Thông tin tài liệu
DẠNG TOÁN 30: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa y = f ( x) Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng hàm số xác định K Ta nói: y = f ( x) + Hàm số gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a Nhận xét f ( x) g ( x) f ( x) + g ( x) Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) K hàm số đồng f ( x) − g ( x) biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hiệu b Nhận xét f ( x) g ( x) Nếu hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f ( x) , g ( x) không hàm số dương K c Nhận xét Cho hàm số x ∈ ( a; b ) u = u ( x) , xác định với x ∈ ( a; b ) u ( x ) ∈ ( c; d ) Hàm số f u ( x ) xác định với Ta có nhận xét sau: Giả sử hàm số u = u ( x) x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) đồng biến với đồng biến với x ∈ ( a; b ) u ∈ ( c; d ) Khi đó, hàm số f u ( x ) đồng biến với Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Định lí f Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K Khi đó: f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K f a) Nếu hàm số đồng biến K f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ K f b) Nếu hàm số nghịch biến K f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ K f c) Nếu hàm số không đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) hàm số f đồng biến đoạn [ a; b] Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: Định lí (mở rộng định lí 2) f Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K Khi đó: f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K f '( x) = f a) Nếu hữu hạn điểm thuộc K hàm số đồng biến K f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K f '( x) = f b) Nếu hữu hạn điểm thuộc K hàm số đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm f '( x) ≥ f '( x) = x∈K x∈K • Nếu với số hữu hạn điểm hàm K đồng biến f '( x) ≤ f '( x) = x∈K x∈K Nếu với số hữu hạn điểm hàm số • f số f nghịch biến K Chú ý: y= *) Riêng hàm số: ax + b cx + d Có TXĐ tập D Điều kiện sau: y ' > 0, ∀x ∈ D +) Để hàm số đồng biến TXĐ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang +) Để hàm số nghịch biến TXĐ +) Để hàm số đồng biến khoảng y ' > 0, ∀x ∈ D ( a; b ) ( a; b ) Giả sử y ' > 0, ∀x ∈ ( a, b ) d x ≠ − c y ' < 0, ∀x ∈ ( a, b ) d x ≠ − c +) Để hàm số nghịch biến khoảng 2 y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Hàm số đồng biến ¡ Hàm số nghịch biến a > ∆ ≤ ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ a = b = c > c ¡ a < ∆ ≤ ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ a = b = c < a =b=c=0 f ( x) = d Trường hợp hệ số khác (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, đoạn nửa khoảng BÀI TẬP MẪU ¡ Câu 30 (Minh họa 2021) Hàm số đồng biến ? x +1 y= y = x + x y = x − x + x y = x − 3x + x−2 A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tìm đồng biến, nghịch biến hàm số cho trước HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm tập xác định xi y' y' = y' B2: Tìm tìm để khơng xác định B3: Lập bảng biến thiên B4: Két luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải D =¡ , ¡ Hàm số đồng biến trước hết phải có tập xác định loại câu A, xét câu khác Chỉ có ( x - x + x) ¢= x - x +1 > 0, " x Ỵ ¡ y = x3 - x2 + x nên Bài tập tương tự phát triển: đồng biến ¡ Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang y= Câu Câu Câu Cho hàm số x−2 x +1 Mệnh đề đúng? ( −∞; +∞ ) A Hàm số nghịch biến khoảng ( −1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) D Hàm số đồng biến khoảng Lời giải Chọn D ¡ \ { −1} Tập xác định: y' = >0 ∀x ∈ ¡ \ { −1} ( x + 1) Ta có , y = x − 3x Cho hàm số Mệnh đề đúng? ( 0; ) ( 0; ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn B x = ′ y = ⇔ x = y′ = x − x Ta có ; ( 0; ) Lập bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng y = x4 + Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) ( −∞;1) ( 1; +∞ ) A B C D Lời giải Chọn C y = x4 + D=¡ Tập xác định: y ( 0) = y′ = x3 y′ = ⇔ x = ⇔ x = Ta có: ; suy lim y = +∞ lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Giới hạn: ; Bảng biến thiên: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang ( 0; +∞ ) Câu Vậy hàm số đồng biến khoảng y = x − 2x + x + Cho hàm số Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 1 ;1÷ 3 ( 1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng 1 1 −∞; ÷ ;1÷ 3 3 C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng Lời giải Chọn B x =1 y′ = x − x + ⇒ y′ = ⇔ x = Ta có Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng y = x − 2x Câu Cho hàm số 1 ;1÷ 3 Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − 2) ( −1;1) B Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng Lời giải ( −1;1) ( −∞; − 2) Chọn A D=¡ TXĐ: x = y′ = 4x − 4x; y′ = ⇔ 4x − 4x = ⇔ x = x = −1 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang ( −1;0) ( 1; + ∞ ) Suy hàm số đồng biến khoảng , ; hàm số nghịch biến ( −∞; − 1) ( 0;1) ( −∞; − 2) khoảng , Vậy hàm số nghịch biến khoảng Cách 2: Dùng chức mode máy tính kiểm tra đáp án Câu Cho hàm số x3 y = − x + x + 2019 A Hàm số cho đồng biến ¡ B Hàm số cho nghịch biến C Hàm số cho đồng biến D Hàm số cho đồng biến Câu Câu ( −∞;1) ( −∞;1) ( 1; +∞ ) nghịch biến nghịch biến Lời giải ( 1; +∞ ) ( −∞;1) Chọn A y′ = x − x + = ( x − 1) ≥ 0, ∀x y′ = ⇔ x = Ta có (tại hữu hạn điểm) ¡ Do hàm số cho đồng biến − 2x y= x+3 Hàm số nghịch biến R\ { - 3} ( −∞; −3) ( 3; +∞ ) ¡ A B C D Lời giải Chọn C − 2x y= D = ¡ \ {- 3} x+3 Hàm số có tập xác định −11 y'= < 0, ( x + 3) x∈D với ( −∞; −3) ( −3; +∞ ) Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng ¡ Hàm số sau nghịch biến ? y = x3 − 3x + y = x4 + x2 + A B 3 y = −x + 2x − 4x + y = − x − x + 5x − C D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu a =1> ¡ Xét A: hàm số bậc có hệ số NB nên loại A Xét B: hàm số trùng phương ln có cực trị nên loại B y = - x3 + x - x + Þ y ' = - 3x + x - = - x - ( x - 2)2 < 0, " x Ỵ ¡ Xét C: ¡ Do hàm số nghịch biến y = − x3 + 3x − Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) ( −∞ ;0 ) ( 1; ) ( 4; + ∞ ) A B C D Lời giải Chọn A D=¡ Tập xác định y ′ = −3 x + x Ta có: x = y′ = ⇔ x = y′ Bảng xét dấu sau: y′ y = − x3 + x − Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) y = − x + 3x − Vậy hàm số đồng biến khoảng y = x − 4x Câu 10 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞ ; + ∞ ) ( 3; + ∞ ) ( −1; + ∞ ) ( −∞ ;0 ) A B C D Lời giải Chọn B D=¡ Tập xác định ′ y = x − 12 x Ta có y′ = ⇔ x3 − 12 x = Cho x = ⇔ x = ± Bảng xét dấu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( 0; ) Trang Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng khoảng Mức độ y= Câu ( 3; + ∞ ) x +1 ( 3;+ ∞ ) nên đồng biến Hàm số (−∞; +∞) A nghịch biến khoảng đây? (0; +∞) (−∞;0) B C Lời giải D (−1;1) Chọn B y′ = Ta có Câu Câu Câu ( Cho hàm số −4x ) x2 + < 0⇔ x > y = 2x2 + Mệnh đề đúng? ( 0; + ∞ ) ( −∞; ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) ( −1;1) C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn A 2x y′ = x + y′ > ⇔ x > D=¡ Ta có , ; ( −∞; ) ( 0; + ∞ ) Vậy hàm số nghịch biến khoảng đồng biến khoảng Cho hàm số y = x2 − Mệnh đề đúng? ( 1; +∞ ) ( −∞;0 ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) ( −∞; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đồng biến Lời giải Chọn A D = ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ ) Hàm số có tập xác định nên loại B, C, D Cho hàm số y = f ( x) liên tục R có đạo hàm f ′( x) = ( 1− x) ( x + 1) ( − x ) Hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng đây? ( −∞;1) ( −∞; − 1) ( 1;3) A B C Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D ( 3; + ∞ ) Trang x =1 f ′ ( x ) = ⇔ ( − x ) ( x + 1) ( − x ) = ⇔ x = −1 x = 3 Ta có: Bảng xét dấu: Hàm số đồng biến khoảng Câu ( −1;3) Hàm số sau đồng biến khoảng y = − x + 3x A y= B − x2 x ( 0; ) ? y= C Lời giải 2x −1 x −1 y= D x ln x Chọn A y = − x3 + 3x y′ = −3 x + x Xét hàm số có y′ = ⇔ −3 x + x = ⇔ x = Xét dấu Câu Câu x=2 y′ ( 0; ) ta có hàm số đồng biến y = f ( x) f ′ ( x ) = x − x ∀x ∈ ¡ y = −2 f ( x ) Cho hàm số có đạo hàm , Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) ( 0; ) ( 2; +∞ ) ( −∞; −2 ) A B C D Lời giải Chọn B y′ = −2 f ′ ( x ) = −2 x + x > ⇔ x ∈ ( 0; ) Ta có: y = −2 f ( x ) ( 0; ) Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng y = 2018 x − x Hàm số ( 1010; 2018) A nghịch biến khoảng khoảng sau đây? ( 2018; +∞ ) ( 0;1009 ) ( 1; 2018) B C D Lời giải Chọn A D = [ 0; 2018] TXĐ: y′ = ( 2018 x − x − 2x ) ′ = 2018 2018 x − x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA = 1009 − x 2018 x − x ; y ′ = ⇔ x = 1009 Trang y ' < ⇔ x ∈ ( 1009; 2018 ) Câu Câu , suy hàm số nghịch biến khoảng ( 1009; 2018 ) , suy hàm ( 1010; 2018 ) số nghịch biến khoảng y = f ( x) y′ = x Hàm số có đạo hàm Mệnh đề sau đúng? ¡ A Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) B Hàm số nghịch biến đồng biến ¡ C Hàm số đồng biến ( −∞; ) ( 0; +∞ ) D Hàm số đồng biến nghịch biến Lời giải Chọn C y′ = ⇔ x = ⇔ x = Cho hàm y = x2 − x + Mệnh đề sau đúng? ( 5; +∞ ) ( 3; +∞ ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( −∞;3) C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn A D = ( −∞;1] ∪ [ 5; +∞ ) Tập xác định: x −3 y′ = >0 ∀x ∈ ( 5; +∞ ) x − 6x + Ta có , ( 5; +∞ ) Vậy hàm số đồng biến khoảng y = f ( x) Câu 10 Cho hàm số có đạo hàm biến khoảng đây? ( 1; 3) ( −1; ) A B f ′ ( x ) = x ( x − 2) C Lời giải , với ( 0; 1) x∈¡ Hàm số cho nghịch D ( −2; ) Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 Ta có: x = ⇔ f ′( x) = x = Đồng thời Mức độ Câu f ′ ( x ) < ⇔ x ∈ ( 0; ) nên ta chọn đáp án theo đề ( 0; 1) f ( x) = x3 + mx + x + 3 m Có giá trị nguyên tham số cho hàm số đồng ¡ biến A B