Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí Sử dụng lược đồ Hoắc-le (Horner) để chia đa thức Giới thiệu sơ đồ Hoắc-le Phân tích đa thức thành nhân tử kiến thức sử dụng toán nhân chia đa thức với đa thức Đặc biệt phân thức có chứa biến hay chia đa thức ứng dụng chương trình tốn lớp tốn lớp Có nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, có tốn đa thức bạn học sinh gặp khó khăn việc phân tích, điển hình đa thức có bậc lớn Biết điều đó, GiaiToan biên soạn tài liệu để giúp bạn học sinh tiếp cận với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức nhân tử cách tiết kiệm thời gian xác Lược đồ Horner hay phương pháp Horner cách: 1) Một thuật toán để biến đổi đa thức 2) Một phương pháp để tính xấp xỉ nghiệm đa thức Phương pháp đặt tên theo nhà toán học người Anh William George Horner, phương pháp biết đến trước Paolo Ruffini sáu trăm năm trước nhà toán học Trung Quốc Tần Cửu Thiều (nguồn: wikipedia) Cách sử dụng sơ đồ Hoắc-le Lược đồ Horner (Hoocne/ Hoắc - le/ Hắc - le) ứng dụng để tìm đa thức thương dư phép chia đa thức f ( x ) cho đa thức x − , ta thực sau: Cho đa thức f ( x ) có bậc n: f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − + + an −1 x1 + an Khi đa thức thương g ( x ) = b0 x n−1 + b1 x n−2 + + bn −1 đa thức dư xác định theo lược đồ sau: Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí x a0 a1 … an −1 an b0 = a0 b1 = b0 + a1 … bn −1 = bn − 2 + an −1 r = bn −1 + an Ta cách làm theo bước sau: Bước 1: Sắp xếp hệ số đa thức f ( x ) theo ẩn giảm dần đặt số vào cột hàng thứ Nếu đa thức mà khuyết ẩn ta coi hệ số phải điền vào lược đồ Bước 2: Cột thứ hàng ta hạ hệ số a0 hàng xuống Đây hệ số g ( x ) tìm được, tức b0 Bước 3: Lấy số nhân với hệ số vừa tìm hàng cộng chéo với hệ số hàng (Ví dụ ta muốn tìm hệ số b1 hàng thứ hai, trước tiên ta lấy nhân với hệ số b0 sau cộng với hệ số a1 hàng trên; tương tự ta muốn tìm hệ số b2 hàng thứ hai, trước tiên ta lấy nhân với hệ số b1 sau cộng với hệ số a2 hàng trên,….) Quy tắc ghi nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO Bước 4: Cứ tiếp tục hệ số cuối kết ta có f ( x ) = ( x − ) g ( x ) + r hay a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − + + an −1 x1 + an = ( x − ) ( b0 x n −1 + b1 x n − + + bn −1 ) + r ❖ Chú ý: + Bậc đa thức g ( x ) nhỏ bậc đa thức f ( x ) đơn vị đa thức chia x − có bậc + Nếu r = đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g ( x ) x = nghiệm đa thức f ( x ) Trong trường hợp phân tích đa thức thành nhân tử Để tìm , ta nhẩm nghiệm nguyên đa thức f ( x ) , nghiệm mà ta vừa nhẩm Ví dụ 1: Thực phép chia đa thức f ( x ) = x − 3x + x − cho đa thức x − Lời giải: Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí Dựa vào hướng dẫn ta có lược đồ Hoắc-le sau: x -3 =2 2.2 + = 2.6 – = 2.7 + = 21 2.6 + = 18 Đa thức g ( x ) tìm là: g ( x ) = x + x + x + 21 r = 18 Vậy chia đa thức f ( x ) = x − 3x + x − cho đa thức x − ta được: f ( x ) = ( x − ) ( x3 + x + x + 21) + 18 Tuy nhiên khơng phải lúc tốn u cầu thực phép chia đa thức lược đồ Hoắc-le Vậy số trường hợp sau ta sử dụng lược đồ: + Chia đa thức cho đa thức cách nhanh + Tìm nghiệm phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc lớn 4… + Phân tích đa thức thành nhân tử (với đa thức có bậc lớn 3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình x3 − 11x − 19 x − = Lời giải: Với phương trình này, nhẩm nghiệm, ta x = nghiệm phương trình Vì thế, ta phân tích đa thức f ( x ) = x − 11x − 19 x − thành nhân tử cách chia đa thức cho x − Ta có lược đồ Hoắc-le sau: x -11 -19 -6 =3 3.6 – 11 = 3.7 – 19 = 3.2 – = Vậy chia đa thức f ( x ) = x3 − 11x − 19 x − cho đa thức x − ta được: f ( x ) = ( x − 3) ( x + x + ) Tiếp tục phân tích đa thức x + x + thành nhân tử, ta Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí x2 + x + = x + 3x + x + = ( x + 1)( x + ) Vậy đa thức f ( x ) sau phân tích đa thức thành thành tích đa thức bậc f ( x ) = ( x − 3)( x + 1)( 3x + ) Nghiệm phương trình x = 3; x = − ; x = Vận dụng lược đồ Hoắc-le toán Bài 1: Thực phép chia đa thức: a) x + x + x − cho x − b) x + x − x + cho x + c) x + x − x + x + cho x − d) x − x + x + x − cho x + 10 Bài 2: Giải phương trình sau: a) x5 − x − x3 − x3 − x − = b) x3 − 12 x + 16 = c) (x + x + )( x + x + 3) = d) x − 21x3 + 34 x + 105 x + 50 = Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 −2 ... ( x ) nhỏ bậc đa thức f ( x ) đơn vị đa thức chia x − có bậc + Nếu r = đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g ( x ) x = nghiệm đa thức f ( x ) Trong trường hợp phân tích đa thức thành nhân... + x + 21 r = 18 Vậy chia đa thức f ( x ) = x − 3x + x − cho đa thức x − ta được: f ( x ) = ( x − ) ( x3 + x + x + 21) + 18 Tuy nhiên khơng phải lúc tốn u cầu thực phép chia đa thức lược đồ... f ( x ) = x − 11x − 19 x − thành nhân tử cách chia đa thức cho x − Ta có lược đồ Hoắc-le sau: x -11 -19 -6 =3 3.6 – 11 = 3.7 – 19 = 3.2 – = Vậy chia đa thức f ( x ) = x3 − 11x − 19 x − cho