NW359 360 DẠNG 30 TÍNH đơn điệu của hàm số GV

DẠNG TOÁN 30: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa y = f ( x) Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng hàm số xác định K Ta nói: y = f ( x) + Hàm số gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a Nhận xét f ( x) g ( x) f ( x) + g ( x) Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) K hàm số đồng f ( x) − g ( x) biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hiệu b Nhận xét f ( x) g ( x) Nếu hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f ( x) , g ( x) không hàm số dương K c Nhận xét Cho hàm số x ∈ ( a; b ) u = u ( x) , xác định với x ∈ ( a; b ) u ( x ) ∈ ( c; d ) Hàm số f u ( x )  xác định với Ta có nhận xét sau: Giả sử hàm số u = u ( x) x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) đồng biến với đồng biến với x ∈ ( a; b ) u ∈ ( c; d ) Khi đó, hàm số f u ( x )  đồng biến với Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Định lí f Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K Khi đó: f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K f a) Nếu hàm số đồng biến K f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ K f b) Nếu hàm số nghịch biến K f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ K f c) Nếu hàm số không đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) hàm số f đồng biến đoạn [ a; b] Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: Định lí (mở rộng định lí 2) f Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K Khi đó: f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K f '( x) = f a) Nếu hữu hạn điểm thuộc K hàm số đồng biến K f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K f '( x) = f b) Nếu hữu hạn điểm thuộc K hàm số đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm f '( x) ≥ f '( x) = x∈K x∈K • Nếu với số hữu hạn điểm hàm K đồng biến f '( x) ≤ f '( x) = x∈K x∈K Nếu với số hữu hạn điểm hàm số • f số f nghịch biến K Chú ý: y= *) Riêng hàm số: ax + b cx + d Có TXĐ tập D Điều kiện sau: y ' > 0, ∀x ∈ D +) Để hàm số đồng biến TXĐ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang +) Để hàm số nghịch biến TXĐ +) Để hàm số đồng biến khoảng y ' > 0, ∀x ∈ D ( a; b ) ( a; b ) Giả sử  y ' > 0, ∀x ∈ ( a, b )   d x ≠ − c   y ' < 0, ∀x ∈ ( a, b )   d x ≠ − c  +) Để hàm số nghịch biến khoảng 2 y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Hàm số đồng biến ¡ Hàm số nghịch biến  a >   ∆ ≤ ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔   a =  b = c >  c ¡  a <   ∆ ≤ ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔   a =  b = c <  a =b=c=0 f ( x) = d Trường hợp hệ số khác (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số  Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, đoạn nửa khoảng BÀI TẬP MẪU ¡ Câu 30 (Minh họa 2021) Hàm số đồng biến ? x +1 y= y = x + x y = x − x + x y = x − 3x + x−2 A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tìm đồng biến, nghịch biến hàm số cho trước HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm tập xác định xi y' y' = y' B2: Tìm tìm để khơng xác định B3: Lập bảng biến thiên B4: Két luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải D =¡ , ¡ Hàm số đồng biến trước hết phải có tập xác định loại câu