CHƯƠNG 1 KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY Phương trình đường tròn có tâm bán kính R là Phương trình đường tròn có thể được viết dưới dạng , trong đó Ngược lại phương trình là phương trìn[.]
2 Phương trình đường trịn có tâm I a; b bán kính R x a y b R2 Phương trình đường trịn x a y b R2 viết dạng 2 x2 y2 2ax 2by c 0 , c a2 b2 R2 Ngược lại phương trình x2 y2 2ax 2by c 0 phương trình đường trịn a2 b2 c Phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm M x0 ; y0 : x0 a x x0 y0 b y y0 0 Thí dụ 3.1 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng : x + 3y - = hai điểm E, F cho EF = 10 Lời giải Gọi H trung điểm EF Ta có IH EF tam giác IEH vng H Ta có EF 10 , Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d(I, ) = 2 Bán kính đường trịn R = IE = 10 EF EF 2 IH d ( I , ) 20 Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y – 3)2 = 20 Bài tập tương tự 1) Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – = , qua điểm M(1;- 3) cắt đường thẳng : x + y + = hai điểm E, F cho EF = ĐS x 2 35 34 725 y 81 2 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 6;2 đường tròn C : x 1 y 5 Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB 10 ĐS x y 0; x y 12 0 Thí dụ 3.2 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + = , qua điểm M(3; 0) tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 13 = Lời giải Gọi tâm đường tròn I(a; - a – 1) d Ta có |3 a a 13| IM = d(I; ) (a – 3) + (- a – 1) = a= v a = - 10 2 Với a = ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10 Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y + 3)2 = 10 Với a = - ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85 Phương trình đường trịn : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 85 Bài tập tương tự 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + = tiếp xúc với đường thẳng : 3x – 4y – 15 – điểm M(1; - 3) 2 ĐS x y – 1 25 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – = tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y – 13 = 0, 2: x + 2y – = 2 ĐS x – y – 20 8 Thí dụ 3.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 4 điểm A 1; , B 3;0 3 Tìm tọa độ điểm M thuộc C cho tam giác MAB có diện tích Lời giải Giả sử M x0 ; y0 , ta có M C x02 y02 4 Lại có SMAB d M , AB AB , AB 20 1 10 , AB : x y 12 0 Suy d M , AB 4 x0 y0 12 20 x02 y02 4 Từ (1) (2) ta có hệ x0 y0 12 20 14 48 ; Giải hệ ta tìm M 2;0 M 25 75 Bài tập tương tự 2 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y 1 8 đường thẳng : x y 0 Xác định tọa độ điểm M đường tròn (C), biết khoảng cách từ M đến đường thẳng 7 ĐS M 3; 1 M ; 5 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 y2 5 hai điểm A 2;0 , B 2; Xác định tọa độ điểm M thuộc đường trịn (C), biết diện tích tam giác MAB 13 11 29 ; 13 13 ĐS M 3; 1 M Thí dụ 3.4 Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn C : x y 1 4 qua đường thẳng : x y 0 Lời giải Đường trịn (C) có tâm I 4;1 , bán kính R=2 Gọi I’ tâm đường tròn (C’), suy I’ đối xứng I qua Phương trình đường thẳng qua I vng góc với d : x y 0 Giao điểm d J 2; 1 I ' 0; Hay phương trình đường trịn (C’) C ' : x2 y 4 Bài tập tương tự 