CHƯƠNG I KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÌNH OXY E KĨ THUẬT SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai điểm và Lập phương trình đư[.]
E KĨ THUẬT SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm M 1;4 N 6;2 Lập phương trình đường thẳng qua N, biết khoảng cách từ M đến Định hướng: -Viết phương trình đường thẳng qua N có vec tơ pháp tuyến n a; b , n -Sử dụng công thức khoảng cách d M ; , đưa đến phương trình đẳng cấp bậc Giải chọn nghiệm Lời giải Giả sử véctơ n a; b , n véctơ pháp tuyến đường thẳng Lúc phương trình đường thẳng có dạng ax by 6a 2b Lại có d M; 5 2b a b 0 5 21b2 20 ab 0 21b 20 a a b 2 +) Với b 0, chọn a 1 ta có phương trình đường thẳng : x 6 +) Với 21b 20 a, chọn a 21 b 20 ta có phương trình đường thẳng : 21 x 20 y 86 Vậy : x - = : 21x - 20y = 86 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD; hai đường chéo AC BD vng góc với Biết A 0;3 , B 3;4 điểm C nằm trục hồnh Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD Định hướng : -Tham số hóa tọa độ điểm C theo c , viết phương trình AC, BD (cịn chứa tham số c) -Do ABCD hình thang cân nên sử dụng d A ; BD d B ; AC -Đưa đến phương trình bậc hai ẩn c Giải tìm nghiệm c Suy BD -Viết phương trình CD Suy D http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Lời giải Giả sử C c;0 , lúc đó: - Phương trình đường thẳng AC : x cy c 0 - Phương trình đường thẳng BD : cx y 3c 12 0 Do ABCD hình thang cân, nên d A; BD d B; AC 3c c2 c 6 c c2 9c +) Khi c 6 , ta có: - Phương trình đường thẳng BD : x y 0 - Phương trình đường thẳng CD : x y 6 2 x y 2 D 0; Tọa độ điểm D nghiệm hệ x y 6 +) Khi c , ta có: - Phương trình đường thẳng BD : x y 11 0 - Phương trình đường thẳng CD : x y x y 11 5 Tọa độ điểm D nghiệm hệ D 6; x y 2 Tứ giác ABCD hình thang AB kDC k nên có D 0; thỏa mãn yêu cầu toán 5 Vậy D 0;- D 6; 2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30 hai điểm M 1;4 , N 4; 1 nằm hai đường thẳng AB, AD Phương trình đường chéo AC x y 13 0 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết hai điểm A D có hồnh độ âm Định hướng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word -Tham số hóa tọa độ điểm A,C Sử dụng AM AN 0 A -Viết phương trình AB,AD -Sử dụng diện tích hình chữ nhật SABCD d C ; AB d C ; AD 30 C -Viết phương trình CD D Lời giải: 13 a 13 7c , C c; Ta có Giả sử A a; a AN AM 0 13 a 10 a 23 0 A 1;5 a 23 lo¹i 13 Phương trình đường thẳng AB : x y 9 Phương trình đường thẳng AD : x y c 3 Lại có SABCD 30 d C; AD d C; AB 30 c 16 c +) Với c 3 C 3; Phương trình đường thẳng CD : x y x y D 3;1 Tọa độ điểm D nghiệm hệ 2 x y 2 x y 8 B 5;2 Phương trình đường thẳng CB : x y 8 Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 9 +) Với c C 5;12 Phương trình đường thẳng CD : x y 19 x y 19 D 1;9 , loại Tọa độ điểm D nghiệm hệ 2 x y Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD A -1; , B 5; , C 3;-2 , D -3;1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Các điểm M 2;2 , N 4;2 , P 3; 1 , Q 0; thuộc đường thẳng AB, BC, CD, DA Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD Định hướng: - Giả sử n a; b , n véc-tơ pháp tuyến đường thẳng AB