A, xét câu khác Chỉ có ( x - x + x) ¢= x - x +1 > 0, " x Ỵ ¡ y = x3 - x2 + x nên Bài tập tương tự phát triển: đồng biến ¡  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang y= Câu Câu Câu Cho hàm số x−2 x +1 Mệnh đề đúng? ( −∞; +∞ ) A Hàm số nghịch biến khoảng ( −1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) D Hàm số đồng biến khoảng Lời giải Chọn D ¡ \ { −1} Tập xác định: y' = >0 ∀x ∈ ¡ \ { −1} ( x + 1) Ta có , y = x − 3x Cho hàm số Mệnh đề đúng? ( 0; ) ( 0; ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn B x = ′ y = ⇔ x = y′ = x − x  Ta có ; ( 0; ) Lập bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng y = x4 + Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) ( −∞;1) ( 1; +∞ ) A B C D Lời giải Chọn C y = x4 + D=¡ Tập xác định: y ( 0) = y′ = x3 y′ = ⇔ x = ⇔ x = Ta có: ; suy lim y = +∞ lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Giới hạn: ; Bảng biến thiên: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang ( 0; +∞ ) Câu Vậy hàm số đồng biến khoảng y = x − 2x + x + Cho hàm số Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 1   ;1÷ 3  ( 1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng 1  1   −∞; ÷  ;1÷ 3  3  C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng Lời giải Chọn B x =1 y′ = x − x + ⇒ y′ = ⇔  x =  Ta có Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến khoảng y = x − 2x Câu Cho hàm số 1   ;1÷ 3  Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − 2) ( −1;1) B Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng Lời giải ( −1;1) ( −∞; − 2) Chọn A D=¡ TXĐ: x =  y′ = 4x − 4x; y′ = ⇔ 4x − 4x = ⇔  x =  x = −1 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang ( −1;0) ( 1; + ∞ ) Suy hàm số đồng biến khoảng , ; hàm số nghịch biến ( −∞; − 1) ( 0;1) ( −∞; − 2) khoảng , Vậy hàm số nghịch biến khoảng Cách 2: Dùng chức mode máy tính kiểm tra đáp án Câu Cho hàm số x3 y = − x + x + 2019 A Hàm số cho đồng biến ¡ B Hàm số cho nghịch biến C Hàm số cho đồng biến D Hàm số cho đồng biến Câu Câu ( −∞;1) ( −∞;1) ( 1; +∞ ) nghịch biến nghịch biến Lời giải ( 1; +∞ ) ( −∞;1) Chọn A y′ = x − x + = ( x − 1) ≥ 0, ∀x y′ = ⇔ x = Ta có (tại hữu hạn điểm) ¡ Do hàm số cho đồng biến − 2x y= x+3 Hàm số nghịch biến R\ { - 3} ( −∞; −3) ( 3; +∞ ) ¡ A B C D Lời giải Chọn C − 2x y= D = ¡ \ {- 3} x+3 Hàm số có tập xác định −11 y'= < 0, ( x + 3) x∈D với ( −∞; −3) ( −3; +∞ ) Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng ¡ Hàm số sau nghịch biến ? y = x3 − 3x + y = x4 + x2 + A B 3 y = −x + 2x − 4x + y = − x − x + 5x − C D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu a =1> ¡ Xét A: hàm số bậc có hệ số NB nên loại A Xét B: hàm số trùng phương ln có cực trị nên loại B y = - x3 + x - x + Þ y ' = - 3x + x - = - x - ( x - 2)2 < 0, " x Ỵ ¡ Xét C: ¡ Do hàm số nghịch biến y = − x3 + 3x − Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) ( −∞ ;0 ) ( 1; ) ( 4; + ∞ ) A B C D Lời giải Chọn A D=¡ Tập xác định y ′ = −3 x + x Ta có: x = y′ = ⇔  x = y′ Bảng xét dấu sau: y′ y = − x3 + x − Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) y = − x + 3x − Vậy hàm số đồng biến khoảng y = x − 4x Câu 10 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞ ; + ∞ ) ( 3; + ∞ ) ( −1; + ∞ ) ( −∞ ;0 ) A B C D Lời