C D Lời giải Chọn A f ′( x ) = x + 2mx + Ta có f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ¡ Hàm số cho đồng biến (Dấu ‘=’ xảy hữu hạn điểm) Ta có f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ ∆ ' = m2 − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Vì Câu m∈¢ nên Cho hàm số m ∈ { −2; − 1; 0;1; 2} , có giá trị nguyên y = − x3 − mx2 + ( 4m+ 9) x + m thỏa mãn , với m tham số Hỏi có giá trị ( −∞; +∞ ) nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng A B C Lời giải Chọn D Ta có: D=¡ +) TXĐ: y' = −3x2 − 2mx + 4m+ +) ( −∞; +∞ ) Câu D a = −3 < ⇔ y' ≤ 0,∀x ∈ ( −∞; +∞ ) ∆ ' = m + 3( 4m+ 9) ≤ Hàm số nghịch biến ⇔ m∈ − 9; −3 ⇒ có giá trị nguyên m thỏa mãn y = − x3 + mx + ( 3m + ) x + m Cho hàm số Tìm tất giá trị để hàm số nghịch biến ¡ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 A m ≥ −1 m ≤ −2 −2 ≤ m ≤ −1 B Lời giải C −2 < m < −1 D m > −1 m < −2 Chọn B TXĐ: Câu D=¡ , y ¢=- x + 2mx + 3m + y′ ≤ ∀x ∈ ¡ ¡ Hàm số nghịch biến , a = −1 < ⇔ ∆′ = m + 3m + ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ −1 y = x − 3mx + ( 2m − 1) + m ¡ Tìm để hàm số đồng biến m ≠1 m A Khơng có giá trị thỏa mãn B m =1 m C D Luôn thỏa mãn với Lời giải Chọn C y′ = x − 6mx + ( 2m − 1) ∆′ = ( −3m ) − 3.3 ( 2m − 1) Câu ∆′ ≤ ¡ Ta có: Để hàm số ln đồng biến ⇔ 9m − 18m + < ⇔ ( m − 2m + 1) ≤ ⇔ ( m − 1) ≤ ⇔ m = y = x3 + mx + x − m m Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực để hàm số đồng biến khoảng [ −2; 2] A ( −∞; +∞ ) B ( −∞; ) C ( −∞; −2] D [ 2; +∞ ) Lời giải Chọn A y′ = x + 2mx + Ta có: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ ∆ ′ = m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ y= Câu y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) mx − 2m− x− m m S Cho hàm số với tham số Gọi tập hợp tất giá trị nguyên m S để hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số phần tử A Vô số B C D Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 y' = −m2 + 2m+ ( x − m) hàm số đồng biến khoảng xác định y' < ⇔ −m2 + 2m+ < ⇔ −1< m< y= Câu Cho hàm số mx + 4m x+m với m nên có giá trị m nguyên tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên để hàm số nghịch biến khoảng xác định Tìm số phần tử A B Vô số C Lời giải Chọn C D = ¡ \ { − m} y′ = ; Câu m∈¢ nên có ( x + m) A [ 4; ) D y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m − 4m < ⇔ < m < giá trị thỏa mãn Tập hợp tất giá trị thực tham số ( −∞ ; − ) m − 4m Hàm số nghịch biến khoảng xác định Mà S m B ( 4; ] m y= để hàm số C Lời giải ( 4; ) x+4 x+m đồng biến khoảng D ( 4; + ∞ ) Chọn B D = ¡ \ { - m} Tập xác định: m−4 y′ = ( x + m) Ta có: Hàm số cho đồng biến khoảng ( −∞ ; − ) ⇔ y ′ > ∀x ∈ ( −∞ ; − ) , m − > m > m > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔4 ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ; , g ( x) Bảng biến thiên : TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 Vậy Mức độ Câu m ≤1 Có giá trị nguyên âm tham số khoảng A m y = x + mx − để hàm số 5x5 đồng biến ( 0; +∞ ) B C Lời giải 5 D Chọn B y′ = x + m + x6 y′ = x + m + ( 0; +∞ ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) x6 Hàm số đồng biến 1 ⇔ −3 x − ≤ m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) g ( x) = −3 x − ≤ m x ∈ ( 0; +∞ ) x x Xét hàm số , −6( x − 1) g ′( x) = ⇔ x = g ′( x ) = −6 x + = x = −1(loai) x x7 , Bảng biến thiên: Câu −4; −3; −2; −1 m ≥ −4 m Dựa vào BBT ta có , suy giá trị nguyên âm tham số S m Gọi tập hợp tất giá trị tham số để hàm 1 f ( x ) = m x − mx + 10 x − ( m − m − 20 ) x phần tử thuộc A S đồng biến ¡ số Tổng giá trị tất B −2 C Lời giải D Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 Ta có f ′ ( x ) = m x − mx + 20 x − ( m − m − 20 ) = m ( x − 1) − m ( x − 1) + 20 ( x + 1) = m ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) − m ( x − 1) ( x + 1) + 20 ( x + 1) = ( x + 1) m ( x − 1) ( x + 1) − m ( x − 1) + 20 x = −1 f ′( x) = ⇔ 2 m ( x − 1) ( x + 1) − m ( x − 1) + 20 = ( *) Ta có ( *) f ′( x) = f ′( x) có nghiệm đơn đổi dấu qua x = −1 nhận x = −1 x = −1 Do để f ( x) , ( *) đồng biến khơng nhận ¡ x = −1 f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ m= m ( −1 − 1) ( + 1) − m ( −1 − 1) + 20 = ⇔ −4m + 2m + 20 = ⇔ m = −2 Suy Thử lại: 25 f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) + 20 = 4 + Với ta có ⇒ biệt khơng thỏa mãn m = −2 + Với thỏa mãn ta có Tổng giá trị f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) + 20 = m −2 có nghiệm phân có nghiệm kép ⇒ y = x +1+ Câu hay làm nghiệm (bậc lẻ) m= nghiệm m x−2 Tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số đồng biến khoảng xác định ( −∞;0] ( −∞;0 ) [ 0;1) [ 0; + ∞ ) \ { 1} A B C D Lời giải Chọn B D = ¡ \ { 2} • Tập xác định: Hàm số cho đồng biến khoảng xác định khi: m ⇔ 1− ≥ 0, ∀x ∈ D x − ( ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ m ≤ ( x − ) , ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f ( x ) D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 f ( x ) = ( x − 2) Xét hàm số ta có: f '( x) = 2x − ⇒ f '( x ) = ⇔ x = Bảng biến thiên: Câu m≤0 Vậy, để hàm số cho đồng biến khoảng xác định cos x − y= cos x − m Tìm tất giá trị thực tham số để hàm số nghịch biến khoảng π ;π ÷ 2 A 0 ≤ m < m ≤ −1 B 0 < m < m < −1 C Lời giải m≤3 D m ( cos x − m ) > 0, ∀x ∈ ; π ÷: cos x ≠ m 2 2 Vì , π π ; π ÷ ⇔ y′ < ∀x ∈ ; π ÷ 2 2 Để hàm số nghịch biến khoảng m < m − < 0 ≤ m < m − < ⇔ ⇔ m ≤ −1 ⇔ π ⇔ m ≤ −1 cos x ≠ m ∀x ∈ ; π ÷ m ∉ ( −1;0 ) m ≥ Chú ý : Tập giá trị hàm số y= Câu Cho hàm số π y = cos x, ∀x ∈ ; π ÷ 2 (4 − m) − x + 6− x +m Có giá trị nguyên m khoảng ( −8;5) cho hàm số đồng biến 13 14 B A ( −1; ) ( −10;10 ) ? C 12 D 15 Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 Đặt t = − 6− x ( ) x ∈ ( −8;5 ) ⇒ t ∈ − 14; −1 y= Hàm số trở thành −(4 − m)t + −t + m ( tập xác định ) Có giá trị nguyên âm tham số khoảng A ( 0; + ∞ ) đồng biến m − 4m + ⇒ y'= D = ¡ \ { m} (−t + m) m − 4m + > m ≤ − 14 ⇔ m ≤ − 14 ⇔ −1 ≤ m < m > − 14; −1 m ≥ −1 Để hàm số đồng biến khoảng ⇒ m = { −9, −8, −7, −6, −5, −4, −1, 0, 4,5, 6, 7,8,9} Câu ( −8;5) t = − 6− x m có 14 giá trị y= để hàm số x + mx − 2x đồng biến C Lời giải B D Chọn A Tập xác định : y′ = x + m + D=¡ 2x2 ( 0; + ∞ ) Ta có: hàm số cho đồng biến khoảng 3 ⇔ x + m + ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇔ x3 + ≥ − m, ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) 2x 2x ⇔ −m ≤ f ( x ) ( 0; +∞ ) f ( x ) = x3 + ,với ( 1) x2 y′ ≥ với ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) Cách 1: x3 x3 1 1 f ( x) = x + = + + + + ≥ 55 = 2x 2 2x 2x 2x 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có f ( x ) = ( 2) ( 0; +∞ ) x =1 Dấu xảy Do 5 −m ≤ ⇔ m ≥ − ( 1) ( ) m m = −1 m = −2 2 Từ ta có Do nguyên âm nên m Vậy có hai giá trị nguyên âm tham số thỏa mãn điều kiện Cách 2: f ( x ) = x + , ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) 2x Xét hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 f ′ ( x ) = 3x2 − Ta có Bảng biến thiên , f ′( x) = ⇔ x = x3 −m ≤ 5 ⇔m≥− 2 m m = −1 m = −2 Do nguyên âm nên m Vậy có hai giá trị nguyên âm tham số thỏa mãn điều kiện ln x − y= S m ln x − 2m Cho hàm số với tham số Gọi tập hợp giá trị nguyên dương Từ bảng biến thiên ta có Câu m để hàm số đồng biến khoảng A B ( 1;e ) Tìm số phần tử C Lời giải S D Chọn C y = f ( x) = Đặt t = ln x ln x − ln x − 2m , điều kiện t −4 g ( t) = t − 2m Để hàm số t ∈ ( 0;1) g′ ( t ) = ; f ( x) −2m + ( t − 2m ) đồng biến ⇔ g ′ ( t ) > 0, t ∈ ( 0;1) ⇔ ( 1; e ) −2m + ( t − 2m ) hàm số g ( t) đồng biến ( 0;1) > 0, t ∈ ( 0;1) 1 ≤m ⇔ ⇔ 2 2m ∉ ( 0;1) m ≤ S Câu ⇒ S = { 1} tập hợp giá trị nguyên dương S Vậy số phần tử tập π cos x − y= 0; ÷ 2 m cos x − m Tìm để hàm số đồng biến khoảng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 A m ≥ m ≤ −2 B m>2 C Lời giải m ≤ 1 ≤ m < D −1 < m < Chọn C y' = Ta có Câu π ( − sin x ) , ∀x ∈ 0; ÷ 2 ( cos x − m ) 2−m π sin x > 0, ∀x ∈ 0; ÷ 2 Ta có π 0; ÷ 2 Do đó: Hàm số nghịch biến khoảng 2 − m > m < ⇔ m ≤ π ⇔ cos x − m ≠ 0, ∀ x ∈ 0; m ∉ 0;1 ( ) ÷ 1 ≤ m < 2 m Có giá trị nguyên âm tham số để hàm số y = x − x + ( 2m + 15) x − 3m + ( 0; +∞ ) đồng biến khoảng ? A B C D Lời giải Chọn D ⇔ y′ = 3x3 − x + 2m + 15 ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Yêu cầu toán dấu xảy hữu hạn điểm thuộc ( 0; +∞ ) ⇔ x − x + 15 ≥ −2m , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ −2m ≤ g ( x ) ( 0;+∞ ) g ( x) = 3x − x + 15 Xét hàm số: g ′( x) = x − Ta có: x =1 ⇒ ′ g ( x) = x = − (l ) ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên: −2 m ≤ ⇔ m ≥ − Từ BBT ta có: Vậy m ∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 y = 2x −x m + mx +1 ( 1; ) Câu 10 Tìm tất giá trị thực để hàm số đồng biến m > −8 m ≥ −1 m ≤ −8 m < −1 A B C D Lời giải Chọn B Ta có: y′ = ( x − x + m ) x Hàm số đồng biến ⇔ ( x − x + m ) x ( 1; ) − x + mx +1 ln ⇔ y′ ≥ ∀x ∈ ( 1; ) , ln ≥ ∀x ∈ ( 1; ) , ⇔ 3x − x + m ≥ ∀x ∈ ( 1; ) , ⇔ m ≥ −3x + x ∀x ∈ ( 1; ) , − x + mx +1 ⇔ m ≥ max ( −3 x + x ) ( 1;2 ) f ( x ) = −3 x + x Xét hàm số f ′ ( x ) = −6 x + Ta có: , với x ∈ ( 1; ) f ′ ( x ) = ⇔ −6 x + = ⇔ x = Cho Bảng biến thiên: Vậy m ≥ −1 thỏa yêu cầu tốn TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 ... xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm f '( x) ≥ f '( x) = x∈K x∈K • Nếu với số hữu hạn điểm hàm K đồng biến f '( x) ≤ f '( x) = x∈K x∈K Nếu với số hữu hạn điểm hàm số • f số f... Câu Câu Cho hàm số x−2 x +1 Mệnh đề đúng? ( −∞; +∞ ) A Hàm số nghịch biến khoảng ( −1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) D Hàm số đồng biến... Ta có , y = x − 3x Cho hàm số Mệnh đề đúng? ( 0; ) ( 0; ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng
Ngày đăng: 24/06/2021, 16:48
Xem thêm:
