Dạng 4 Cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 77 Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn Đặt , là tham số nguyên và Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của sao cho hàm số đạt cực tiểu tại Tính tổng b[.]
Chuyên đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Dạng Cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x + h) - f ( x - h ) £ h , " x Ỵ ¡ , " h > f ( x) Cho hàm số có đạo hàm ¡ thỏa mãn 2019 29- m 2 é ¢ ù ¢ ù g ( x) = é ëx + f ( x) û + ëx + f ( x ) û - ( m - 29m +100) sin x - , m tham số nguyên m < 27 Đặt g ( x) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m cho hàm số đạt cực tiểu x = Tính tổng bình phương phần tử S A 108 B 58 C 100 D 50 Lời giải Chọn C f ( x + h) - f ( x ) + f ( x ) - f ( x - h ) f ( x + h) - f ( x - h) £ h Û - h £ £h h Ta có " h > f ( x + h) - f ( x ) f ( x - h ) - f ( x ) Û - h£ + £h h -h éf ( x + h) - f ( x ) f ( x - h) - f ( x ) ù ú£ lim h lim ( - h) £ lim+ ê + ú h®0+ h® 0+ h®0 ê h h ë û Suy ị Ê f Â( x ) + f ¢( x) £ Þ f ¢( x) = với x Ỵ ¡ g ( x) = x 2019 + x 29- m - ( m4 - 29m +100) sin x - Suy Þ g ¢( x ) = 2019 x 2018 +( 29 - m) x 28- m - ( m - 29m +100) sin x Câu 77 Þ g ¢¢( x ) = 2019.2018.x 2017 +( 29 - m) ( 28 - m) x 27- m - ( m - 29m +100) cos x Dễ thấy g ¢( 0) = 0, " m < 27 ém = g ¢¢( 0) =- ( m - 29m +100) = Û ê êm = 25 ê ë Xét * Khi m = Û m = ±2 : g ¢( x ) = x 26 ( 2019 x1992 + 27) g ( x ) = x 2019 + x 27 - m = + ta có có khơng đổi dấu qua x =0 g ¢( x) = x30 ( 2019 x1988 + 31) g ( x ) = x 2019 + x31 - + m =- ta có có khơng đổi dấu qua x =0 * Khi m = 25 Û m = ±5 : g ¢( x) = x 23 ( 2019 x1995 + 24) g ( x ) = x 2019 + x 24 - + m = ta có có đổi dấu qua x = 24 x =- 1995 2019 Trường hợp hàm đạt cực tiểu x = g ¢( x ) = x 33 ( 2019 x1985 + 34) g ( x ) = x 2019 + x 34 - + m =- ta có có đổi dấu qua x = 34 x =- 1985 2019 Trường hợp hàm đạt cực tiểu x = é2 < m < < m < 25 Û ê ¢¢ ê ë- < m nên hàm số đạt cực tiểu x = *Nếu Trang 2 g ¢¢( 0) < g ( x) *Nếu m < m > 25 nên hàm số đạt cực đại x = S = { - 5; - 4; - 3;3; 4;5} Vậy giá trị nguyên m < 27 để hàm số đạt cực tiểu x = S 100 Tổng bình phương phần tử f x x x 1 x m 1 x m , x y f x Câu 78 Cho hàm số có đạo hàm Có g x f x giá trị nguyên m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C g x f x , số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x số điểm cực trị dương đồ thị hàm số cộng thêm g x f x y f x Để hàm số có điểm cực trị đồ thị hàm số có cực trị dương x 1 f x 0 x 2 x m 1 x m 0 * Ta có Có x 2 nghiệm bội 2, x 1 nghiệm đơn Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số g x f x x m 1 x m 0 Vậy có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x 1 , có nghiệm x 0 2 x 0 x m 1 x m 0 m 0 m 1 Trường hợp 1: Có nghiệm x 0 x m 1 x m 0 x x 0 TM x m Với , có x m 1 x m 0 x 0 x 0 Với m , có (Loại) 2 x m 1 x m 0 Trường hợp 2: có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x 1 , có nghiệm âm m2 m 1;1 2 m 1 m 0 m 1 Điều kiện tương đương Vì m m 0 Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 79 Cho hai hàm đa thức y f x , y g x có đồ thị hai đường cong hình vẽ Biết đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị A , đồ thị hàm số y g x có điểm cực AB Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 5;5 để hàm số trị B y f x g x m có điểm cực trị? Trang A B C Lời giải D Chọn B Đặt h x f x g x , ta có: h x f x g x ; h x 0 x x0 ; h x 0 x x1 x x2 ( x1 x0 x2 ); h x0 f x0 g x0 Bảng biến thiên hàm số y h x là: Suy bảng biến thiên hàm số y k x f x g x là: Do đó, hàm số y k x m có ba điểm cực trị Trang Vì số điểm cực trị hàm số y k x m tổng số điểm cực trị hàm số y k x m số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình k x m 0 , mà hàm số y k x m y f x g x m có ba điểm cực trị nên hàm số có năm điểm cực trị phương trình k x m 0 có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y k x , phương trình k x m 0 có hai nghiệm 7 m m 4 đơn (hoặc bội lẻ) m m 5;5 nên m 4; 3; 2 Vì m , y f ' x có đạo hàm liên tục Hàm số có đồ thị hình vẽ bên g x f x f x m Tìm tập hợp S tất giá trị thực tham số m để hàm số có Câu 80 Cho hàm số y f x f a 1, f b 0 điểm cực trị, biết phương trình f '( x) 0 có nghiệm phân biệt, , lim f x x A S 5; lim f x x B S 8; 1 S 8; 6 C Lời giải Chọn A Từ gt ta có BBT f ( x) Xét hàm số h x 2 f x f x , có h ' x 4 f x f '( x) f ' x h ' x 0 f x f '( x) f ' x 0 f ' x 0 f ( x) 0 x a x b f ( x ) / f ( x) / x c a (theo BBT) BBT h( x) Trang 9 S 5; 8 D Để hàm số g ( x) | f x f x m || h x m | có điểm cực trị phương trình h x m phải có nghiệm phân biệt, hay m m y f x f x Câu 81 Cho hàm số liên tục ¡ có đạo hàm liên tục ¡ có bảng xét dấu hình vẽ bên Hỏi hàm số A y f x2 x có tất điểm cực trị? B C Lời giải D 11 Chọn C Tập xác định hàm số: D * y h x f x x x x x y h x f x x x 1 x x 1 x 2 x x h x 0 x x 0 x 1 x x 1 x x 1 x x 2 x h x 0 Ta thấy phương trình có nghiệm đơn h x h x không tồn tại x 0 mà x 0 thuộc tập xác định đồng thời qua đổi dấu Từ suy hàm số cho có điểm cực trị y f x Câu 82 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số g x f x 2020 m thực m để hàm số có điểm cực trị? Trang A B C Lời giải D Chọn B a b c ba điểm cực trị hàm số y f x Gọi a, b, c f a 6; f b 2; f c 2 Khi đó: h x f x 2020 Xét hàm với x h x f x 2020 x 2020 f x 2020 Khi đó: x a 2020 h x 0 x b 2020 x c 2020 Bảng biến thiên hàm Hàm số h x g x f x 2020 m có điểm cực trị Phương trình f x 2020 m 0 có nghiệm không thuộc a 2020; b 2020; c 2020 m 2 m m2 m m m g x f x 2020 m Vậy có giá trị nguyên m m 2 m hàm số có điểm cực trị Trang y f x f 0; f y f x Câu 83 Cho hàm số có đạo hàm liên tục Biết hàm có đồ thị hình vẽ y O x g x f x2 x Số điểm cực trị hàm số A B C D Lời giải Chọn D h x f x2 2x Xét hàm số h x 2 xf x h x 0 f x x Ta có: ; (vơ nghiệm x 0 ) Đặt t x x t , t 1 f t w t 0;1 t (*) Nhận thấy khoảng t nghịch biến f t đồng Khi đó: biến, (*) có nghiệm h h 1 f 1 h x 0;1 nên Mặt khác: liên tục x0 0;1 : h x0 0 h x 0 x 0;1 h x Vậy có nghiệm có điểm cực tiểu (vẽ bảng biến thiên) (1) h x 0 f x x 0 Xét phương trình: (**) h f 0 x 0 Ta có: nghiệm (**) h x0 h f x0 x0 f x1 x0 ; : h x1 