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 2y – = qua trục Ox 2 ĐS x – y – 25 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x + y2 – 6x + 4y – = qua gốc toạ độ O 2 ĐS x y 16 2 Thí dụ 3.5 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn C : x y 2 C ' : x 1 y 8 Viết phương trình tiếp tuyến chung (C) (C’) Lời giải Đường trịn (C) có tâm I 2;3 , bán kính R đường trịn (C’) có tâm I ' 1;2 bán kính R ' 2 nên II ' R R ' (C) (C’) tiếp xúc điểm M nghiệm hệ x y 2 M 3;4 2 x 1 y 8 Suy tuyeetp tuyến chung hai đường tròn (C) (C’) qua M nhận véctơ II ' 1; 1 làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình x y 0 Bài tập tương tự 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn C1 : x2 y2 y 0 C2 : x2 y2 x y 28 0 ĐS x 0; x y 14 0; x y 0; x 24 y 74 0 2) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn C1 : x2 y2 y 0 C2 : x2 y2 x y 16 0 ĐS x y 3 0; y 0; x y 0 Thí dụ 3.6 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn (C) có phương trình x 2 y 1 8 điểm A thuộc đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết BD 2 AC hồnh độ điểm A không nhỏ Lời giải Trong tam giác IAB có IA2 IB2 IH IA2 IA 10 IB 2 10 IA 10 a 2 hay A 1;2 Giả sử A 2a 3; a từ x A 2 Suy C 3; Phương trình đường thẳng BD: x-3y-5=0 Kết hợp với IB ID 2 10 Tọa độ điểm B, D x y 0 x 8; y 1 nghiệm hệ phương trình 2 x 4; y x y 1 40 Vậy tọa độ đỉnh hình thoi ABCD A 1;2 , B 8;1 , C 3; , D 4; A 1;2 , B 4; , C 3; , D 8;1 Bài tập tương tự 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn 2) C : x 2 y 10 Xác định tọa độ đỉnh A, C hình vng, biết cạnh AB qua điểm M 3; điểm A có hồnh độ dương ĐS A 6;1 , C 2;5 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y 1 2 hai điểm A 0; , B 4;0 Tìm tọa độ hai điểm C D cho đường tròn (C) nội tiếp hình thang ABCD có đáy AB CD 1 1 1 ĐS C ; , D ; 2 2 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C1 : x 1 y 9 C2 : x y 10 4 Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết điểm A thuộc C1 , điểm C thuộc C2 đỉnh B, D thuộc đường thẳng x y 0 Lời giải Gọi C '1 đối xứng với C1 qua đường thẳng d Do A C1 C C '1 Phương trình đường thẳng qua I1 1;2 vng góc với d d1 : x y 0 9 ; , suy tâm 2 Gọi E d1 d E đường tròn C1 I1 ' 4;7 Hay phương 2 trình đường trịn C '1 : x y 9 19 ;10 A ; 10 Từ suy tọa độ điểm C b d b d 12 ; Giả sử B b; b , D d; d , suy trung điểm I BD I 1 5 B 10; , D ; I d Lại AC B D B ; ,D 10; 9 25 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x y hai 2 điểm A 2;3 , B 6;6 Gọi M, N hai điểm khác nằm đường tròn C cho đường thẳng AM BN cắt H , AN BM cắt C Tìm tọa độ điểm C, biết 5 tọa độ điểm H 4; Lời giải Nhận thấy A, B C AB R nên AB đường kính đường trịn C , từ suy AH BC H trực tâm tam giác ABC BH AC Vậy tốn phát biểu lại “Cho tam giác ABC có 5 A 2;3 , B 6;6 trực tâm H 4; Xác định tọa độ đỉnh C” Khi 2 ta có: +) Phương trình đường thẳng AC : x y 29 0 +) Phương trình đường thẳng BC: -4x+y+18=0 Vậy tọa độ C nghiệm hệ phương trình 4 x y 29 0 155 11 C ; x y 18 32 2 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 y 1 5 điểm A 4;5 Từ A kẻ cát tuyến ABC, tiếp tuyến B, C cắt K Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với IA (I tâm đường trịn) cắt (C) E, F Xác định