giải Chọn B D=¡ Tập xác định ′ y = x − 12 x Ta có y′ = ⇔ x3 − 12 x = Cho x = ⇔ x = ± Bảng xét dấu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( 0; ) Trang Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng khoảng  Mức độ y= Câu ( 3; + ∞ ) x +1 ( 3;+ ∞ ) nên đồng biến Hàm số (−∞; +∞) A nghịch biến khoảng đây? (0; +∞) (−∞;0) B C Lời giải D (−1;1) Chọn B y′ = Ta có Câu Câu Câu ( Cho hàm số −4x ) x2 + < 0⇔ x > y = 2x2 + Mệnh đề đúng? ( 0; + ∞ ) ( −∞; ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) ( −1;1) C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn A 2x y′ = x + y′ > ⇔ x > D=¡ Ta có , ; ( −∞; ) ( 0; + ∞ ) Vậy hàm số nghịch biến khoảng đồng biến khoảng Cho hàm số y = x2 − Mệnh đề đúng? ( 1; +∞ ) ( −∞;0 ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) ( −∞; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đồng biến Lời giải Chọn A D = ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ ) Hàm số có tập xác định nên loại B, C, D Cho hàm số y = f ( x) liên tục R có đạo hàm f ′( x) = ( 1− x) ( x + 1) ( − x ) Hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng đây? ( −∞;1) ( −∞; − 1) ( 1;3) A B C Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D ( 3; + ∞ ) Trang  x =1 f ′ ( x ) = ⇔ ( − x ) ( x + 1) ( − x ) = ⇔  x = −1  x = 3 Ta có: Bảng xét dấu: Hàm số đồng biến khoảng Câu ( −1;3) Hàm số sau đồng biến khoảng y = − x + 3x A y= B − x2 x ( 0; ) ? y= C Lời giải 2x −1 x −1 y= D x ln x Chọn A y = − x3 + 3x y′ = −3 x + x Xét hàm số có y′ = ⇔ −3 x + x = ⇔ x = Xét dấu Câu Câu x=2 y′ ( 0; ) ta có hàm số đồng biến y = f ( x) f ′ ( x ) = x − x ∀x ∈ ¡ y = −2 f ( x ) Cho hàm số có đạo hàm , Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) ( 0; ) ( 2; +∞ ) ( −∞; −2 ) A B C D Lời giải Chọn B y′ = −2 f ′ ( x ) = −2 x + x > ⇔ x ∈ ( 0; ) Ta có: y = −2 f ( x ) ( 0; ) Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng y = 2018 x − x Hàm số ( 1010; 2018) A nghịch biến khoảng khoảng sau đây? ( 2018; +∞ ) ( 0;1009 ) ( 1; 2018) B C D Lời giải Chọn A D = [ 0; 2018] TXĐ: y′ = ( 2018 x − x − 2x ) ′ = 2018 2018 x − x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA = 1009 − x 2018 x − x ; y ′ = ⇔ x = 1009 Trang y ' < ⇔ x ∈ ( 1009; 2018 ) Câu Câu , suy hàm số nghịch biến khoảng ( 1009; 2018 ) , suy hàm ( 1010; 2018 ) số nghịch biến khoảng y = f ( x) y′ = x Hàm số có đạo hàm Mệnh đề sau đúng? ¡ A Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) B Hàm số nghịch biến đồng biến ¡ C Hàm số đồng biến ( −∞; ) ( 0; +∞ ) D Hàm số đồng biến nghịch biến Lời giải Chọn C y′ = ⇔ x = ⇔ x = Cho hàm y = x2 − x + Mệnh đề sau đúng? ( 5; +∞ ) ( 3; +∞ ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( −∞;3) C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn A D = ( −∞;1] ∪ [ 5; +∞ ) Tập xác định: x −3 y′ = >0 ∀x ∈ ( 5; +∞ ) x − 6x + Ta có , ( 5; +∞ ) Vậy hàm số đồng biến khoảng y = f ( x) Câu 10 Cho hàm số có đạo hàm biến khoảng đây? ( 1; 3) ( −1; ) A B f ′ ( x ) = x ( x − 2) C Lời giải , với ( 0; 1) x∈¡ Hàm số cho nghịch D ( −2; ) Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 Ta có: x = ⇔ f ′( x) = x = Đồng thời  Mức độ Câu f ′ ( x ) < ⇔ x ∈ ( 0; ) nên ta chọn đáp án theo đề ( 0; 1) f ( x) = x3 + mx + x + 3 m Có giá trị nguyên tham số