0 Mặt khác: x x0 ; Nên (**) có nghiệm h x Vì có điểm cực trị, nên (**) có khơng q nghiệm h x f x x 0 Vậy có hai nghiệm phân biệt (2) g x f x2 2x Từ (1) (2) ta được: hàm số có điểm cực trị 4; có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số Câu 84 Cho hàm số y f ( x ) đồng biến y f (2 x 2) Trang A D C Lời giải B Chọn D ' ' g x f (2 x 2) g ' x x f ' (2 x 2) x f ' (2 x 2) g ' x 0 x ' f (2 x 2) x x ' f (2 x 2) 0 f ' (2 x 2) 0 x 0 x x 0 x 2 ' f ( x) 0 x 3 x 4 Dựa vào đồ thị ta có 2 2 ' f (2 x 2) 0 2 2 x 2 x 3 x 4 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 5 x x 2 x 3 x 3 g ' x Ta có bảng xét dấu y f (2 x 2) Suy hàm số có điểm cực trị y f x Câu 85 Cho đồ thị hình vẽ đây: tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 2018 m có điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S A B C D Lời giải Chọn C Gọi S Trang f x 2018 f x 2018 m g x f x 2018 m g x f x 2018 m Đặt f x 2018 0 1 g x 0 f x 2018 m Phương trình Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình ln có nghiệm phân biệt y g x Vậy để đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình phải có nghiệm đơn phân m2 2 m * m 3; 4 m biệt Vậy tổng phần tử Câu 86 Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số y f ( x x 2) hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f (| x |) có cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Nhận xét y f (| x |) hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên ta xét cực trị bên phải trục Oy Xét x ta có y f (| x |) f ( x) Từ đồ thị hàm số y f ( x x 2) ta thấy x 1.5 f ( x x 2) 0 x 0.5 x 0.9 Xét y f ( x) với x y f ( x) Đặt x t t (t 1)(t t 2) ; x t t 1.5 x 2.875 y f (t t 2) 0 t 0.5 x 1.375 t 0.9 x 3.32 Khi y f ( x ) có nghiệm dương đồ thị y f ( x) có điểm cực trị bên phải Oy y f (| x |) có cực trị ( cực trị bên phải + cực trị bên trái + giao với trục Oy) Trang Câu 87 Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị hình vẽ y -1 O x -1 20, 20 Trong đoạn điểm cực trị? A 40 y 10 f ( x m) có số nguyên m để hàm số B 34 C 36 Lời giải 11 37 m m 3 có D 32 Chọn C 11 37 m m 3 11 37 g ( x ) 0 f ( x m) m m 30 30 11 37 f (t ) m2 m 30 30 Đặt x m t , ta có y g ( x) Để có điểm cực trị phương trình f (t ) 0 có 1 nghiệm đơn 18 m 11 37 11 30 m 30 m 3 m 5 11 m 37 m 15 30 30 m 2 11 Khi Kết hợp với điều kiện đoạn [ 20, 20] Khi ta có 19 16 36 giá trị m nguyên g ( x) 10 f ( x m) Câu 88 Cho hàm số bậc ba Hàm số A y f x y f x 1 có điểm cực trị? B C Lời giải Chọn A Xét hàm số Trang 10 có đồ thị hình vẽ y f x 1 D ... hồnh Hàm số có điểm cực trị h x f sin x có điểm cực trị F x F 0 y F x y f x Câu 94 Cho hàm số có Biết nguyên hàm hàm số có đồ Vậy hàm số thị hình vẽ Số điểm cực trị. .. Cho hàm số có đạo hàm Có g x f x giá trị nguyên m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C g x f x , số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x số điểm cực trị. .. Số điểm cực trị hàm số g x f x A B C D Lời giải Chọn A Trang 13 g x f x y f x Để tìm số cực trị hàm số ta tìm số cực trị hàm số số giao điểm y f x đồ thị hàm số