tọa độ điểm E, F Lời giải Giả sử K a; b , suy phương trình đường thẳng EF : x y 3a 4b 0 IK a 1; b 1 2 Giả sử B x0 ; y0 , B C x0 1 y0 1 5 1 Lại có IB x0 a; y0 b IK IB 0 x0 1 x0 a y0 1 y0 b 0 Từ (1) (2) cho ta a 1 x0 b 1 y0 a b 0 hay phương trình đường thẳng BC a 1 x b 1 y a b 0 Mà A 4;5 BC a 4b 12 hay phương trình đường thẳng EF x y 12 0 Từ suy tọa độ điểm E, F nghiệm hệ phương trình 16 x 1 y 1 5 x ;y 5 3 x y 12 0 x 0; y 16 16 ; , F 0;3 E 0;3 , F ; 5 5 Vậy E 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x y 4 hai điểm A 2; 1 , B 2; Một đường kính MN thay đổi cho đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến B P Q Tìm tọa độ trực tâm H tam giác MPQ, biết điểm H nằm đường thẳng d : x y 0 Lời giải Nhận thấy AB đường kính đường trịn C Gọi H ' hình chiếu H PQ, K hình chiếu P MQ Trong tam giác PHQ có HH’ QK đường cao M trực tâm Mặt khác MN đường kính nên PA vng góc với AQ, suy A HQ Xét tam giác NHM có AI song song với MN, I trung điểm 1 MN nên AI HM AB 2 Suy BA MH Do M C nên H thuộc đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo véctơ BA 0; Dễ dàng tìm C ' : x 2 y 4 x y 4 x 2; H 2; Từ suy tọa độ điểm H nghiệm hệ y x y 0 x 4 H 4; y Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 x y 20 0 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn C có đường phân giác góc A nằm đường thẳng d : x y 0 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua M 3; điểm A có hồnh độ âm Lời giải Gọi T : x2 y2 x y 20 0 x x y 0 Tọa độ giao điểm d (T) nghiệm hệ phương trình 2 x y x y 20 0 y 2 x 5 y Vì A giao điểm d (T) đồng thời A có hồnh độ âm, nên A 2;2 Gọi I 2; 1 tâm đường tròn (T) Gọi D 5; giao điểm thứ hai d (T) Do AD phân giác góc A nên ta có DB DC Suy ID đường trung trực BC Đường thẳng BC qua M 3; nhận ID 3; làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình x y 0 hay x y 25 0 Tọa độ điểm B, C nghiệm hệ phương trình x 3 x y 25 0 x 7 2 x y x y 20 0 y y 29 29 29 , C 7; 1 Vậy B 7; 1 , C ; B ; 5 5 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x y hai đường thẳng 1 : x y 0, : x y 0 Xác định tọa độ tâm K đường tròn C ' tiếp xúc với đường thẳng 1 ; tâm K thuộc đường tròn C Lời giải Ta có 1 2 O 0;0 Gọi A, B hai tiếp điểm (C’) với 1 , 2 Ta có tam giác OAB cân O K thuộc đường phân giác góc AOB Mặt khác phương trình đường phân giác góc AOB x y x y 0 50 x y 0 x 7y Vì K C nên tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình 2 x y 0 2 x y (Vô nghiệm) ; x y 0 x 8 4 Vậy K ; 4 2 5 5 x 2 y y 4 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : x y 0, 2 : x y 0 Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với 1 A, cắt 2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường trịn (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương Lời giải Giả sử I tâm đường tròn (T) Do tam giác ABC vng B nên (T) có bán kính R AI AC ; 600 ABI Ta nhận thấy 1 2 O Lại SABC 3 , SABI 3 R R 1 4 Giả sử A t; 3t , t Ta có d A, AB 3t 3t 1 t , suy A ; 1 +) Đường thẳng qua A vng góc với 1 có phương trình 3 x ; I 2 y x y 0 Suy tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 0 x y 0 3 Do phương trình đường trịn (T) x y 1 2 3 Bài tập tự luyện có đáp số 