NW359 360 DẠNG 04 cực TRỊ của hàm số GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa Định nghĩa Hàm số  x0 ∈ D Điểm cho f ( x) xác định tập D⊂¡ gọi điểm cực đại hàm số f ( x) tồn khoảng ( a; b ) ⊂ D x0 ∈ ( a; b ) f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 }  Điểm x0 ∈ D gọi điểm cực tiểu hàm số f ( x) tồn khoảng ( a; b ) ⊂ D x0 ∈ ( a; b ) f ( x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } cho Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị f ( x) x0 f Nếu hàm số đạt cực trị điểm hàm số có đạo hàm điểm Định lí (Điều kiện cần ) f ' ( x0 ) = , Tuy nhiên hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm , chẳng hạn với hàm x0 y= x x=0 , đạt cực trị khơng có đạo hàm Định lí (Điều kiện đủ ) Ta có +) Nếu +) Nếu f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; x0 ) f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( x0 ; b ) f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; x0 ) Tức là, đạo hàm hàm số f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x0 ; b ) y = f ( x) Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA hàm số hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm f ( x) đổi dấu từ âm sang dương qua M ( x0 ; yCT ) đạt cực đại điểm x0 x0 x0 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Nếu đạo hàm hàm số y = f ( x) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ đổi dấu từ dương sang âm qua Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại M ( x0; yCÑ ) x0 x0 Chú ý: Khơng cần xét có hay khơng đạo hàm VÍ DỤ Xét hàm số   u x ∈( −∞;0) u x ∈( −∞;0) − x neá −1< neá y = x = ⇒ y′ =  u x ∈( 0; +∞ ) u x ∈( 0; +∞ )   x neá 1> neá x=0 Nên hàm số đạt cực tiểu f ' ( x0 ) = y = f ( x) y = f ( x) ( a; b ) x0 Định lí Hàm số có đạo hàm cấp chứa mà có đạo hàm cấp hai khác không  Nếu f '' ( x0 ) > f '' ( x0 ) < x0 Khi đó, hàm số y = f ( x) y = f ( x) đạt cực tiểu x0 x0  Nếu hàm số đạt cực đại Từ đây, ta có phương pháp cực trị hàm số y' y' = y'  Tính đạo hàm , tìm điểm không xác định ' y  Xét dấu dựa vào định lí để kết luận điểm cực đại, điểm cực tiểu y '' ( x0 ) x0 y' Hoặc xét dấu ( nghiệm ) dựa vào định lí để kết luận ax + b cx + d Chú ý: Hàm phân thức bậc bậc  d D = ¡ \ −   c Ta có ad − bc y' = ( cx + d ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x x Dấu đạo hàm không phụ thuộc vào , hay độc lập với nên hàm số đồng biến nghịch biến khoảng xác định Do hàm số ln khơng có cực trị Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx + cx + d Cho hàm số bậc ba y′ = 3ax + 2bx + c ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) có đồ thị ( C) Ta có Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc ba có đạo hàm tam thức bậc hai nên ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  Hàm số có cực trị có cực đại có cực tiểu có cực đại cực tiểu có hai cực trị y' = ⇔ ∆>0 có hai nghiệm phân biệt ' y =0 ⇔ ⇔ ∆ ≤  Hàm số khơng có cực trị phương trình vơ nghiệm có nghiệm kép Chú ý: Đường thẳng qua hai điểm cực trị Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị sau: y = ax3 + bx + cx + d y′ = 3ax + 2bx + c Bước 1: Thực phép chia đa thức: cho thương phương trình q ( x) phần dư r ( x ) = mx + n , ta được: y = y′.q ( x ) + r ( x ) Bước 2: Chứng minh đường thẳng ( d) : y = r ( x ) = mx + n đường thẳng qua hai điểm cực trị M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 ) x1 , x2 y' = Giả sử , hai nghiệm phương trình nên y ' ( x1 ) = y ' ( x2 ) = Khi M,N thuộc ( C) nên y1 = y ′( x1 ).q ( x1 ) + r ( x1 ) = r ( x1 ) ⇒ r ( x1 ) = mx1 + n ⇒ M ∈ ( d ) y2 = y ′( x2 ).q ( x2 ) + r ( x2 ) = r ( x2 ) ⇒ r ( x2 ) = mx2 + n ⇒ N ∈ ( d ) ( d) Tức là đường thẳng qua hai điểm cực trị Bài toán cực trị với hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c Cho hàm bậc trùng phương ( a ≠ 0) có y′ = 4ax3 + 2bx = x ( ax + b ) x = y′ = ⇔  x = − b 2a  Số lượng điểm cực trị TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Hàm số bậc bốn ln có cực trị  Hàm số có ba cực trị ⇔ − b >0 2a ⇔ có cực đại cực tiểu ⇔ phương trình y' = có ba nghiệm phân biệt  Hàm số có cực trị ⇔ y =0 ' phương trình có nghiệm ⇔ − b ≤0 2a     b b A ( 0; c ) , B  − ; y1 ÷ , C − − ; y  ÷  ÷ 2a ÷ 2a     Chú ý: Khi hàm số có ba điểm cực trị thì: y1 = y2  B, C Oy Oy ABC A A  đối xứng qua trục , điểm nằm trục Do tam giác cân II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết cực trị hàm số  Tìm cực trị hàm số cho cơng thức  Tìm cực trị biết bảng biến thiên đồ thị hàm số  Bài toán cực trị chứa tham số  Cực trị hàm chứa dấu GTTĐ  Cực trị hàm hợp … BÀI TẬP MẪU f ( x) (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho hàm số có bảng biến thiên sau: Điểm cực đại hàm số cho là: x = −3 x =1 A B x=2 x = −2 C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điểm cực trị biết bảng biến thiên hàm số HƯỚNG GIẢI: +) Nếu f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; x0 ) f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; x0 ) f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( x0 ; b ) f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x0 ; b ) +) Nếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: hàm số hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm f ( x) đạt cực đại điểm x0 x0 Lời giải Chọn D Nhận thấy hàm số f ′( x) đổi dấu từ dấu dương sang dấu âm qua TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x = −2 suy x = −2 điểm cực đại Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số y = f ( x) ¡ liên tục có bảng biến thiên: Khẳng định sau đúng? x=0 A Hàm số đạt cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị −3 C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −1 D Hàm số có giá trị cực tiểu Lời giải Chọn A f ( x) f ′( x) x=0 x=0 Vì xác định đổi dấu từ dương sang âm qua Câu Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số có điểm cực đại ( 1; −1) ( −1;3) C Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Lời giải ( 1; −1) ( 1;1) Chọn B Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Câu Cho hàm số x y′ y = f ( x) ¡ xác định x1 −∞ − Khi số điểm cực trị hàm số y = f ( x) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA điểm cực đại ( −1;3) có bảng xét dấu đạo hàm sau x2 + ( 1; −1) P x3 − +∞ + Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C Lời giải D Chọn A Do hàm số xác định y = f ( x) Câu ¡ có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần x1 x2 x3 ; ; nên hàm số có ba điểm cực trị Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình bên Tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số ( 1; − ) x=0 A B y = f ( x) ( −1; − ) C Lời giải D ( 0; − 3) Chọn D Câu Cho hàm số ( a; b ) y = f ( x) có đồ thị hình bên Hàm số có điểm cực tiểu khoảng ? y a O A B b x C Lời giải D Chọn A Câu Cho hàm số điểm cực trị? A Câu y = f ( x) có đạo hàm B f ′ ( x ) = x ( x + 1) C Lời giải ( x − 1) Hàm số y = f ( x) có D Chọn A f ′( x) x Ta có đổi dấu qua điểm ; 16 y = x2 + x Cho hàm số Mệnh đề đúng? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A Cực tiểu hàm số C Cực đại hàm số 12 12 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B Cực tiểu hàm số D Cực đại hàm số Lời giải 2 Chọn A TXĐ: D = ¡ \ { 0} y′ = x − 16 x2 ; y′ = ⇔ x = y = x2 + Bảng biến thiên hàm số Câu Câu 16 x 12 Vậy cực tiểu hàm số x1 x2 x1 + x2 y = x3 − 3x + Gọi điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số Tính −1 A B C D Lời giải Chọn D y′ = x − x = ⇔ y′ =  x = −1 Bảng xét dấu x1 = −1 x2 = x1 + x2 = Dựa vào bảng xét dấu, điểm cực đại điểm cực đại nên Hàm số bốn hàm số liệt kê khơng có cực trị? 2x − y= y = x+2 y=x y = −x + x x+2 A B C D Lời giải Chọn C 2x − y= x+2 Hàm số Tập xác định: D = ( −∞; −2 ) ∪ ( −2; +∞ ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y' = ( x + 2) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ > ∀x ∈ D ⇒ Có khơng có cực trị hàm số đồng biến khoảng xác định ⇒ hàm số y′ Các hàm số khác dễ dàng chứng minh có nghiệm đổi dấu qua nghiệm Riêng y′ y′ −2 ¡ −2 hàm số cuối không xác định hàm số xác định đổi dấu qua x = −2 có hàm số có điểm cực trị y = f ( x) f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x − 2019 ) ∀x ∈ ¡ y = f ( x) Câu 10 Hàm số có đạo hàm , Hàm số có tất điểm cực tiểu? 1009 2019 2020 1010 A B C D Lời giải Chọn D x =1 x = f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x − 2019 ) = ⇔     x = 2019 Ta có: f ′( x) = 2019 a 1010 có nghiệm bội lẻ hệ số dương nên có cực tiểu  Mức độ Câu Cho hàm số A y = f ( x) Chọn B có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? B D C Lời giải D = ¡ \ { x1} Tập xác định Theo định lí điều kiện đủ để hàm số có cực trị dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực trị hàm số là: Câu Cho hàm số số A y = f ( x) x2 x4 x5 ; ; y = f ( x) liên tục ¡ f ′( x) có đạo hàm có điểm cực trị? B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) = x−4 Hỏi hàm D Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C Ta có x = f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = Bảng xét dấu Do Câu f ′( x) f ′( x) đổi dấu x sau: 1, 3, y = f ( x) A nên hàm số y = f ( x) có điểm cực trị y = f ( x) y = f ′( x) ¡ Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số đường cong hình bên Hỏi hàm số qua có điểm cực trị ? B C Lời giải D Chọn B Dựa vào đồ thị đổi dấu lần Vậy hàm số Câu Cho hàm số y = f ′( x) y = f ( x) y = f ( x) ta thấy phương trình f ′( x) = có nghiệm giá trị có điểm cực trị liên tục TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ¡ , đồ thị đạo hàm f ′( x) f ′( x) hình vẽ sau: Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y −2 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? f x=0 A đạt cực tiểu f x = −2 C đạt cực đại x O x = −2 đạt cực tiểu f D Cực tiểu nhỏ cực đại Lời giải B f Chọn B  x = −2 f ′( x) = ⇔  x = Từ đồ thị ta có Từ suy bảng biến thiên Câu  x < −2 f ′( x) > ⇔  x > , f ′ ( x ) < ⇔ −2 < x < x = −2 Vậy hàm số đạt cực đại y = x + 3x Biết đồ thị hàm số có dạng hình vẽ: y = x + 3x Hỏi đồ thị hàm số A B có điểm cực trị? C Lời giải D Chọn D có:  x + 3x x + x ≥ ⇔ x ≥ −3  x3 + x x ≥ −3 = =  y = x3 + x − x − 3x x + 3x < ⇔ x < −3 − x − 3x x < −3 y = x + 3x Nên ta lấy phần đối xứng đồ thị hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x < −3 Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU kép x = −1 Tức       ∆′g < m − <   −2 m + = − < m <  g ( −1) =   ⇔ ⇔    ∆′ >  m2 − >  g m =      b′   − m = −1   − = −1   ∆′ =  a  g   ∆′g =  nguyên thỏa mãn u cầu tốn Câu Tìm tất giá trị tham số cực trị điểm m = −10 A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ m Do tập giá trị S = { −2, − 1, 0, 1, 2, 3} để đồ thị hàm số y = x + x + ( m − 3) x + m có hai điểm M ( 9; − 5) nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị m = 10 m=2 m=3 B C D Lời giải Chọn D Ta có y ′ = 3x + x + m − , để hàm số có hai điểm cực trị phương trình ⇔m< y′ = có hai 13 ( *) ⇔ ∆′ > nghiệm phân biệt   2m 26  7m 1 y = y ′  x + ÷ +  − ÷x+ + 3 9  9 Ta có nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị m=3 Câu 7m  2m 26  y= − ÷x + +  9 (thỏa mãn điều kiện ( *) Theo giả thiết, đường thẳng qua M ( 9; − 5) nên ) m y = x + 2mx + Tìm tất giá trị thực tham số cho đồ thị hàm số điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 1 m=− m= 9 m =1 m = −1 A B C D Lời giải Chọn B y = x + 2mx + D=¡ Hàm số có tập xác định: x = y ' = x3 + 4mx ; y ' = ⇔ x3 + 4mx = ⇔ x ( x + m ) = ⇔   x = −m ( ∗) Ta có: TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA có ba Trang 18 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Hàm số có cực trị phương trình ⇔ −m > ⇔ m < ( ∗) có nghiệm phân biệt khác ( ) ( A ( 0;1) ; B − − m ;1 − m ; C − m ;1 − m2 ) Vậy tọa độ điểm là: uuu r uuur AB = − −m ; −m ; AC = − m ; −m Ta có uuur uuur A ⇒ AB AC = ⇔ − m + m m = ⇔ − m + m = ⇔ m + m = ∆ABC Vì vng cân ⇔ m = −1 m0 Hàm số cho có ba điểm cực trị Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: ( C − m ; m − 3m ) A ( 0; −2m + m ) B ; ( ) m ; m − 3m ; ⇒ I ( 0; m − 3m ) Gọi I trung điểm BC A, D ∈ Oy ⇔ Vì , B C đối xứng qua Oy nên tứ giác ABCD hình thoi I trung điểm AD ⇔ ( m − 3m ) = −2m + m − ⇔ m − 4m + = m2 =  m = ±1 m = m >0 ⇔ ⇔  → m = m = m = ±  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho hàm số y = f ( x) , hàm số  5sin x −  (5sin x − 1) g ( x) = f  +3 ÷+   50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y = f ′( x) có đồ thị hình bên Hàm số A B có điểm cực trị khoảng C Lời giải (0; 2π ) D Chọn B Ta có:  5sin x −  g ′( x) = cos xf ′  ÷+ cos x ( 5sin x − 1)    5sin x −  g ′( x ) = ⇔ 5cos xf ′  ÷+ cos x ( 5sin x − 1) =   cos x = ⇔   5sin x −  5sin x −  f ′ =− ÷   2  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ    cos x =   cos x =    5sin x − = −3  cos x =  sin x = −1  5sin x − = −6   5sin x − 1 ⇔ = −1 ⇔ 5sin x − = −2 ⇔ sin x = −       5sin x − 1 5sin x − = = sin x =  3    5sin x − =    5sin x − =1 sin x =       x = π ∨ x = 3π  2   cos x =  3π  x = sin x = −1     1  1 ⇔ sin x = − ⇔  x = π − arc sin  − ÷∨ x = 2π + arc sin  − ÷   5  5    1 1 sin x = x = arc sin  ÷∨ x = π − arc sin  ÷    3  3    3  3 sin x =  x = arc sin  ÷∨ x = π − arc sin  ÷  5 5  Suy phương trình Vậy hàm số Câu g′ ( x ) = y = g ( x) Cho hàm số bậc bốn có f ( x) Số điểm cực trị hàm số A 11 có nghiệm, có nghiệm < x < 2π ) nghiệm kép cực trị có bảng biến thiên sau g ( x) = x [ f ( x + 1) ] B , ( Vì 3π x= C Lời giải D Chọn B g '( x ) = x [ f ( x + 1)] + x [ f ( x + 1)] f '( x + 1) = x [ f ( x + 1) ] [ f ( x + 1) + x f '( x + 1) ] 3 g '( x) = + TH1: ta x=0 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU + TH2: + TH3: 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  x = a < −2  x = b ∈ (−2; −1) f ( x + 1) = ⇔   x = c ∈ (−1;0)  x = d > f ( x + 1) + x f '( x + 1) = f ( x) = −5 x + 10 x − Từ bảng biến thiên ta có hàm số thỏa mãn ⇒ f ( x + 1) + x f '( x + 1) = ⇔ h ( x ) = f ( x + 1) + 2( x + 1) f '( x + 1) − f '( x + 1) = h(t ) = −5t + 10t − + 2t (−20t + 20t ) − 2(−20t + 20t ) = t = x +1 Với ta có: ⇔ −45t + 40t + 50t − 40t − = Lập bảng biến thiên ta suy có Vậy có cực trị ( ) nghiệm t⇒4 nghiệm x Câu Cho hàm số bậc ba giá trị nguyên A có đồ thị hàm đạo hàm m ∈  −5;5 B Chọn A Cách 1: ( ) f' x y=f x ( ) ( ) hình vẽ Số g x = f x + 4f x + m để hàm số C Lời giải ( ) ( ) ( ) f b =1 có điểm cực trị D 10 f x Ta có bảng biến thiên TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA : Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ( ) ( ) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( ) h x = f x + 4f x + m Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ h' ( x) = 2f ' ( x )  f ( x ) + 2   ' ' h ( x ) = ⇒ 2f ( x )  f ( x ) + 2 =    f ' ( x) = x = a;x = b ⇔ ⇔  f ( x ) = −2 x = c ( c〈a ) ⇒ h' x = 2f ' x f x + 4f ' x Pt có ⇒ nghiệm phân biệt ( ) có điểm cực trị h x =0 Xét ( ) ( ) ( ) ⇔ f x + 4f x = −m ( ) ( ) gx = h x Để phân biệt có điểm cực trị PT ( ) ( ) ( 2) có nghiệm đơn nghiệm bội lẻ ( ) t x = f x + 4f x Xét hàm số ( ) t x Ta có Bảng biến thiên ( ) : ⇔ t x = −m Từ YCBT có hai nghiệm đơn nghiệm bội lẻ pb ( ) ( )   −m ≥ t a >  m ≤ −t a < −5     ⇔   −4 < −m ≤ ⇔   −4 < −m ≤ ⇔   −5 ≤ m ≤ 5;m ∈ ¢  −5 ≤ m ≤   { −5 ≤ m <  m∈ ¢  } ⇔ m ∈ −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3 Cách 2: ( ) y=f x Ta có bảng biến thiên hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA : Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ( ) ( ) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( ) h x = f x + 4f x + m Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ h' ( x) = 2f ' ( x )  f ( x ) + 2   ' ' h ( x ) = ⇒ 2f ( x )  f ( x ) + 2 =    f ' ( x) = x = a;x = b ⇔ ⇔  f ( x ) = −2 x = c ( c〈a ) ⇒ h' x = 2f ' x f x + 4f ' x ( ) ( ) ( ) ( ) g x = h x = f x + 4f x + m Từ YCBT ( ) có điểm cực trị khi: ( )  m ≤ f a + 4f (a) < −5  h a ≤       −4 + m < ≤ + m ⇔  −5 ≤ m < m ∈ ¢;m ∈  −5;5   m ∈ ¢;m ∈  −5;5   ⇔ m ∈ −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3 { Câu } Cho hai hàm đa thức thị hàm số y = f ( x) điểm cực trị ( −5;5 ) y = f ( x) B y = g ( x) có đồ thị hai đường cong hình vẽ Biết đồ có điểm cực trị AB = , TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , đồ thị hàm số y = g ( x) Có giá trị nguyên tham số y = f ( x) − g ( x) + m để hàm số A có m có thuộc khoảng điểm cực trị? Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ D C Lời giải Chọn D h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) h′ ( x ) = ⇔ x = x0 Đặt , ta có: ; ; h ( x ) = ⇔ x = x1 x = x2 x1 < x0 < x2 ( ); h ( x0 ) = f ( x0 ) − g ( x0 ) = − y = h( x) Bảng biến thiên hàm số là: h ( x) = f ( x) − g ( x) Suy bảng biến thiên hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA y = k ( x) = f ( x) − g ( x) là: Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do đó, hàm số 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ y = k ( x) + m có ba điểm cực trị y = k ( x) + m y = k ( x) + m Vì số điểm cực trị hàm số tổng số điểm cực trị hàm số k ( x) + m = số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình , mà hàm số y = k ( x) + m y = f ( x) − g ( x) + m có ba điểm cực trị nên hàm số có năm điểm cực trị k ( x) + m = phương trình có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) y = k ( x) k ( x) + m = Dựa vào bảng biến thiên hàm số , phương trình có hai nghiệm −m ≥ 7 ⇔m≤− 4 đơn (hoặc bội lẻ) m≤− m ∈ ( −5;5 ) m ∈ { −4; −3; −2} m∈¢ Vì , nên Câu Có giá trị nguyên tham số x=0 cực tiểu A B m để hàm