối liên hệ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Lời giải: x y 0 Toạ độ điểm B nghiệm hệ x y 0 x 1 B(1;1) y 1 Gọi N đối xứng với M qua phân giác d2 góc B Khi N thuộc AC trung điểm K MN thuộc d2 MN qua M vng góc với d2 nên có phương trình 1(x - 2) – (y - 1) = x – y – = x y 0 Trung điểm K MN có tọa độ nghiệm hệ x y 0 x 3 1 K ; N(1;0) 2 y 3 Đường thẳng BC qua B N nên có phương trình x – = Đường thẳng AB qua B M có phương trình y – = MB 1;0 , BN 0; 1 MB.BN 0 ABC vuông B 1 a 1c ; Gọi C(1;c), A(a; 1) với a > trung điểm AC I Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính Mặt khác I d1 nên a BI = ( a 1)2 ( c 1)2 20 (1) 1c 0 hay 2a + c – = (2) a ( a 1) ( c 1) 20 a 2a 0 c 5 Từ (1) (2) ta có hệ a 3 2a c 0 c 3 2a ( loai) c 2 Vậy A(3;1), B(1;1), C(1;-3) 2 Bài 59:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T ) : x y 25 1 có A(-1; -1), đường phân giác góc A d : x y 0 biết điểm M ;5 thuộc đường thẳng BC Tìm 2 tọa độ điểm B, C Định hướng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Mấu chốt tốn tháo gỡ tính chất ẩn lấp tốn: d phân giác góc IAH Lời giải: Gọi giao điểm d đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D (D khác A) Ta có D điểm cung BDC Do ID BC ID / / AH HAD IDA IDA nên HAD IAD Suy d đường phân giác góc IAH Mà IAD Ta có (T) có tâm I(2; 3) Vì I khơng thuộc d nên tam giác ABC không cân A Gọi AH đường cao tam giác ABC Gọi K điểm đối xứng I qua d, ta có K thuộc AH Đường thẳng IK qua I nhận vectơ phương ud (1;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1( x 2) 1( y 3) 0 x y 0 x x y 0 Tọa độ trung điểm KI nghiệm hệ suy tọa độ điểm K(3; 2) x y 0 y 5 Từ suy BC: x y 17 0 tọa độ điểm B, C là nghiệm hệ 4 x y 17 0 Suy 2 ( x 2) ( y 3) 25 B(5; 1), C( 1;7) B( 1;7), C(5; 1) Thử lại thấy B C nằm khác phía so vớí d (thỏa mãn ) Bài 01 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 6), B(-3; - 4), C(5; 0) Viết phương trình đường thẳng AB phương trình đường phân giác trong, phân giác ngồi góc A Định hướng: Bài tốn có nhiều cách giải Ở tác giả xin trình bày hướng đi(các cách khác bạn đọc tự làm nhé) Trên tia AC ta lấy điểm B’ cho AB’ = AB tam giác ABB’ cân A nên phân giác góc A vng góc với BB’ Từ suy phương trình đương phân giác góc A Lời giải Ta có AB ( 5; 10), AC (3; 6) AB 5 5, AC 3 Gọi B’ điểm tia AC cho AB = AB’ Khi tam giác ABB’ cân A AB ' x x A 5 AB AC B ' B '(7; 4) AC yB ' y A 10 Đường phân giác góc A qua A nhận BB ' (10;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Bài 03 Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình cạnh tam giác ABC biết tọa độ điểm B(2; -1), phương trình đường cao AH: 3x – 4y + 27 = 0, phương trình phân giác CD: x + 2y – = Định hướng: Viết đường thẳng BC qua B vng góc với AH Từ xác địn tọa độ C giao CD BC Sử dụng tính chất đường phân giác ta lấy tọa độ B’ điểm đối xứng B qua CD Viết phương trình AC qua C B’ Xác định tọa độ điểm A giao AH AC Tiếp theo viết phương trình đường thẳng AB qua A B Lời giải + Đường thẳng BC qua B nhận vectơ phương u(4;3) AH làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 4( x 2) 3( y 1) 0 x y 0 4 x y 0 C giao CD BC nên tọa độ C nghiệm hệ x y 0 x C( 1;3) y 3 Gọi B’ điểm đối xứng với B qua phân giác CD Khi B’ thuộc AC Gọi I giao BB’ CD Ta có I trung điểm BB’ BB’ qua B vng góc với CD nên có phương trình 2( x 2) 1( y 1) 0 x y 0 2 x y 0 Tọa độ điểm I nghiệm hệ x y 0 x 5 I (3;1) B '(4;3) y 5 + Đường thẳng AC qua C nhận CB ' (5;0) làm vectơ phương nên có phương trình y – = 3 x y 27 0 A giao AC AH nên tọa độ A nghiệm hệ y 0 + Đường thẳng AB qua A B nên có phương trình x A( 5;3) y 3 x y 1 x y 0 1 17 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ A H ; Chân đường phân giác 5 góc A D(5;3) Trung điểm cạnh AB M(0;1) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC tam giác Định hướng: Viết đường thẳng BC qua D H Viết phương trình AH qua H vng góc với BC Biểu diễn tọa độ A theo tham số, kết hợp với M ta suy tọa độ B theo tham số, sử dụng B thuộc BC suy tham số Từ lấy tọa độ A Đến ta sẻ viết AD, Sử dụng tính http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word ... ngo? ?i tiếp tam giác ABC, kết hợp v? ?i giả thiết đường tròn ngo? ?i tiếp tam giác ABC có bán kính để tìm thêm m? ?i liên hệ http://dethithpt.com – Website chuyên t? ?i liệu, đề thi file word L? ?i gi? ?i: ... (vì tam giác ABC vuông A) ta gi? ?i tọa độ ? ?i? ??m B Suy tọa độ ? ?i? ??m C Viết phương trình đường AB qua B, M AC qua C K ta gi? ?i tọa độ A L? ?i gi? ?i G? ?i M ( m1 , m2 ) ? ?i? ??m đ? ?i xứng v? ?i O qua d Khi M thuộc... ngo? ?i tiếp tam giác ABC qua ba ? ?i? ??m biết tọa độ A, B, E Tiếp theo xác định tọa độ C giao AC đường tròn ngo? ?i tiếp tam giác ABC L? ?i gi? ?i: G? ?i B1 ? ?i? ??m đ? ?i xứng v? ?i B qua đường thẳng d Vì d phân giác