http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word - Viết phương trình đường thẳng AB , AD (chứa tham số a ,b ) - Sử dụng d P ; AB d N ; AD , giải tìm nghiệm a ,b - Suy phương trình đường thẳng chứa cạnh ,từ suy tọa độ đỉnh hình chữ nhật Lời giải Giả sử n a; b , n véc-tơ pháp tuyến đường thẳng AB Lúc đó: - Phương trình đường thẳng AB : ax by 2a 2b - Phương trình đường thẳng AD : bx ay 2a Ta có d P; AB d N ; AD a 3b 2 a b 4b a a 7b a b a b 2 +) Với a b Chọn b a 1 Cho ta phương trình đường thẳng AB : x y 4; AD : x y 2; BC : x y 6; CD : x y 4 Suy tọa độ đỉnh A 3;1 , B 1;5 , C 5;1 , D 1; +) Với a 7b Chọn b 9 a 7 Cho ta phương trình đường thẳng AB : x y 4; AD : x y 14; BC : x y 22; CD : x y 12 Suy tọa độ đỉnh hình 77 31 113 59 141 23 21 ;- , C ;- ,D ; vuông A ;- , B 65 65 65 65 65 65 13 13 Vậy A -3;1 , B 1; , C 5;1 , D 1;-3 77 31 113 59 141 23 21 A ;, B ;; , C , D ; 65 65 65 65 65 65 13 13 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB CD x y 0, x y 18 0 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng : x y 0 Định hướng: -Tham số hóa tọa độ điểm I sử dụng d I ; AB d I ; CD I -Viết phương trình AD , suy tọa độ A , B ,C, D Lời giải Giả sử I m;1 m , ta có d I; AB d I; DC 7m 7m 21 m 2 I 2; http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Phương trình đường thẳng AD có dạng x y c 0 d I ; AD d I ; AB 2c c 5 c +) Với c 5 AD : x y 0 3 x y 32 A ; - Tọa độ điểm A nghiệm hệ ; x y 25 25 3 x y 57 74 B ; Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 18 25 25 99 18 43 24 Suy tọa độ điểm C ; , D ; 25 25 25 25 +) Với c AD : x y 0 3 x y 9 43 24 A ; ; Tọa độ điểm B nghiệm hệ -Tọa độ điểm A nghiệm hệ 25 25 4 x y 4 32 3 x y 9 57 74 99 18 , D ; B ; Suy tọa độ điểm C ; 25 25 25 25 25 25 4 x y 18 32 57 74 99 18 43 24 , B ;, C ;, D ; Vậy A ; 25 25 25 25 25 25 25 25 43 24 99 18 57 74 32 A ; , B ;- , C ;, D ; 25 25 25 25 25 25 25 25 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh AC cho AN AC; điểm N thuộc đường thẳng x y 0, phương trình đường thẳng MD : x 0 Xác định tọa độ đỉnh A hình vng ABCD, biết khoảng cách từ A đến đường thẳng MD điểm N có hồnh độ âm Định hướng : -Tham số hóa tọa độ điểm N , tính d N ; MD d A; MD Suy N -Tính ND 2d N ; MD nên điểm D M giao đường thẳng DM đường trịn tâm N bán kính ND Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Ta có IMC IDA IA ID DA IN 2 IC IM MC IA 5 d N , MD d A, MD Giả sử N n; 3n , n lo¹i 5 1 N ; Từ d N , MD n 2 2 n Lại tam giác MND vuông cân ND 2d N , MD 2 Nên điểm D M giao đường thẳng DM đường trịn tâm N bán kính ND , hay tọa độ điểm nghiệm hệ x 0 x; y 1;3 D 1;3 , M 1; 2 3 1 25 x; y 1; D 1; , M 1;3 x y 2 2 1 +) Trường hợp D 1;3 , M 1; , từ DI 2 IM I 1; , 3 5 lại từ IN IA A 3;1 4 +) Trường hợp D 1; , M 1;3 , từ DI 2 IM I 1; , 3 5 lại từ IN IA A 3;0 Vậy A -3;1 A -3; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N 11 điểm CD cho CN 2 ND Giả sử M ; đường thẳng AN có phương trình 2 x y 0 Tìm tọa độ điểm A Định hướng: -Tính khoảng cách d M ; AN Dựa vào diện tích tam giác , tính AM -Tham số hóa tọa độ điểm A , từ độ dài AM A http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Lời giải Giả sử cạnh hình vng có độ dài a Khi SAMN SABCD SADN SCNM SBAM