số y = x8 + ( m − ) x − ( m − ) x + C Lời giải đạt D Vô số Chọn A Ta có y = x8 + ( m − ) x − ( m − ) x + ⇒ y ′ = x + ( m − ) x − ( m − ) x ( ( )) y′ = ⇔ x x + ( m − ) x − m − = x = ⇔  g ( x ) = x + ( m − ) x − ( m − ) = g ( x ) = 8x4 + ( m − ) x − ( m2 − ) g ′ ( x ) = 32 x + ( m − ) Xét hàm số có g′ ( x) = g ( x) = Ta thấy có nghiệm nên có tối đa hai nghiệm g ( x) = x=0 ⇒m=2 m = −2 + TH1: Nếu có nghiệm TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 26 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ g ( x) y′ y′ x=0 Khi nghiệm bội x=0 x=0 đổi dấu từ âm sang dương qua điểm nên điểm cực tiểu hàm số Vậy m=2 thỏa ycbt x = g ( x ) = x − 20 x = ⇔  x =  m = −2 Với Bảng biến thiên Với m=2 x=0 nghiệm bội x=0 m = −2 Dựa vào BBT không điểm cực tiểu hàm số Vậy không thỏa ycbt g ( ) ≠ ⇔ m ≠ ±2 x = ⇔ g ( 0) > + TH2: Để hàm số đạt cực tiểu ⇔ m − < ⇔ −2 < m < Do m∈¢ nên m ∈ { −1;0;1} Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục xác định ¡ m thỏa ycbt có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên y = ( f ( x ) ) + 2mf ( x ) + 2m + 35 tham số A m để hàm số có điểm cực trị B C Lời giải D Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 27 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ g ( x ) = ( f ( x ) ) + 2mf ( x ) + 2m + 35 ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) ( f ( x ) + 2m ) Xét hàm số: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) ( f ( x ) + 2m ) = Cho:  f ′(x) = ⇔ x = −4; x = 1→ cóthê m hai điể m cực trị ⇔ f (x) = −m→ cóít nhấ t mộ t nghiệ m đơn  Đã biết hàm số y = g ( x) đơn phương trình Để hàm số y = g ( x)    g x = f ( x)   ( ) ( ) có số cực trị tổng số điểm cực trị hàm số g ( x) = y = g ( x) số nghiệm có điểm cực trị ta phải có: f ( x) = −m cóđú ng nghiệ m đơn + 2mf ( x) + 2m+ 35 = khô ng cónghiệ m phâ n biệ t  −m ≥  m ≤ −3 ⇔  −5 ≤ m ≤ −3  ⇔ ⇒ m = { −5 ; − ; − ; ; ; 7}   − m ≤ −5 m ≥ 5 ≤ m ≤   ′ ∆ = m − 2m − 35 ≤ ⇔ −5 ≤ m ≤ Suy có giá trị Câu Cho hàm số h>0 m Đặt Gọi S f ( x) m nguyên thỏa mãn có đạo hàm g ( x ) =  x + f ′ ( x )  2019 ¡ thỏa mãn +  x + f ′ ( x )  29 − m tập hợp tất giá trị nguyên Tổng bình phương phần tử 100 50 A B S f ( x + h ) − f ( x − h ) ≤ h2 với − ( m − 29m + 100 ) sin x − m < 27 cho g ( x) x∈¡ , với tham số đạt cực tiểu x=0 108 C Lời giải D 58 Chọn A Với x∈¡ h>0 , ta có f ( x + h ) − f ( x − h ) ≤ h2 ⇔ f ( x + h) − f ( x ) + f ( x) − f ( x − h) h ≤h f ( x + h) − f ( x) f ( x − h) − f ( x) + ≤h h −h Cho h→0 , ta f ′( x) = Khi TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA g ( x ) = x 2019 + x 29− m − ( m − 29m + 100 ) sin x − Trang 28 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + ( 29 − m ) x 28− m − ( m − 29m + 100 ) sin x ⇒ g ′ ( ) = Xét g ′′ ( x ) = 2019.2018 x 2017 + ( 29 − m ) ( 28 − m ) x 27 − m − ( m − 29m + 100 ) cos x ⇒ g ′′ ( ) = −2 ( m − 29m + 100 ) + Nếu  m = ±5 g ′′ ( ) = ⇔ m − 29m + 100 = ⇔   m = ±2 *) Nếu qua m=5 g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 24 x = x 23 23 ( 2019 x 1995 + 24 ) đổi dấu từ âm sang dương x=0 nên thỏa mãn yêu cầu g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 34 x33 = x33 ( 2019 x1985 + 34 ) m = −5 + Nếu đổi dấu từ âm sang dương x=0 qua nên thỏa mãn yêu cầu g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 27 x 26 = x 26 ( 2019 x1992 + 27 ) m=2 x=0 + Nếu khơng đổi dấu qua nên loại g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 31x30 = x 30 ( 2019 x1988 + 31) m = −2 x=0 + Nếu khơng