ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BẢO TRÂN BỀ MẶT ĐỒNG NHẤT TRONG R4 Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2021 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Trường Đại học Sư phạm vào ngày 00/00/2021 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Trường Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu tính đồng affine đồng chỉnh siêu diện thực không gian phức vấn đề cấp thiết giải tích phức đại Cơng trình E Cartan mô tả đầy đủ siêu diện thực đồng không gian phức chiều Tuy nhiên, số chiều tăng lên không gian C3 , C4 tốn mơ tả đầy đủ siêu diện thực đồng chưa giải quyết, toán mở cho nghiên cứu Trong năm gần có vài cơng trình nhà tốn hoc vấn đề liên quan công bố, Fels G., Kaup W., Beloshapka V.K., Loboda A.V Chính vậy, tơi chọn đề tài "Bề mặt đồng R4 " để nghiên cứu, với hi vọng có kết đề tài này, góp phần hồn thiện lĩnh vực nghiên cứu tốn mơ tả đầy đủ siêu diện thực đồng không gian C3 , C4 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu bề mặt đồng R4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các thông số ma trận đại số thực phép toán ngoặc - Các bề mặt đồng R4 Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu sưu tầm được, báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn Tìm hiểu trình bày kết đề tài theo hiểu biết cách ngắn gọn, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết 2 - Trong luận văn có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực sau: Giải tích, đại số tuyến tính Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành chương: Chuơng Lý thuyết sở 1.1 Các khái niệm tính đồng bề mặt 1.2 Đại số Lie Chương Bề mặt đồng R4 2.1 Đánh giá thông số ma trận đại số thực phép toán ngoặc 2.2 Ứng dụng Maple để tính tốn 2.3 Các bề mặt đồng R4 CHƯƠNG LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Các khái niệm tính đồng bề mặt Định nghĩa 1.1.1 Đa tạp M gọi đồng nhóm G (nhóm phép biến đổi) đó, nhóm tác dụng bắc cầu lên M , nghĩa là, biến điểm thành điểm đa tạp phép biến đổi thích hợp từ nhóm G Định nghĩa 1.1.2 Đa tạp M nhúng Cn gọi đồng affine điểm Q bất kì, tồn nhóm Lie nhóm phép biến đổi affine Af f (n, C) không gian Cn tác dụng bắc cầu lên M lân cận điểm Q 1.2 Đại số Lie Định nghĩa 1.2.1 Cho K trường L K - KGVT Ta nói L K - đại số Lie L trang bị phép toán (gọi tích Lie ngoặc Lie) [., ] : L × L → L (x, y) → [x, y] thỏa mãn điều kiện sau: i) Phép toán [., ] ánh xạ song tuyến tính ii) Phép toán [., ] phản xứng, tức [x, x] = 0, ∀x ∈ L iii) [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = với ∀x, y, z ∈ L (đồng thức Jacobi) 4 CHƯƠNG BỀ MẶT ĐỒNG NHẤT TRONG R4 2.1 Đánh giá thông số ma trận đại số thực phép toán ngoặc Một phần quan trọng việc phân loại siêu bề mặt thực đồng mặt hình học khơng gian phức C4 mô tả ống siêu bề mặt đồng không gian R4 Chúng ta giảm phương trình ban đầu bề mặt thành dạng chuẩn (chuẩn) affine Các đa thức F2 , F3 đơn giản hóa Trong luận văn tác giả xem xét trường hợp F2 suy biến, xét c13 = c23 = Khi đó, phương trình tắc bề mặt R4 có dạng: x4 = F2 + F3 + F + · · · Trong đó: F2 = x1 x2 , F3 = x31 + a1 x32 + a2 x21 + a3 x1 x2 + a4 x22 x3 Cho siêu diện thực giải tích M qua gốc tọa độ khơng gian R4 M đồng affine lân cận điểm theo Định nghĩa 1.1.2 Điều có nghĩa nhóm Aff(4, C) có G(M ) - nhóm phép biến đổi Lie (địa phương) tác dụng bắc cầu lên M gốc tọa độ Các phép biến đổi vi phân tương ứng với thành phần nhóm G(M ) có dạng sau: ∂ ∂ +(a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 +a24 x4 ) ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ + (a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 ) + (a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 ) ∂x3 ∂x4 E1 = (a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 +a14 x4 +1) ∂ ∂ +(b21 x1 +b22 x2 +b23 x3 +b24 x4 +1) ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ + (b31 x1 + b32 x2 + b33 x3 + b34 x4 ) + (b41 x1 + b42 x2 + b43 x3 + b44 x4 ) ∂x3 ∂x4 E2 = (b11 x1 +b12 x2 +b13 x3 +b14 x4 ) ∂ ∂ + (c21 x1 + c22 x2 + c23 x3 + c24 x4 ) ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ + (c31 x1 + c32 x2 + c33 x3 + c34 x4 + 1) + (c41 x1 + c42 x2 + c43 x3 + c44 x4 ) ∂x3 ∂x4 (2.1) E3 = (c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + c14 x4 ) Trong a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a31 , a32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 , b11 , b12 , b13 , b14 , b21 , b22 , b23 , b24 , b31 , b32 , b33 , b34 , b41 , b42 , b43 , b44 , c11 , c12 , c13 , c14 c21 , c22 , c23 , c24 , c31 , c32 , c33 , c34 , c41 , c42 , c43 , c44 số thực Từ đại số trường vectơ affine dạng (2.1), ta biểu diễn thành ma trận sau: a11 a21 E1 := a31 a41 b11 b21 E2 := b31 b41 c11 c21 E3 := c31 c41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 b12 b22 b32 b42 c12 c22 c32 c42 b13 b23 b33 b43 c13 c23 c33 c43 b14 b24 b34 b44 c14 c24 c34 c44 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Dấu ngoặc ma trận (hoán tử) tương ứng với dấu ngoặc trường vectơ: [Ei , Ej ] = Ei Ej − Ej Ei Đối với trường vectơ affine tiếp xúc với bề mặt thực M khơng gian R4 , tiếp xúc viết dạng đồng thức: Ek (Φ) ≡ (2.2) Trong Φ = −x4 + (F2 + F3 ) + · · · định nghĩa hàm xác định bề mặt Đồng thức (2.2), mà sau gọi đồng thức bản, viết dạng mở rộng: E1 : ∂Φ [a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 (F2 + F3 + · · · ) + 1] ∂x + [a x + a x + a x + a (F + F + · · · ) + 0] ∂Φ + 21 22 23 24 ∂x2 ∂Φ [a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 (F2 + F3 + · · · ) + 0] ∂x + [a x + a x + a x + a (F + F + · · · ) + 0] ∂Φ3 41 42 43 44 ∂x4 ∂Φ [b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 + b14 (F2 + F3 + · · · ) + 0] ∂x + [b x + b x + b x + b (F + F + · · · ) + 1] ∂Φ + 21 22 23 24 ∂x2 ∂Φ + [b31 x1 + b32 x2 + b33 x3 + b34 (F2 + F3 + · · · ) + 0] ∂x [b x + b x + b x + b (F + F + · · · ) + 0] ∂Φ3 41 42 43 44 ∂x4 ∂Φ [c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + c14 (F2 + F3 + · · · ) + 