a2 a 10 a ; AN a2 12 a 10 Từ SAMN d M , AN AN d M, AN a 3 2 Suy AM a 10 2 Giả sử A a;2a Từ AM a 1 A 1; 1 10 a a a 4 A 4;5 Vậy A 1;-1 A 4; Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm A 1;3 Biết điểm M 6;4 17 thuộc cạnh BC N ; thuộc đường thẳng DC Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình vng 2 ABCD Định hướng: - Giả sử n a; b , n véc-tơ pháp tuyến đường thẳng AD, viết phương trình đường thẳng AD , DC (chứa tham số a,b) -Sử dụng d M , AD d A , DC a ,b -Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh, suy tọa độ đỉnh hình chữ nhật Lời giải Giả sử n a; b , n véc-tơ pháp tuyến đường thẳng AD Lúc - Phương trình đường thẳng AD : ax by a 3b - Phương trình đường thẳng DC : bx ay Lại có d M , AD d A, DC 5a b 2 a b 17b a a 15b a b a 17b a b 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word +) Với a b Chọn b 1 a 1 Lúc phương trình đường thẳng AB : x y 2; BC : x y 10; CD : x y 4; DA : x y 4 Suy B 4;6 ; C 7;3 ; D 4;0 +) Với 7a 17b Chọn b a 17 Lúc phương trình đường thẳng AB : x 17 y 58; BC : 17 x y 74; CD : x 17 y 136; DA : 17 x y Suy tọa độ đỉnh cịn lại hình vng 64 18 85 69 34 90 B ; ;C ; ; D ; 13 13 13 13 13 13 Kiểm tra điểm M nằm cạnh BC, nhận thấy hai trường hợp thỏa mãn yêu cầu 64 18 85 69 34 90 Vậy B 4; ;C 7; ; D 4; B ; ;C ; ; D ; 13 13 13 13 13 13 Bài 19 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích Phương trình đường thẳng AB x – y = Điểm M(2; 1) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ trung điểm N cạnh AC Định hướng: Vì đường thẳng AB có phương trình, biết tọa độ trung điểm M BC nên ta tính khoảng cách từ M đến AB Kết hợp với diện tích tam giác ABC ta suy độ dài AB MN đường trung bình tam giác ABC nên MN AB Viết phương trình MN Từ suy tọa độ N Lời giải 2 1 Ta có d( M, AB) 2 Đường thẳng MN qua M song song với AB nên có phương trình 1( x 2) 1( y 1) 0 x y 0 Suy N(a; a - 1) Vì M trung điểm BC nên SABM SABC a 3 ( a 2)2 ( a 1)2 2 a 1 1 d( M , AB ) AB 1 MN 1 2 N (3;2) N (1;0) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-4;0), trung điểm cạnh BC M(3; 1) Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Biết đường thẳng EF có phương trình x 0 Viết phương trình đường thẳng BC Định hướng: Vận dụng tính chất trung tuyến tam giác vng kẻ từ đỉnh góc vng bằn cạnh huyền ta chứng minh ME = MF Từ ta xác định tọa độ trung điểm EF hình chiếu M EF Dự đốn chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Từ suy tỉ lệ trung tuyến tỉ lệ chiều cao tương úng để xác định khoảng cách từ A đến BC Tiếp theo ta viết đường thẳng BC qua M cách A khoảng AH Lời giải: Gọi I trung điểm EF Ta có ME MF BC Suy MI EF Suy MI : y 0 Mà I MI EF I ( 1;1) có AI 32 12 10; AM 72 12 50 , d( A, EF ) 3 Đường thẳng BC qua M nên có phương trình dạng a( x 3) b( y 1) 0,( a2 b2 0) Tứ giác BCEF nội tiếp(vì BEC tam giác AEF đồng BFC 90 o ) nên AEF ABC mà EAF BAC dạng với tam giác ABC Suy d( A, EF ) AI d( A, BC ) 3 d( A, BC ) AM 11 a b 3 a2 14 ab 44b2 0 2 a b a 2b 7a b Với a 11 b Chọn a 11, b suy BC : 11 x y 31 0 Với a 2b Chọn a 2, b 1 suy BC : x y 0 3 Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (T) có tâm I ;0 (T) tiếp xúc với : x y 19 0 Đường phân giác góc A d: x – y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC lần diện tích tam giác IBC A có tung độ âm Định hướng: Ta dễ dàng tính bán kính R (T) nhờ điều kiện tiếp xúc Khi ta viết phương trình (T) nên ta xác định tọa độ điểm A điểm A’ giao điểm thứ hai d (T) Khi BC có vectơ pháp http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word tuyến IA ' nên ta lấy phương trình AB phụ thuộc vào tham số c Từ tỉ lệ diện tích hai tam giác ABC IBC ta tính tỉ lệ khoảng cách A I tới BC Từ xác định c Lời giải 3 125 5 (T) tiếp xúc với : x y 19 0 nên bán kính (T) R d( I , ) (T): x y2 Gọi A’ giao điểm thứ d (T) Tọa độ điểm A A’ nghiệm hệ x 4, y 3 125 x y2 7 5 2 Kết hợp với A có tung độ âm ta A( 4; 5), A ' ; x ,y 2 2 x y 0 5 Ta có d phân giác góc A nên A’ điểm cung BC suy IA ' 5; vectơ pháp 2 tuyến BC Suy BC: 2x + y + c = Mà SABC 3SIBC d( A; BC ) 3 d( I ; BC ) 2( 4) c 22 12 3 c c 11 22 12 3c Vậy BC: 2x + y -2 = BC: 4x+2y+11 = Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1), B(1; -2), trọng tâm G nằm đường thẳng d: x + y – = Biết diện tích tam giác ABC 27 Viết phương trình đường thẳng AC Định hướng: G trọng tâm tam giác ABC, tốn cho diện tích tam giác ABC ràng buộc G thuộc d, đường thẳng AB viết phương trình nên ta sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác GAB ABC Từ tính khoảng cách từ G đến AB Suy tọa độ điểm G Tiếp theo lấy tọa độ điểm C viết phương trình AC Lời giải Ta có AB = , AB qua A B nên x y 1 x y 0 G thuộc d nên G(m ; - m) 1 1 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên SABG SABC AB.d(G; AB) m m 9 2 xC 3 xG x A xB x 3 xG C Ta có (vì G trọng tâm tam giác ABC) yC 3 yG yC 3 yG y A yB TH1 : m = - Suy G(- ; 4) C( 9;15) x y 1 16 x 11 y 21 0 15 TH2 : m = Suy G(7 ; - 5) C(18; 12) x y 1 11 x 16 y 0 AC qua A C nên có phương trình 18 12 AC qua A C nên có phương trình http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word m m 7 Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích Biết điểm A(1; 0), B(0; 2) Trung điểm I cạnh AC thuộc đường thẳng d: x – y = 0.Viết phương trình đường thẳng AC Định hướng: Tính độ dài AB, khoảng cách từ I đến AB(sử dung diện tích) Từ xác định tọa độ I suy tọa độ C Tiếp theo viết phương trình AC qua A C Lời giải AB = , AB qua A B nên x y x y 0 I thuộc d nên I(a ; a) 0 2 Vì I trung điểm AC nên SABI a 1 SABC AB.d( I; AB) 1 2a a 2 2 a 0 xC 2 xI x A x 2 xI C I trung điểm AC nên yC 2 yI yC 2 yI yA TH1 : a = Suy I(0 ; 0) C( 1;0) Ta có AC ( 2;0) AC : y 0 x y 4 4 5 8 2 8 x y 0 TH1 : a I ; C ; Ta có AC ; AC : 3 3 3 3 3 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu, đề thi file word ... ? ?i? ??m D M giao đường thẳng DM đường tròn tâm N bán kính ND L? ?i gi? ?i http://dethithpt.com – Website chuyên t? ?i liệu, đề thi file word Ta có IMC IDA IA ID DA IN 2 IC IM MC IA 5 d... Dựa vào diện tích tam giác , tính AM -Tham số hóa tọa độ ? ?i? ??m A , từ độ d? ?i AM A http://dethithpt.com – Website chuyên t? ?i liệu, đề thi file word L? ?i gi? ?i Giả sử cạnh hình vng có độ d? ?i a... tọa độ ? ?i? ??m I sử dụng d I ; AB d I ; CD I -Viết phương trình AD , suy tọa độ A , B ,C, D L? ?i gi? ?i Giả sử I m;1 m , ta có d I; AB d I; DC 7m 7m 21 m 2 I 2;