đổi dấu qua nên loại *) Nếu g ′′ ( x ) ≠ g ( x) đạt cực tiểu ⇔ m − 29m + 100 < ⇔ < m < 25 Vậy Câu S = { −5; −4; −3;3; 4;5} Vì x = ⇔ g ′′ ( ) > ⇔ −2 ( m − 29m + 100 ) > m nguyên nên m ∈ { −4; −3;3; 4} S Do tổng bình phương phần tử 100 f ( x ) = x − 2m x − m + + m3 − m + Cho hàm số Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 40 A [ −20; 20] để hàm số cho có điểm cực trị 20 41 B C Lời giải D 23 Chọn D Ta có: f ( x ) = x − 2m x − m + + m − m +  x − 2m ( x − m + ) + m3 − m + x ≥ m − ⇒ f ( x) =   x + 2m ( x − m + ) + m − m + x < m − 2 x − 2m x ≥ m − ( 1) ⇒ f '( x) =  2 x + 2m x < m − ( ) Yêu cầu toán ⇔ f '( x) có điểm qua đổi dấu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( *) Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x − 2m = ⇔ x = m Nhận xét: hàm số 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ (thỏa mãn x ≥ m −5 ) Do x=m điểm cực trị ( *) ⇔ ( ) y' x = m−5 Do đó: vơ nghiệm khơng đổi dấu qua  −m ≥ m − ⇔   ( m − ) − 2m   ( m − ) + 2m  ≥ ⇔ m ≤ ⇒ m ∈ { −20; −19; ; 2} Vậy có Câu 23 số nguyên Cho hàm số m y = f ( x) thỏa mãn có đạo hàm liên tục ¡ f ( ) = 0; f ( ) > có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số A Chọn C Đặt h ( x) = f ( x2 ) − 2x Từ đồ thị ta thấy Với Đặt x>0 t = x2 f ′( x Ta có h′ ( x ) = x f ′ ( x ) − ) ≥ 0, ∀x Do h′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = , ta có x , phương trình trở thành D h′ ( x ) < 0, ∀x < f ′( t ) = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA g ( x ) = f ( x2 ) − x C Lời giải B Biết hàm y = f ′ ( x) t ⇔ t = t0 ∈ ( 0;1) Khi h′ ( x ) = ⇔ x = t0 Trang 30 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU h ( 0) = f ( 0) = Ta có Bảng biến thiên h ( 2) = f ( 4) − > y = h ( x) Từ bảng biến thiên ta có hàm số điểm phân biệt Câu 10 Cho hàm số ⇒ y = f ( x) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Hàm số Hàm số có điểm cực trị đồ thị hàm số y = g ( x) = h ( x) y = f '( x) cắt Ox có ba điểm cực trị có đồ thị hình vẽ y = g ( x ) = f ( x − x + 3) − ( x − ) + Số điểm cực trị đồ thị hàm số 10 A B y = h ( x) C Lời giải ( x − 2) D Chọn D Ta có g ' ( x ) = ( x − ) f ' ( x − x + 3) − ( x − ) + ( x − ) g ' ( x ) = ( x − )  f ' ( x − x + ) + x − x + 1 x = g '( x) = ⇔  2  f ' ( x − x + 3) = − ( x − x + 3) Từ đồ thị hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 31 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y = 2− x 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y = f '( x) Ta có đường thẳng cắt đồ thị x = −2; x = 0; x = 1; x = x = x =   x =  x − x + = −2 ⇔  x − 4x + = ⇔  x =   x = ±  x − 4x + =   x − x + =  x = ±  Vậy (*) Ta có BBT: bốn điểm phân biệt có hoành độ Từ BBT suy đồ thị hàm số có điểm cực trị TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 32 ... đồ thị ( C) Ta có Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc ba có đạo hàm tam thức bậc hai nên ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  Hàm số có cực trị có cực đại có cực tiểu có cực đại cực tiểu có hai cực trị y' = ⇔ ∆>0 có hai... x) + m có ba điểm cực trị y = k ( x) + m y = k ( x) + m Vì số điểm cực trị hàm số tổng số điểm cực trị hàm số k ( x) + m = số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình , mà hàm số y = k ( x) + m... biến thiên: Khẳng định sau đúng? x=0 A Hàm số đạt cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị −3 C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −1 D Hàm số có giá trị cực tiểu Lời giải Chọn A f ( x) f ′( x)