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y 1 20 điểm M 3; 1 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB (I tâm đường tròn) ĐS : y 0 x y 0 (Thi ĐH khối A năm 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + = đường tròn C : x2 y2 – x – y 0 Gọi I tâm (C), M điểm thuộc Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 ĐS M 2; M 3;1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vng A có đường cao AO Gọi C đường tròn tâm A, đường kính OD Tiếp tuyến D cắt CA E 8;8 Đường thẳng vuông góc với ED E đường thẳng qua A, vng góc với EB cắt M 8; Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết đường thẳng BE có phương trình x y 0 ĐS x y2 25 (Thi thử ĐH năm 2013 – THPT Đặng Thúc Hứa, Nghệ An)Trong mặt phẳng Oxy, cho hình 2 chữ nhật ABCD có cạnh AB, DA tiếp xúc với đường tròn C : x y 4 , đường 16 23 ; N thuộc trục Oy Xác định tọa độ đỉnh 5 chéo AC cắt C điểm M hình chữ nhật ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm, điểm D có hồnh độ dương diện tích tam giác AND 10 ĐS A 4;5 , B 4;0 , C 6;0 , D 6;5 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 y Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vng, biết cạnh hình vng tiếp xúc với đường tròn C trung điểm cạnh đỉnh hình vng thuộc đường thẳng d : x y 20 0 ĐS x y 30 0; x y 10 0; x y 40 0;7 x y 20 0 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : x2 y2 x y 20 0 hai đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0 Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( C ) A, cắt d1 , d2 B C cho B trung điểm đoạn thẳng AC ĐS : x y 20 0 : x 0 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0 Lập phương trình đường trịn C cắt d1 A d2 hai điểm B, C cho tam giác ABC tam giác có diện tích 24 ĐS x 2 y 1 32 2 x y 32 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có B 3;4 , đỉnh C thuộc đường thẳng : x y 0 Gọi (T) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC BC E, F D Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BKC, biết K 2; giao điểm BI EF ĐS x y2 25 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn T : x y 4 T ' : x y 20 Gọi A giao điểm hai đường trịn có tung độ dương Viết phương trình dường thẳng qua A cắt đường tròn T , T ' theo hai dây cung phân biệt có độ dài ĐS : x y 0 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R 5 Chân đường cao kẻ từ B C H 3;3 K 0; 1 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết điểm A có tung độ dương ĐS x 7 y 25 Bài [Đề học sinh giỏi Tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho điểm I 2;4 đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0 Viết phương trình đường trịn C có tâm I cho C cắt d1 A, B cắt d2 C, D thỏa mãn AB2 CD2 16 5 AB.CD Định hướng: Yêu cầu toán viết phương trình đường trịn có tọa độ tâm I Cơng việc cịn lại xác định bán kính Giả thiết tốn cho biết phương trình đường thẳng hệ thức độ dài đoạn thẳng Nên ta cần thiết lập phương trình liên hệ độ dài dây cung khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đường thẳng Lời giải: Gọi hình chiếu I d1 , d2 E, F Khi IE d I ;d1 Gọi R bán kính đường trịn C cần tìm với R Ta có AB 2 AE 2 R2 5 ; IF d I ;d 36 , CD 2CF 2 R2 5 4 36 36 2 Theo giả thiết ta có: R2 R2 16 20 R R 5 R2 5R R2 36 21 R4 184 R2 128 0 R2 8 R 2 Vậy phương trình đường trịn ( C ) cần tìm ( C ) : ( x 2)2 ( y 4)2 8 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy C : x y2 x y 0 cho đường thẳng d : x y 0 đường tròn Tìm tọa độ điểm M d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB 1 thỏa mãn khoảng cách từ N 0; đến đường thẳng AB lớn Định hướng: Bài toán giải biết phương trình đường thẳng AB Tham số hóa tọa độ điểm M d ta có A, B thuộc đường trịn C ' đường kính MI mặt khác A, B C Do đường thẳng AB xác định giao hai đường tròn C C ' Tiếp theo tính khoảng cách từ N đến AB , cần tìm giá trị lớn biểu thức, toán giải Lời giải: Đường trịn C có tâm I 1; Ta có điểm M thuộc d nên M a; a 1 a 1 a ; MI K Gọi K trung điểm Vì tam giác MAI , MBI vng A, B nên KA KB MI Đường trịn C ' tâm K ,đường kính MI nên có phương trình 2 a 1 a 1 a2 2a x2 y2 a 1 x a 1 y a 0 x y Đường thẳng AB giao C C ' nên tọa độ điểm A, B thỏa mãn hệ 2 x y x y 0 a x a y a 0 2 x y a x a y a 0 Suy đường thẳng AB có phương trình a x a y a 0 Khoảng cách từ N đến AB d N ; d Maxf a 7 a 2 a a 3 2 34 2a a2 14 a 49 34 2 2a a 10 16 2a a 10 34 a 1 Vậy M ; 2 Bài 3.[Trích đề thi HSG k2pi.net năm học 2013-2014 đề số 5] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy , cho 2 đường tròn C : x 1 y 1 25 điểm A 7;9 , B 0;8 Tìm tọa độ điểm M thuộc C cho biểu thức P 2 MB MA đạt giá trị lớn Định hướng : Ta thấy biểu thức P hiệu hai đoạn thẳng, để tìm giá trị biểu thức P hướng ta cách nghĩ đưa sử dụng bất đẳng thức tam giác Nghĩa cần tìm điểm phụ K cho MA 2 MK Điểm K cần xác định ? Nhận xét IA 2 R 2 IM với M ( C ) Thiết lập tỉ số ta có IK IM KIM MIA KIM MIA K , I , A Do chọn điểm K IA IM IA cho IK R IM Khi có hai tam giác đồng dạng tốn có hướng giải Lời giải: Đường trịn C có tâm I 1;1 bán kính R 5 Nhận xét IA 10 2 R 2 1 5 2 Gọi K thuộc IA thỏa mãn IK IM hay IK IA suy K ;3 Khi ta có IK IM ; KIM MIA suy IM IA KIM MIA IK IM MK 2 MA 2 MK IM IA MA Do P 2 MB MA 2 MB MK 2 MB MK BK Đẳng thức xảy B, K , M thẳng hàng nên M giao điểm đường thẳng BK đường tròn C Đường thẳng BK có phương trình x y 0 2 x y 0 Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ 2 x 1 y 1 25 x2 x 0 y 8 x x 1; y 6 x 5; y Do M nằm B, K nên M 5; Bài toán tương tự : [Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm học 2011-2012 ] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy 2 , cho đường tròn C : x 1 y 1 25 điểm A 7;9 , B 0;8 Tìm tọa độ điểm M thuộc C cho biểu thức P MA MB đạt giá trị nhỏ Đáp số M 1;6 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : x y 0 Đường trịn C có tâm I cắt đường thẳng hai điểm phân biệt A,B cho AB 3 Các tiếp tuyến C A B cắt M 14;0 Viết phương trình đường trịn C biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Định hướng: Phát chứng minh MI AB , viết phương trình MI tham số hóa điểm I sử dụng khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Suy tọa độ I R Bài tốn có hướng giải trọn vẹn! Lời giải: Gọi H giao điểm MI AB ta có MI AB Phương trình đường thẳng MI : x y 14 0 H x y 14 0 Tọa độ điểm H nghiệm hệ x y 0 MI AB x y 19 2 19 ; IH Suy H 2 Vì I thuộc đường thẳng IM nên I t; 14 t 2 t 1 19 19 19 t t Ta có IH IH suy t 2 2 t 10 Do M , I nằm khác phía với đường thẳng nên I 9; 2 Tam giác IAH vuông H nên R AH HI 2 2 Vậy phương trình đường tròn C : x y 5 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn T : x 1 y 25 Viết phương trình đường trịn C có tâm nằm T ,tiếp xúc với : x y 0 cắt T hai điểm phân biệt A,B cho đường thẳng AB qua tâm đường tròn T Định hướng: Gọi I K tâm đường tròn C Giao điểm đường tròn A B T Theo ta có A,K, B thẳng hàng nên từ tam giác vuông cân K Bán kính đường trịn C R AI 5 Sử dụng tính chất đường tròn C tiếp xúc với suy d N ; R Nhận xét AI / / d I ; R Suy đường thẳng AI Từ tìm tọa độ tâm I Lời giải: Gọi I tâm đường tròn Đường tròn T C T có tâm K 1;2 bán kính R1 5 Giao điểm đường tròn A B Theo ta có A,K, B thẳng hàng nên từ tam giác vuông cân I Bán kính đường trịn C R AI 5 Sử dụng tính chất đường tròn C tiếp xúc với suy d N ; R Nhận xét AI / / Đường thẳng AI có dạng x y c 0 d I ; R d IA; Chọn M 4; Khi d M ; AI 5 ( 4) c c 2 5 c 10 c 18 x y 0 TH1: Tọa độ tâm I thỏa mãn 2 x 1 y 25 x 3; y x 4; y 6 2 Khi có đường trịn C : x y 1 50 C : x y 50 x y 18 0 TH2: Tọa độ tâm I thỏa mãn (vô nghiệm) 2 x 1 y 25 2 2 Vậy phương trình đường trịn cần tìm C : x y 1 50 C : x y 50 Bài Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A 2;0 , C 7;5 Về phía nửa mặt phẳng bờ đường thẳng qua đỉnh A, C không chứa B , vẽ tam giác ACE vng E Biết diện tích tứ giác ABCE 15, đường thẳng qua đỉnh B, E có phương trình x y 0 Biết điểm E có hồnh độ ngun Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ? Định hướng: Bài tốn cho tam giác ABC có A 2;0 , C 7;5 u cầu tốn viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên thực chất tốn cần tìm tọa độ điểm B Vì giả thiết cho đại lương diện tích tam giác nên tọa độ điểm B xác định thông quan yếu tố khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC Hướng giải toán rõ Lời giải: Ta có tam giác ACE vng E nên nội tiếp đường trịn đường kính AC có phương trình 2 9 5 25 x 2 y 2 2 x 1; y 3 9 5 25 x y Tọa độ điểm E nghiệm hệ 2 2 x 19 ; y 13 13 5 x y 0 Điểm E có hồnh độ nguyên nên E 1;3 Đường thẳng AC có phương trình x y 0 Suy SEAC 10 SBAC 5 b 2 1 6b 10 5 6b 10 2 B b;8 5b Ta có SABC d B; AC AC 5 b 4 2 Gọi 4 4 Với B ; B nằm phía với E khơng thoả mãn, B 2; 3 Từ suy phương trình ngoại tiếp tam giác ABC x2 y2 16 x y 0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn C tâm I , bán kính R 2 Lấy điểm M đường thẳng d : x y 0 Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến C với A, B tiếp điểm Biết đường thẳng AB : x y 0 khoảng cách từ tâm I đến d 2 Viết phương trình đường trịn C Định hướng: Phân tích tốn ta thấy giả thiết cho phương trình đường thẳng đại lượng độ dài bán kính khoảng cách u cầu tốn viết phương trình đường tròn nên ta cần xác định tọa độ tâm Yếu tố tâm I liên hệ với hình chiếu H I d , ta cần tìm điểm phụ để có mối quan hệ ba điểm , trường hợp giao điểm K IH AB Như biết K H I Lời giải: Gọi H hình chiếu I lên d, E IM AB, K IH AB Ta có tứ giác EMKH nội tiếp nên IK IH IE.IM IA2 R2 4 Theo giả thiết ta có IH 2 suy IK Gọi K t;2 3t d K ; d 2t 2 KH K trung điểm IH t 0 t 1 t 2 Với t 0 ta có K 0;2 nên đường thẳng IH : x y 0 H 1;1 I 1;3 Với t 2 ta có K 2; nên đường thẳng IH : x y 0 H 3;3 I 7; 11 2 Vậy phương trình đường trịn C : x 1 y 4 C : x y 11 4 Bài Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho đường thẳng : x y 11 0 Viết phương trình đường trịn T có tâm I bán kính cắt Ox, Oy, theo đoạn thẳng AB, CD, MN thoả mãn SIMN 1; AB CD xI Định hướng: Yêu cầu toán viết phương trình đường trịn tốn cho bán kính đường tròn, vấn đề lại xác định tọa độ tâm Giả thiết tốn có đại lượng diện tích tam giác độ dài dây cung tạo đường tròn với trục tọa độ d I ;Ox d I ;Oy I thuộc y x y x Tham số hóa tọa độ điểm I , dựa vào diện tích SIMN d I ; I Lời giải: , CD 2 R2 d(2I ;Oy ) Theo ta có: AB 2 R2 d(I;Ox) Do AB CD d I ;Ox d I ;Oy Suy I thuộc đường thẳng y x y x TH1: Gọi I t;t với t ta có d I ; 14 a 11 10 1; MN 2 R2 d2I ; 2 d2I ; Lại có: SIMN MN d I ; d I ; d I ; 1 d I ; 1 (loại) TH1: Gọi I t; t với t ta có d I ; 11 2a 10 ; MN 2 R2 d2I ; 2 d2I ; Lại có: SIMN MN d I ; d2I ; d I ; 1 d I ; 1 11 2a 10 1 a 2 11 2a 10 a 21 1 1 I 2; 21 21 I ; 2 2 1 1 21 21 Vậy có đường trịn thoả mãn toán T : x y 2, x y 2 2 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C1 : x2 y2 4 C2 : x2 y2 12 x 18 0 , đường thẳng : x y 0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc C2 tiếp xúc với đường thẳng cắt C1 điểm phân biệt A, B cho AB vng góc với đường thẳng Định hướng: Gọi O,I;K tâm đường tròn C1 , C2 C OK AB OK / / OK : x y 0 Ta có: AB Tham số hóa tọa độ điểm K , K C2 K d K; R ? Lời giải: Gọi O,I,K tâm đường tròn C1 , C2 C OK AB OK / / suy đường thẳng OK qua O song song với nên có phương trình Ta có: AB x y 0 Gọi K t; t mà K C2 nên 2t2 12t 18 0 t2 6t 0 t 3 Suy K 3;3 bán kính đường trịn R d K ; 34 2 2 Vậy phương trình đường trịn cần tìm C : x y 8 2 Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 1 y 1 20 đường thẳng : x y 0 Viết phương trình đường trịn T có tâm K nằm cắt C điểm phân biệt A, B cho AB 2 10 , biết AB tạo với góc với cos 10 K có hồnh độ dương 10 Đinh hướng: Bài tốn u cầu viết phương trình đường trịn biết tâm thuộc đường thẳng nên ta tham số hóa tọa độ 10 , giả sử tâm K Yếu tố độ dài dây cung góc với cos hướng ta cách nghĩ cần tìm hệ thức liên 10 hệ IK AB Do tốn mang tính chất túy giải tích Lời giải: Đường trịn C có tâm I 1;1 bán kính R 2 Kẻ IH ta có IH d I ; 1 4.1 32 3 Tam giác MNK vuông M nên 90 K Tam giác IHK vuông H nên KIH 90 K Suy KIH Do IK IH 3 10 IK 90 cos 10 10 t 2 2 2 IK 90 t t 90 25 t 10 t 80 K t ; t Gọi Ta có t Vì K có hồnh độ dương nên K 8;4 Và IM IA2 AM 10 Trường hợp I nằm ngồi T ta có MK IK IM 2 10 R( T ) AK AM MK 10 40 50 2 Ta có phương trình đường trịn T : x y 50 Trường hợp Trường hợp I nằm T ta có MK IK IM 4 10 R( T ) AK AM MK 10 160 170 2 Ta có phương trình đường tròn T : x y 170 2 Vậy T : x y 50 T : x y 170 ... ? ?1 d I ; ? ?1 11 2a 10 ? ?1 a 2 11 2a ? ?10 a 21 ? ?1 1 I 2; 21 21 I ; 2 2 1? ?? 1? ?? 21 21 Vậy có đường trịn thoả mãn toán. .. 14 a 11 10 1; MN 2 R2 d2I ; 2 d2I ; Lại có: SIMN MN d I ; d I ; d I ; ? ?1 d I ; ? ?1 (loại) TH1: Gọi I t; t với t ta có d I ; 11 2a 10 ... 4b ? ?12 hay phương trình đường thẳng EF x y 12 0 Từ suy tọa độ điểm E, F nghiệm hệ phương trình 16 x 1? ?? y 1? ?? 5 x ;y 5 3 x y 12 0 x 0; y 16 16