cho hàm số đồng ¡ biến A B C D Lời giải Chọn A f ′( x ) = x + 2mx + Ta có f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ¡ Hàm số cho đồng biến (Dấu ‘=’ xảy hữu hạn điểm) Ta có f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ ∆ ' = m2 − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Vì Câu m∈¢ nên Cho hàm số m ∈ { −2; − 1; 0;1; 2} , có giá trị nguyên y = − x3 − mx2 + ( 4m+ 9) x + m thỏa mãn , với m tham số Hỏi có giá trị ( −∞; +∞ ) nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng A B C Lời giải Chọn D Ta có: D=¡ +) TXĐ: y' = −3x2 − 2mx + 4m+ +) ( −∞; +∞ ) Câu D a = −3 < ⇔ y' ≤ 0,∀x ∈ ( −∞; +∞ ) ∆ ' = m + 3( 4m+ 9) ≤ Hàm số nghịch biến ⇔ m∈ −  9; −3 ⇒ có giá trị nguyên m thỏa mãn y = − x3 + mx + ( 3m + ) x + m Cho hàm số Tìm tất giá trị để hàm số nghịch biến ¡ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 A  m ≥ −1  m ≤ −2  −2 ≤ m ≤ −1 B Lời giải C −2 < m < −1 D  m > −1  m < −2  Chọn B TXĐ: Câu D=¡ , y ¢=- x + 2mx + 3m + y′ ≤ ∀x ∈ ¡ ¡ Hàm số nghịch biến ,  a = −1 < ⇔  ∆′ = m + 3m + ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ −1 y = x − 3mx + ( 2m − 1) + m ¡ Tìm để hàm số đồng biến m ≠1 m A Khơng có giá trị thỏa mãn B m =1 m C D Luôn thỏa mãn với Lời giải Chọn C y′ = x − 6mx + ( 2m − 1) ∆′ = ( −3m ) − 3.3 ( 2m − 1) Câu ∆′ ≤ ¡ Ta có: Để hàm số ln đồng biến ⇔ 9m − 18m + < ⇔ ( m − 2m + 1) ≤ ⇔ ( m − 1) ≤ ⇔ m = y = x3 + mx + x − m m Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực để hàm số đồng biến khoảng [ −2; 2] A ( −∞; +∞ ) B ( −∞; ) C ( −∞; −2] D [ 2; +∞ ) Lời giải Chọn A y′ = x + 2mx + Ta có: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ ∆ ′ = m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ y= Câu y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) mx − 2m− x− m m S Cho hàm số với tham số Gọi tập hợp tất giá trị nguyên m S để hàm số đồng biến khoảng xác định Tìm số phần tử A Vô số B C D Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 y' = −m2 + 2m+ ( x − m) hàm số đồng biến khoảng xác định y' < ⇔ −m2 + 2m+ < ⇔ −1< m< y= Câu Cho hàm số mx + 4m x+m với m nên có giá trị m nguyên tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên để hàm số nghịch biến khoảng xác định Tìm số phần tử A B Vô số C Lời giải Chọn C D = ¡ \ { − m} y′ = ; Câu m∈¢ nên có ( x + m) A [ 4; ) D y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m − 4m < ⇔ < m < giá trị thỏa mãn Tập hợp tất giá trị thực tham số ( −∞ ; − ) m − 4m Hàm số nghịch biến khoảng xác định Mà S m B ( 4; ] m y= để hàm số C Lời giải ( 4; ) x+4 x+m đồng biến khoảng D ( 4; + ∞ ) Chọn B D = ¡ \ { - m} Tập xác định: m−4 y′ = ( x + m) Ta có: Hàm số cho đồng biến khoảng ( −∞ ; − ) ⇔ y ′ > ∀x ∈ ( −∞ ; − ) , m − > m > m > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔4 ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ; , g ( x) Bảng biến thiên : TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 Vậy  Mức độ Câu m ≤1 Có giá trị nguyên âm tham số khoảng A m y = x + mx − để hàm số 5x5 đồng biến ( 0; +∞ ) B C Lời giải  5 D Chọn B y′ = x + m + x6 y′ = x + m + ( 0; +∞ ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) x6 Hàm số đồng biến 1 ⇔ −3 x − ≤ m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) g ( x) = −3 x − ≤ m x ∈ ( 0; +∞ ) x x Xét hàm số , −6( x − 1) g ′( x) = ⇔  x = g ′( x ) = −6 x + =  x = −1(loai)  x x7 , Bảng biến thiên: Câu −4; −3; −2; −1 m ≥ −4 m Dựa vào BBT ta có , suy giá trị nguyên âm tham số S m Gọi tập hợp tất giá trị tham số để hàm 1 f ( x ) = m x − mx + 10 x − ( m − m − 20 ) x phần tử thuộc A S đồng biến ¡ số Tổng giá trị tất B −2 C Lời giải D Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 Ta có f ′ ( x ) = m x − mx + 20 x − ( m − m − 20 ) = m ( x − 1) − m ( x − 1) + 20 ( x + 1) = m ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) − m ( x − 1) ( x + 1) + 20 ( x + 1) = ( x + 1) m ( x − 1) ( x + 1) − m ( x − 1) + 20  x = −1 f ′( x) = ⇔  2  m ( x − 1) ( x + 1) − m ( x − 1) + 20 = ( *) Ta có ( *) f ′( x) = f ′( x) có nghiệm đơn đổi dấu qua x = −1 nhận x = −1 x = −1 Do để f ( x) , ( *) đồng biến khơng nhận ¡ x = −1 f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡  m=  m ( −1 − 1) ( + 1) − m ( −1 − 1) + 20 = ⇔ −4m + 2m + 20 = ⇔   m = −2 Suy Thử lại:  25  f ′ ( x ) = ( x + 1)  ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) + 20  = 4  + Với ta có ⇒ biệt khơng thỏa mãn m = −2 + Với thỏa mãn ta có Tổng giá trị f ′ ( x ) = ( x + 1)  ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) + 20  = m −2 có nghiệm phân có nghiệm kép ⇒ y = x +1+ Câu hay làm nghiệm (bậc lẻ) m= nghiệm m x−2 Tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số đồng biến khoảng xác định ( −∞;0] ( −∞;0 ) [ 0;1) [ 0; + ∞ ) \ { 1} A B C D Lời giải Chọn B D = ¡ \ { 2} • Tập xác định: Hàm số cho đồng biến khoảng xác định khi: m ⇔ 1− ≥ 0, ∀x ∈ D x − ( ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ m ≤ ( x − ) , ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f ( x ) D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 f ( x ) = ( x − 2) Xét hàm số ta có: f '( x) = 2x − ⇒ f '( x ) = ⇔ x = Bảng biến thiên: Câu m≤0 Vậy, để hàm số cho đồng biến khoảng xác định cos x − y= cos x − m Tìm tất giá trị thực tham số để hàm số nghịch biến khoảng π   ;π ÷ 2  A 0 ≤ m <  m ≤ −1  B 0 < m <  m < −1  C Lời giải m≤3 D m ( cos x − m ) > 0, ∀x ∈  ; π ÷: cos x ≠ m 2  2  Vì , π  π   ; π ÷ ⇔ y′ < ∀x ∈  ; π ÷ 2  2  Để hàm số nghịch biến khoảng m < m − < 0 ≤ m <  m − <  ⇔ ⇔   m ≤ −1 ⇔  π  ⇔   m ≤ −1 cos x ≠ m ∀x ∈  ; π ÷ m ∉ ( −1;0 ) m ≥      Chú ý : Tập giá trị hàm số y= Câu Cho hàm số π  y = cos x, ∀x ∈  ; π ÷ 2  (4 − m) − x + 6− x +m Có giá trị nguyên m khoảng ( −8;5) cho hàm số đồng biến 13 14 B A ( −1; ) ( −10;10 ) ? C 12 D 15 Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 Đặt t = − 6− x ( ) x ∈ ( −8;5 ) ⇒ t ∈ − 14; −1 y= Hàm số trở thành −(4 − m)t + −t + m ( tập xác định ) Có giá trị nguyên âm tham số khoảng A ( 0; + ∞ ) đồng biến m − 4m + ⇒ y'= D = ¡ \ { m} (−t + m)  m − 4m + >  m ≤ − 14   ⇔   m ≤ − 14 ⇔  −1 ≤ m <  m > − 14; −1    m ≥ −1 Để hàm số đồng biến khoảng ⇒ m = { −9, −8, −7, −6, −5, −4, −1, 0, 4,5, 6, 7,8,9} Câu ( −8;5) t = − 6− x m có 14 giá trị y= để hàm số x + mx − 2x đồng biến C Lời giải B D Chọn A Tập xác định : y′ = x + m + D=¡ 2x2 ( 0; + ∞ ) Ta có: hàm số cho đồng biến khoảng 3 ⇔ x + m + ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇔ x3 + ≥ − m, ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) 2x 2x ⇔ −m ≤ f ( x ) ( 0; +∞ ) f ( x ) = x3 + ,với ( 1) x2 y′ ≥ với ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) Cách 1: x3 x3 1 1 f ( x) = x + = + + + + ≥ 55 = 2x 2 2x 2x 2x 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có f ( x ) = ( 2) ( 0; +∞ ) x =1 Dấu xảy Do 5 −m ≤ ⇔ m ≥ − ( 1) ( ) m m = −1 m = −2 2 Từ ta có Do nguyên âm nên m Vậy có hai giá trị nguyên âm tham số thỏa mãn điều kiện Cách 2: f ( x ) = x + , ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) 2x Xét hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 f ′ ( x ) = 3x2 − Ta có Bảng biến thiên , f ′( x) = ⇔ x = x3 −m ≤ 5 ⇔m≥− 2 m m = −1 m = −2 Do nguyên âm nên m Vậy có hai giá trị nguyên âm tham số thỏa mãn điều kiện ln x − y= S m ln x − 2m Cho hàm số với tham số Gọi tập hợp giá trị nguyên dương Từ bảng biến thiên ta có Câu m để hàm số đồng biến khoảng A B ( 1;e ) Tìm số phần tử C Lời giải S D Chọn C y = f ( x) = Đặt t = ln x ln x − ln x − 2m , điều kiện t −4 g ( t) = t − 2m Để hàm số t ∈ ( 0;1) g′ ( t ) = ; f ( x) −2m + ( t − 2m ) đồng biến ⇔ g ′ ( t ) > 0, t ∈ ( 0;1) ⇔ ( 1; e ) −2m + ( t − 2m ) hàm số g ( t) đồng biến ( 0;1) > 0, t ∈ ( 0;1) 1 ≤m ⇔ ⇔ 2  2m ∉ ( 0;1) m ≤ S Câu ⇒ S = { 1} tập hợp giá trị nguyên dương S Vậy số phần tử tập  π cos x − y=  0; ÷  2 m cos x − m Tìm để hàm số đồng biến khoảng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 A m ≥  m ≤ −2  B m>2 C Lời giải m ≤ 1 ≤ m <  D −1 < m < Chọn C y' = Ta có Câu  π ( − sin x ) , ∀x ∈  0; ÷  2 ( cos x − m ) 2−m  π sin x > 0, ∀x ∈  0; ÷  2 Ta có  π  0; ÷  2 Do đó: Hàm số nghịch biến khoảng 2 − m >   m < ⇔ m ≤   π ⇔ cos x − m ≠ 0, ∀ x ∈ 0; m ∉ 0;1 ( )   ÷  1 ≤ m <   2   m Có giá trị nguyên âm tham số để hàm số y = x − x + ( 2m + 15) x − 3m + ( 0; +∞ ) đồng biến khoảng ? A B C D Lời giải Chọn D ⇔ y′ = 3x3 − x + 2m + 15 ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Yêu cầu toán dấu xảy hữu hạn điểm thuộc ( 0; +∞ ) ⇔ x − x + 15 ≥ −2m , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ −2m ≤ g ( x ) ( 0;+∞ ) g ( x) = 3x − x + 15 Xét hàm số: g ′( x) = x − Ta có:  x =1 ⇒ ′ g ( x) =  x = − (l ) ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên: −2 m ≤ ⇔ m ≥ − Từ BBT ta có: Vậy m ∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 y = 2x −x m + mx +1 ( 1; ) Câu 10 Tìm tất giá trị thực để hàm số đồng biến m > −8 m ≥ −1 m ≤ −8 m < −1 A B C D Lời giải Chọn B Ta có: y′ = ( x − x + m ) x Hàm số đồng biến ⇔ ( x − x + m ) x ( 1; ) − x + mx +1 ln ⇔ y′ ≥ ∀x ∈ ( 1; ) , ln ≥ ∀x ∈ ( 1; ) , ⇔ 3x − x + m ≥ ∀x ∈ ( 1; ) , ⇔ m ≥ −3x + x ∀x ∈ ( 1; ) , − x + mx +1 ⇔ m ≥ max ( −3 x + x ) ( 1;2 ) f ( x ) = −3 x + x Xét hàm số f ′ ( x ) = −6 x + Ta có: , với x ∈ ( 1; ) f ′ ( x ) = ⇔ −6 x + = ⇔ x = Cho Bảng biến thiên: Vậy m ≥ −1 thỏa yêu cầu tốn TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 ... xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm f '( x) ≥ f '( x) = x∈K x∈K • Nếu với số hữu hạn điểm hàm K đồng biến f '( x) ≤ f '( x) = x∈K x∈K Nếu với số hữu hạn điểm hàm số • f số f... Câu Câu Cho hàm số x−2 x +1 Mệnh đề đúng? ( −∞; +∞ ) A Hàm số nghịch biến khoảng ( −1; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) D Hàm số đồng biến... Ta có , y = x − 3x Cho hàm số Mệnh đề đúng? ( 0; ) ( 0; ) A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng