CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY B KĨ THUẬT THAM SỐ HÓA Một số kiến thức cần nhớ Điểm Điểm Điểm hoặc Điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, ta có thể giả sử Điểm M là trung điểm của đoạ[.]
B KĨ THUẬT THAM SỐ HÓA Một số kiến thức cần nhớ Điểm M Ox M m;0 Điểm M Oy M 0; m am c bm c ,b ; m ,a M Điểm M : ax by c 0 M m; b a Điểm M mặt phẳng, ta giả sử M x0 ; y0 2 xM x A xB Điểm M trung điểm đoạn AB 2 yM y A yB 3 xG x A xB xC Điểm G trọng tâm tam giác ABC 3 yG y A yB yC Nếu điểm A,B,C thẳng hàng Nếu AB CD AB.CD 0 x A xB x A xC yA yB 0 yA yC Với điểm A x A ; yA , B xB ; yB AB AB xB x A yB yA Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C 1; Đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình x y 0 x y 0 Tìm tọa độ đỉnh A,B Định hướng: -Viết phương trình AC, tìm A AC AM -Tham số hóa theo b tọa độ B M Từ M AM , giải tìm b B Lời giải Đường thẳng AC qua C vng góc với BH nên có phương trình x y 5 x y 9 A 1;4 Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 3 x y 3b b ; Giả sử B 3b; b , suy tọa độ trung điểm M AB M 3b b Điểm M thuộc đường thẳng AM nên 0 b 0 hay B 5;0 Vậy A 1; 4 , B 5; http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với C 2;3 , phương trình đường thẳng AB : x y 11 0 , phương trình trung tuyến AM : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh A, B Định hướng: -Tìm tọa độ điểm A , A AC AM -Tham số hóa tọa độ điểm B theo b Suy trung điểm M AB -Do M AM , giải tìm nghiệm b từ có B Lời giải Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình x y 11 0 A 3; 3 x y 0 7b b ; Giả sử B 7b 11; b tọa độ điểm M M 2 7b b3 Do M AM 0 b Hay tọa độ điểm B 4; Vậy A 3;-2 ,B -4;-1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H 1;0 , chân đường cao hạ từ đỉnh B K 0;2 trung điểm cạnh AB M 3;1 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng : -Viết phương trình BH , AC -Tham số hóa tọa độ điểm B theo b , suy A -Do A AC , giải tìm nghiệm b Từ suy tọa độ A , B -Viết phương trình HC C AC CH Lời giải Đường thẳng BH qua điểm K, H nên có phương trình x y 0 Đường thẳng AC qua K vuông góc với BH nên có phương trình x y 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Giả sử B b;2 2b , từ M trung điểm AB suy A b;2b Từ A AC b 2b 0 b 2 Từ ta tìm B 2; , A 4;4 Đường thẳng CH qua H nhận véc tơ AB làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x y 0 x y 0 C 2;1 Tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 0 Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A 4; 4 ,B 2;-2 ,C -2;1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;6 Các đường trung tuyến kẻ từ hai đỉnh B C có phương trình x y 0 x y 0 Xác định tọa độ B, C Định hướng : -Tìm tọa độ trọng tâm G -Tham số hóa tọa độ điểm B ,C -Sử dụng tính chất G trọng tâm tam giác ABC , giải nghiệm tìm B ,C Lời giải Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ phương trình x y 0 G 1;1 3 x y 0 Giả sử B 2b 1; b , C c;3c x A xB xC 2b c 1 xG 2b c 3 3 Từ đẳng thức b c y yA yB yC 1 b 3c G 3 b 2 c Từ ta có B 3; ,C -1;- Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 3;4 Phương trình đường trung trực cạnh BC đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C x y 0 x y 0 Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Định hướng: -Tham số hóa trung điểm N NB B -Tham số hóa điểm C CN M http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word M - Giải hệ tìm nghiệm từ BC u 0 Lời giải Giả sử trung điểm AB N n;3n B 2n 3; 6n 22 Do C CN C c;3 c suy tọa độ trung điểm M cạnh BC 2n c 6n c 31 M ; 2 M Từ ta có hệ phương trình BC.u 0 2n c 9 n B 4;- 1 ,C 2;- 2n c 5 c 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh C nằm đường thẳng d : x y 0 Phương trình đường trung tuyến AM đường cao BH có phương trình x y 0 x y 0 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm E 3;1 nằm cạnh BC Định hướng: -Tham số hóa điểm B ,C Suy trung điểm M BC -Giải hệ từ điều kiện M AM B ,C , E thẳng hàng Lời giải Giả sử B b; b , C c;6 c b c b c 10 ; Khi tọa độ trung điểm M BC M b c b c 10 Do M AM 0 3b 2c 0 1 Lại có EB b 3; b , EC c 3;5 c Do B, C, E thẳng hàng nên b b3 0 b c b c 0 bc 4b 0 c 5 c b 3; c 5 3b 2c 0 Từ (1) (2) ta có hệ b ; c bc 4b 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word b B 3;1 , C 5;1 +) Với c 5 Khi đường thẳng AC qua C vng góc với BH nên có phương trình x y 6 Tọa độ điểm A x y 6 A 0;6 nghiệm hệ 5 x y 6 b 14 13 B ; ,C ; +) Với 3 2 c Tương tự trường hợp ta có đường thẳng AC : x y 6 tìm tọa độ điểm A 0;6 Vậy A 0; , B -3;1 ,C 5;1 14 13 A 0; , B ; ,C - ; 3 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD Điểm M 3;0 trung điểm 4 cạnh AB, điểm H 0; 1 hình chiếu vng góc B AD điểm G ;3 trọng tâm tam 3 giác BCD Tìm tọa độ điểm B D Định hướng : -Giả sử B a; b , M trung điểm AB nên A a 6; b BH AH 0 -Thiết lập hệ phương trình từ hệ điều kiện BC BH 0 -Giải hệ tìm B C D Lời giải Giả sử B a; b , M trung điểm AB nên A a 6; b Lúc BH AH 0 a2 b2 a 0 1 2 a 10 b ; Điểm G trọng tâm tam giác BDC, nên CG CI CA C 3 2 Lại từ BC.BH a b 10 a 8b 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word a 0 B 0; 1 H lo¹i a b a 0 b Từ (1) (2) ta có hệ 2 a a b 10 a 8b 0 B 2;3 b 3 2 Suy C 4;6 Do G trọng tâm tam giác BDC nên D 2;0 Vậy B -2; , D 2; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A 2;2 hai đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0 Tìm B, C tương ứng d1 d2 cho tam giác ABC tam giác vng cân A Định hướng : -Tham số hóa tọa độ B ,C AB.AC 0 -Thiết lập hệ điều kiện AB AC -Giải hệ tìm B,C Lời giải Giả sử B b;2 b , C c;8 c Ta có AB b 2; b , AC c 2;6 c AC 0 AB Tam giác ABC vuông cân A nên AB AC b c 2 bc 0 2 b b2 c c b 1 c 2 b 3; c 5 2 b 1; c 3 b 1 c 3 Vậy tọa độ điểm B, C thỏa mãn yêu cầu toán B 3;-1 ,C 5; B 5; ,C 3;-1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng : x y 0 d : x y 0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng điểm M thỏa mãn OM.ON 8 Định hướng : -Tham số hóa điểm M , N -Thiết lập hệ điều kiện O , M , N thẳng hàng OM ON 8 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word -Giải hệ tìm nghiệm M , N Lời giải Giả sử M m; m , N n;2n suy OM m; m , ON n;2n m m 4n 0 mn 2m n 0 m 1 2 n n 2n Do O,M,N thẳng hàng nên Theo 2 OM.ON 8 OM ON 64 m2 m n2 2n 64 2m2 m 16 5n2 n 64 Thay (1) vào (2) ta có: 16 5n2 n n 2 2 5n n 64 5n2 n 4 n n 0 5n2 10n 0 n 6 n n 2 Vậy tọa độ điểm N thỏa mãn yêu cầu toán N 0;-2 N ; 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A 1;4 đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y 0 Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Định hướng: -Viết phương trình AH , tìm tọa độ điểm H -Tham số hóa tọa độ điểm B Từ diện tích tam giác ABC , tính BH Từ tìm B C Lời giải Đường cao AH qua A vng góc với nên có phương trình x y 3 x y 4 7 1 H ; Tọa độ điểm H nghiệm hệ 2 x y 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Giả sử B b; b , ta có SABC 18 AH BH 18 BH 2 2 11 11 b B ; ,C ; 7 b 4 11 b B ; , C ; 2 2 11 11 Vậy B ; ,C ;- B ;- ,C ; 2 2 2 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có diện tích 8, điểm B 3;2 đỉnh A, C nằm đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi Định hướng: -Viết phương trình BD Tìm I BD AC Suy D -Tham số hóa tọa độ điểm A ,từ diện tích hình thoi tính IA Suy A C Lời giải Đường thẳng BD qua B vng góc với d nên có phương trình BD : x y Tọa độ giao điểm I BD AC nghiệm hệ phương trình x y I 1;0 x y I trung điểm BD, suy D 1; Giả sử A a; a 1 , ta có: a 0 SABCD 2 IA IB IA IB 4 IA a 1 1 a +) Với a 0 A 0;1 , C 2; 1 +) Với a A 2; 1 , C 0;1 Vậy A 0;1 ,C -2;- 1 , D 1;-2 A -2;- 1 ,C 0;1 , D 1;-2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x y 0 hình thoi ABCD ngoại 2 tiếp đường trịn C : x y x y 21 0 Tìm tọa độ đỉnh B hình thoi ABCD, biết đỉnh A thuộc d đỉnh C thuộc trục tung Định hướng : -Tham số hóa tọa độ điểm A C Từ C Oy Suy tọa độ điểm A ,C -Dựa vào bán kính đường trịn nội tiếp kết hợp hệ thức lượng tam giác vng tính IB -Tham số hóa tọa độ điểm B , từ độ dài IB , giải tìm B D Lời giải Đường trịn C có tâm I 4;3 , bán kính r 2 Giả sử A 2a 6; a C 2a;6 a Do C Oy 2a 0 a 1 Suy A 8;1 Lại có 1 1 IB 2 IA IB r IB Đường thẳng BD qua I vng góc với AC nên có phương trình x y 5 Giả sử B b;2b , từ b 5 B 5;5 2 IB b 2b 5 b 1 b 3 B 3;1 Vậy B 5; B 3;1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B x y 18 0, phương trình đường trung trực đoạn BC x 19 y 279 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh A biết BAC 1350 Định hướng: -Tham số hóa tọa độ điểm B ,C Suy trung điểm E BC BC u 0 - Thiết lập hệ điều kiện E -Giải tìm nghiệm B ,C -Viết phương trình AC , tìm H AC BH http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word -Từ BAC 135 HA HB Viết phương trình đường trịn tâm H , bán kính HB -Suy tọa độ điểm A giao đường tròn AC Lời giải 18 c 3b b 2c ; Giả sử B 18 3b; b , C c;2c , suy tọa độ trung điểm E 2 13 c 60b 357 c 9 BC.u 0 B 6;4 ; C 9;23 Khi ta có hệ 41c 10b 409 b 4 E Đường thẳng AC qua C vng góc với BH nên có phương trình x y 4 3 x y 4 H 3;5 Tọa độ chân đường cao H kẻ từ B nghiệm hệ x y 18 Đường tròn tâm H bán kính R HB 10 có phương trình x 3 2 y 10 x 4; y 8 3 x y 4 2 x 2; y 2 x y 10 Tọa độ điểm A nghiệm hệ Do A nằm hai điểm C H, nên có trường hợp A 4; thỏa mãn yêu cầu Lưu ý Ta có nhiều phương án để tìm tọa độ điểm A mà loại nghiệm Chẳng hạn sử dụng công thức CA CA CH (Kỹ thuật sử dụng đẳng thức véc-tơ) hay sử dụng công CH AC AB thức cos135 (Kỹ thuật sử dụng góc) AC AB Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M 2; trung điểm cạnh AC, điểm H 0; chân đường cao kẻ từ A, điểm E 23; thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C Tìm toạ độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng d : x y 0 điểm C có hồnh độ dương Định hướng: Từ giả thiết điểm A thuộc d ta biểu diễn tọa độ điểm A theo tham số, kết hợp với điểm M trung điểm Ac ta biểu diễn tọa đô điểm C theo tham số Vì tam giác ACH vng H nên ta có AH vng góc với CH Từ sử dụng HA HC 0 ta tìm tham số Suy tọa độ A, C Khi viết phương trình AB http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word qua A đường thẳng CE , viết phương trình BC qua H C Gọi tọa độ điểm B theo tham số suy tọa độ trung điểm AB theo tham số, ràng buộc điều kiện trung điểm thuộc CE Suy tọa dộ điểm B Có thể giải tọa độ điểm A cách sử dung AM HM A nằm d Lời giải 2a Vì A thuộc d nên A a; xC 2 xM x A 2a C a; M trung điểm AC nên yC 2 yM y A 14 2a 10 2a Ta có AH a; , CH a 4; Vì AH vng góc với CH nên AH CH 0 a 14 2a 10 2a a( a 4) 70 0 a 13 Với a 70 70 18 xC 4 (loại) 13 13 13 Với a suy A 2;3 , C 6; 1 (thỏa mãn) Đường thẳng BC qua H C nên có phương trình x y3 x y 0 Đường thẳng CE qua C E nên có phương trình x y 1 x 17 y 11 0 17 1 3b b ; B thuộc BC nên B 3b 9 ; b Gọi N trung điểm AB ta có N N thuộc CE nên 3b b3 17 11 0 b Vậy B -3;-4 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 , d : x y 0 phương trình đường cao kẻ từ A Các đỉnh B, C thuộc đường thẳng d ' : x y 0 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết tam giác ABC có diện tích Định hướng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Ba đỉnh tam giác thuộc hai đường có phương trình nên ta biểu diễn tọa độ điểm theo tham số để giải Ta dùng yếu tố đường cao để giải hai đường có phương trình vng góc với nhau, ta dùng yếu tố trọng tâm diện tích để giải Lời giải Vì A thuộc d, điểm B C thuộc d’ nên A a;2a 1 , B 2b; b , C 2c; c (b khác c) a 2b 2c 1 a 1 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có (1) b c 0 2a b c 1 Lại có d( A, BC ) a 2(2a 1) 2 2 Diện tích tam giác ABC nên 5a , BC 4( b c)2 ( c b)2 b c b c 6 b c b c 2 a 1, b 1, c Kết hợp với (1) ta a 1, b 1, c 1 Vậy A 1;3 , B 1;1 , C 3; A 1;3 , B 3; 1 , C 1;1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(-1; 6), điểm M(2; 2), N(1;1) trung điểm cạnh AC, BC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Biết hoành độ điểm C nhỏ Định hướng: Nhận thấy CH qua H vng góc với MN nên ta viết phương trình CH Biểu diễn tọa độ C theo tham số, kết hợp với M, N ta suy tọa độ A B theo tham số C Vận dụng quan hệ vng góc hai vectơ AH , BH ta xác định tham số Từ suy tọa độ đỉnh A, B, C Lời giải Vì M, N trung điểm AC, BC nên MN // AB CH qua H có vectơ pháp tuyến MN ( 1; 1) nên CH : 1( x 1) 1( y 6) 0 x y 0 C thuộc CH nên C(c ; - c), kết hợp với M trung điểm AC ta có A(4 – c ; -1 +c ) Ta có AH ( c 5;7 c), CN (1 c; c 4) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word c 3 AH CN ( c 5)(1 c ) (7 c )( c 4) Vì AH vng góc với CN nên c 11 4( loai) Suy C(3 ; 2), A(1 ; 2) xB 2 xN xC B( 1;0) Vì N trung điểm BC nên yB 2 yN yC 0 Vậy A(1 ;2), B(-1 ;0), C(3 ;2) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A H( 17 ; ) , Chân đường phân giác góc A D(5; 3) trung điểm cạnh AB M(0;1) 5 Tìm toạ độ đỉnh C Định hướng: Vì điểm H D biết tọa độ nên ta viết phương trình BC đường cao AH Ta biểu diễn tọa độ A B theo tham số kết hợp với M trung điểm, từ xác định tọa độ điểm A B Viết phương trình phân giác AD góc A qua hai điểm biết tọa độ Dựa vào tính chất đường phân giác ta xác định tọa độ điểm N đối xứng với M qua AD, ta sẻ có N thuộc AC Viết phương trình đường thẳng AC qua hai điểm A N Xác định tọa độ điểm C giao AC BC Lời giải 16 Đường thẳng BC qua D có vectơ phương HD ; nên có phương trình 5 x y x y 0 16 AH qua H nhận HD ; làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 5 17 1 x y 0 x y 0 A thuộc AH nên A(3 – 2a ; a) Vì M trung điểm AB nên B(-3 + 2a ; - a) B thuộc BC nên 2( - 3+2a) – (2 - a) - = a = Suy A(- ; 3) Ta có AD (8;0) Đường thẳng AD qua A có vectơ pháp tuyến n (0;8) nên có phương trình y – = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Gọi N(m ; n) điểm đối xứng với N qua phân giác AD Khi N thuộc AC, MN ( m; n 1) trung điểm 8 m 0( n 1) 0 m n 1 ; MN có tọa độ Ta có N đối xứng với M qua AD nên n 2 3 AC qua A N nên có phương trình m 0 N (0;5) n 5 x y x y 15 0 3 2 2 x y 15 0 x 9 Vì C giao AC BC nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình 2 x y 0 y 11 Vậy C(9 ; 11) 9 3 Bài 27.(KD 2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có điểm M ; trung điểm cạnh AB, 2 điểm H(-2; 4) điểm I(-1; 1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh C Định hướng: Vận dụng tính vng góc AB MI ta viết phương trình đường thẳng AB Vì tam giác AHB vng H, có tọa độ trung điểm M AB tọa độ điểm H nên ta viết đường trịn đường kính AB Khi tọa độ điểm A, B giao đường thẳng AB đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH Viết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA Viết đường thẳng AC qua A H Từ xác định tọa độ đỉnh C Lời giải 7 1 AB qua M nhận IM ; làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2 7 9 1 3 x y 0 x y 33 0 2 2 2 5 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có tâm M bán kính MH 2 2 2 9 3 25 x 2 y 2 2 9 3 25 x 4, y 5 x y Tọa độ điểm A, B nghiệm hệ 2 2 x 5, y 7 x y 33 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word nên có phương trình TH1 : A(-4 ; 5), B(-5 ; -2) Đường thẳng AC qua A H nên có phương trình x4 y x y 0 1 Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA 32 ( 4)2 5 nên có phương trình ( x 1)2 ( y 1)2 25 Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình x 4, y 5( loai) ( x 1)2 ( y 1)2 25 Suy C(4 ; 1) x y 0 x 4, y 1 TH2 : A(-5 ; -2), B(-4 ; 5) Đường thẳng AC qua A H nên có phương trình x 5 y x y 0 Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA 42 32 5 nên có phương trình ( x 1)2 ( y 1)2 25 Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình ( x 1)2 ( y 1)2 25 x 5, y 2( loai) Suy C(-1 ; 6) x 1, y 6 2 x y 0 Vậy C(4 ; 1) C(-1 ; 6) Bài 01 Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC với trọng tâm G Biết C(4;0), phương trình đường trung tuyến AG, BG 5x + y – 13 = 0, x – 4y + = Tìm toạ độ hai đỉnh A B Định hướng: Vì hai đường trung tuyến biết phương trình nên ta xác định tọa độ tâm Tiếp theo ta biểu diễn tọa độ điểm A, B theo tham số vận dụng biểu thức tọa độ trọng tâm ta lấy tham số Từ kết luân tọa độ A B 5 x y 13 0 Lời giải: Toạ độ trọng tâm G nghiệm hệ x y 0 x 7 4 G ; 3 3 y Vì A thuộc AG, B thuộc BG nên A(a;13 – 5a), B(4b – 3;b) a 4b 3 Do G trọng tâm ABC nên 13 a b 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word a 4b 7 a 4b 6 13 a b 4 5 a b 9 a 2 Vậy A(2;3), B(1;1) b 1 Bài 02 (Dự bị KD 2004) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC hai đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y 0 Tìm tọa độ điểm B d1 C d2 cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0) Định hướng : Các điểm B, C thuộc đường thẳng biết phương trình nên ta thu gọn tọa độ mổi điểm theo ẩn Kết hợp với biểu thức tọa độ trọng tâm ta giải tọa độ điểm B, C Lời giải Vì B d1 C d2 nên B(b ; - b - 5), C( - 2c + ; c) Do G trọng tâm tam giác ABC nên ta có hệ phương trình A G B C 2 b 2c 6 b x A xB xC 3 xG y A yB yC 3 yG 3 b c 0 c 1 Vậy tọa độ hai điểm cần tìm B(-1 ; -4), C(5 ;1) Bài 03 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 2x + y + = 0, d2: 3x + 2y – = điểm G(1;3) Tìm tọa độ điểm B thuộc d1 C thuộc d2 cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm Biết A giao điểm hai đường thẳng d1 d2 Định hướng: Xác định tọa độ A lag giao hai đường thẳng biết phương trình Biểu diễn tọa độ B C theo tham số Vận dụng biểu thức tọa độ trọng tâm ta lấy tham số Từ suy tọa độ B C Lời giải: A giao điểm hai đường thẳng d1 d2 nên tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 x 11 A( 11;17) 3 x y 0 y 17 Vì B, C thuộc d1 d2 nên B(b; – 2b – 5), C(1 + 2c; –1 – 3c) b c 10 1 Do G trọng tâm ABC nên 11 2b c 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word b 2c 13 2b c 2 b 35 c 24 Vậy B(49;-53) C(-35;65) Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC 3x y 0 Các đỉnh A, B nằm Ox bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Định hướng: B thuộc BC thuộc Ox nên xác định tọa độ B Lấy tọa độ A theo tham số, biểu diễn tọa độ C theo tham số A Tính cạnh diện tích tam giác ABC theo tham số Kết hợp với bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta tìm tham số Từ suy tọa độ trọng tâm G C Lời giải: Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y y 0 0 x 1 B(1;0) y 0 A thuộc Ox nên A ( a;0) Vì CA Ox C thuộc BC nên 2a a ; C(a; 3a ) G A 3x y B 0 x AB a , AC a , BC 2 a Chu vi tam giác ABC p AB AC BC a 1 2 Diện tích tam giác ABC SABC p.r ( AB AC BC ).r AB AC r a 3 a AB AC 3( a 1)2 2 2 AB AC BC 1 3 a a 74 62 1 6 ; ; Vậy có hai điểm G thỏa mãn yêu cầu toán G1 G2 3 3 Bài 20 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x – 3y – = đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ đỉnh B C Định hướng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Dựa vào yếu tố AC vng góc với đường cao BH biết tọa độ A ta viết phương trình AC Kết hợp với trung tuyến kẻ từ C ta xác dịnh tọa độ điểm C Điểm B thuộc đường cao BH nên ta biểu diễn tọa độ điểm B theo tham số Lấy tọa độ trung điểm M AB theo tọa độ điểm B tọa độ điểm A Kết hợp với M thuộc trung tuyến CM ta xác định tham số Suy tọa độ điểm B Lời giải Gọi H M chân đường cao kẻ từ B trung điểm AB AC qua A(2 ;1) vng góc với BH : x – 3y – = nên có phương trình 3( x 2) ( y 1) 0 x y 0 C giao đường AC CM nên tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình 3 x y 0 x 4 Suy C(4 ; - 5) x y 0 y 3b b ; B thuộc BH nên B(3b + ; b) Vì M trung điểm AB nên M Mặt khác M thuộc CM nên 3b b 0 b 2 Vậy B(-2 ; -3), C(4 ; -5) Bài 47 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC không vuông Gọi H, K thứ tự chân đường cao kẻ từ A, C 9 Biết M ;3 trung điểm AC, đường thẳng HK có phương trình x y 0 , đường thẳng BC có 2 phương trình x y 0 Xác định toạ độ điểm B Định hướng: A Xác định tọa độ H giao HK BC K M Vận dụng tính chất trung tuyến tam giác vuông cạnh huyền xác định tọa độ đỉnh C K Vận dụng tính chất trung điểm suy tọa độ A Tiếp theo B H C viết phương trình AB qua A K Lấy tọa độ B giao AB BC Lời giải: 2 x y 0 x 0 H (0;4) Ta có: H KH BC nên tọa độ H nghiệm hệ 4 x y 0 y 4 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Các tam giác AKC, AHC tam giác vng có M trung điểm cạnh huyền AC nên ta có MC MH MK K thuộc KH , C thuộc BC nên K(k; – 4k), C(c; 2c + 4) Các tam giác AKC, AHC tam giác vng có M trung điểm cạnh huyền AC nên ta có c MC MH MK k 2 c 0 C(0;4) H ( loai) c 1 C(1;6) k 0 K (0;4) H ( loai) 9 12 k 1 K (1;0) 2 9 9 2c 1 12 2 2 9 4k 2 K (1;0), C(1;6) M trung điểm AC nên A(8;0) AB qua A K nên AB : y 0 2 x y 0 B 2;0 Vì B AB BC nên tọa độ B nghiệm hệ y 0 Bài 06 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x – y – 2= 0, phương trình cạnh AC: x + 2y – = 0, trọng tâm G(3; 2) Viết phương trình đường thẳng BC Định hướng: Xác định tọa độ A giao AB AC Ta biết phương trình đường thẳng AB, AC nên ta biểu diễn tọa độ B C theo tham số Kết hợp với biểu thức tọa độ trọng tâm ta xác định tham số Từ xác định tọa độ B C Suy phương trình BC Lời giải x y 0 x 3 A(3;1) A giao AB AC nên tọa độ A nghiệm hệ x y 0 y 1 Vì B thuộc AB, C thuộc AC nên B(b ; b - 2), C(5 – 2c ; c) 3 b 2c 9 b 5 x A xB xC 3 xG B(5;3), C(1;2) Mà G trọng tâm tam giác ABC nên yA yB yC 3 yG 1 b c 6 c 2 Đường thẳng BC qua B C nên có phương trình x y x y 0 5 3 Bài 07 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm AB đường trung tuyến, đường cao qua A có phương trình 7x – 2y – = 0, 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Định hướng: Hai đường thẳng qua A biết phương trình nên ta xác định tọa độ điểm A Tọa độ trung điểm M AB biết nên ta suy tọa độ B Viết đường thẳng BC qua B vng góc với đường cao kẻ từ A http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Khi ta xác định tọa độ trung điểm N BC giao BC trung tuyến kẻ từ A Tiếp theo viết phương trình đường thẳng AC qua A song song với đường trung bình MN Lời giải Gọi H chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC, N trung điểm BC 7 x y 0 Ta có A giao AH AN nên tọa độ A nghiệm hệ 6 x y 0 x 1 A(1;2) y 2 xB 2 xM x A 3 B(3; 2) Vì M trung điểm AB nên yB 2 yM y A Đường thẳng BC qua B nhận vectơ phương u(1;6) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1( x 3) 6( y 2) 0 x y 0 x 0 x y 0 3 N giao BC AN nên tọa độ N nghiệm hệ N 0; 2 7 x y 0 y M, N trung điểm AB, BC nên MN // AC 3 Đường thẳng AC qua A nhận MN 2; làm vectơ phương nên có phương trình 2 ( x 1) y 0 x y 0 Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 1), trực tâm H(-6; - 3), trung điểm cạnh BC D(2; 2) Viết phương trình cạnh tam giác ABC Định hướng: Ta viết đường thẳng BC qua D vng góc với AH Khi ta biểu diễn tọa độ điểm B theo tham số, kết hợp với D trung điểm BC ta suy tọa độ đỉnh C theo tham số Sử dụng quan hệ vng góc AC BH ta xác định tham số Từ suy tọa độ điểm B, C viết phương trình hai cạnh AB, AC Lời giải BC qua D có vectơ pháp tuyến AH ( 8; 4) nên có phương trình 8( x 2) 4( y 2) 0 x y 0 B thuộc BC nên B(b; 6-2b), mà D trung điểm BC nên C(4 – b; 2b - 2) Suy HB ( b 6;9 2b), AC (2 b;2b 3) Vì H trực tâm tam giác ABC nên HB AC 0 b 1 ( b 6)(2 b) (9 2b)(2b 3) 0 5b2 20b 15 0 b 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word ... ? ?i? ??m theo tham số để gi? ?i Ta dùng yếu tố đường cao để gi? ?i hai đường có phương trình vng góc v? ?i nhau, ta dùng yếu tố trọng tâm diện tích để gi? ?i L? ?i gi? ?i Vì A thuộc d, ? ?i? ??m B C thuộc d’ nên... I? ?? BD AC Suy D -Tham số hóa tọa độ ? ?i? ??m A ,từ diện tích hình thoi tính IA Suy A C L? ?i gi? ?i Đường thẳng BD qua B vng góc v? ?i d nên có phương trình BD : x y Tọa độ giao ? ?i? ??m I. .. ? ?i? ??m A C Từ C Oy Suy tọa độ ? ?i? ??m A ,C -Dựa vào bán kính đường trịn n? ?i tiếp kết hợp hệ thức lượng tam giác vng tính IB -Tham số hóa tọa độ ? ?i? ??m B , từ độ d? ?i IB , gi? ?i tìm B D L? ?i giải