0] ∂x + [c x + c x + c x + c (F + F + · · · ) + 0] ∂Φ + 21 22 23 24 ∂x2 ∂Φ [c31 x1 + c32 x2 + c33 x3 + c34 (F2 + F3 + · · · ) + 1] ∂x + [c x + c x + c x + c (F + F + · · · ) + 0] ∂Φ3 41 42 43 44 ∂x4 ≡0 E2 : ≡0 E3 : ≡0 Từ dạng ban đầu phương trình tắc bề mặt, tác giả khai triển hàm theo bậc xem xét thành phần bậc 1, dạng bản: E1 : [a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 (F2 + F3 + · · · ) + 1] x2 + [a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 (F2 + F3 + · · · ) + 0] x1 + ∂Φ [a31 x1 + a32 x2 + a33 x + a34 (F2 + F3 + · · · ) + 0] ∂x + [a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 (F2 + F3 + · · · ) + 0] (−1) E2 : [b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 + b14 (F2 + F3 + · · · ) + 0] x2 + [b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 + b24 (F2 + F3 + · · · ) + 1] x1 + ∂Φ [b31 x1 + b32 x2 + b33 x + b34 (F2 + F3 + · · · ) + 0] ∂x + [b41 x1 + b42 x2 + b43 x3 + b44 (F2 + F3 + · · · ) + 0] (−1) E3 : ∂F3 ∂x1 ∂F3 ∂x2 ∂F3 ∂x1 ∂F3 ∂x2 + ··· + ··· ≡0 + ··· + ··· ≡0 [c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + c14 (F2 + F3 + · · · ) + 0] x2 + [c21 x1 + c22 x2 + c23 x3 + c24 (F2 + F3 + · · · ) + 0] x1 + ∂Φ [c31 x1 + c32 x2 + c33 x + c34 (F2 + F3 + · · · ) + 1] ∂x + [c41 x1 + c42 x2 + c43 x3 + c44 (F2 + F3 + · · · ) + 0] (−1) ∂F3 ∂x1 ∂F3 ∂x2 + ··· + ··· ≡0 Xét bậc 1: E1 : { −a41 x1 ; (1 − a42 ) x2 ; −a43 x3 } ≡ E2 : { (1 − b41 ) x1 ; −b42 x2 ; −b43 x3 } ≡ E3 : { −c41 x1 ; −c42 x2 ; −c43 x3 } ≡ Suy ra: a41 = 0; a42 = 1; a43 = 0; b41 = 1; b42 = 0; b43 = 0; c41 = 0; c42 = 0; c43 = Xét bậc 2: E1 : (3 + a21 ) x21 ; (a11 + a22 − a44 ) x1 x2 ; a12 x22 ; (2a2 + a23 ) x1 x3 ; (a3 + a13 ) x2 x3 ≡ E2 : b21 x21 ; (b11 + b22 − b44 ) x1 x2 ; (3a1 + b12 ) x22 ; (a3 + b23 ) x1 x3 ; (2a4 + b13 ) x22 ≡ E3 : (a2 + c21 ) x21 ; (a3 + c11 + c22 − c44 ) x1 x2 ; (a4 + c12 ) x22 ≡ Suy ra: a21 = −3; a44 = a11 + a22 ; a12 = 0; a23 = −2a2 ; a13 = −a3 ; b21 = 0; b44 = b11 + b22 ; b12 = −3a1 ; b23 = −a3 ; b13 = −2a4 ; c21 = −a2 ; c44 = a3 + c11 + c22 ; c12 = −a4 Khi đó, bề mặt đồng R4 tương ứng với ma trận đại số sau: a11 −a3 a14 a24 0 −3 a22 −2a2 a a a a 0 E1 = 33 34 31 32 a11 + a22 0 0 0 b11 E2 = b31 c11 −a2 E3 = c31 0 2.2 −3a1 −2a4 b14 b22 −a3 b24 1 b32 b33 b34 0 0 b11 + b22 0 0 −a4 c14 c22 c24 0 c32 c33 c34 1 0 a3 + c11 + c22 0 0 (2.3) Ứng dụng Maple để tính tốn Ta cần xem xét phép toán ngoặc W ij = [Ei , Ej ] = Ei Ej − Ej Ei (1 ≤ i, j ≤ 3) cho tất cặp ma trận sở Đồng thời, cặp Ei , Ej cần thỏa đẳng thức: W ij = [Ei , Ej ] = αE1 + βE2 + γE3 , α, β, γ số thực Các cột cuối phép toán ngoặc ma trận sở có dạng: −b11 −a3 − c11 a22 −a2 W 12 : a32 − b31 ; W 13 : a33 − c31 0 0 −a4 −a3 − c22 W 23 : b33 − c32 0 Các hệ số α, β, γ biểu diễn tuyến tính qua e-các phần tử ma trận sở Tức là: [E1 , E2 ] = E1 E2 − E2 E1 = −b11 E1 + a22 E2 + (a32 − b31 )E3 [E1 , E3 ] = E1 E3 − E3 E1 = (−a3 − c11 )E1 + (−a2 )E2 + (a33 − c31 )E3 [E2 , E3 ] = E2 E3 − E3 E2 = −a4 E1 + (−a3 − c22 )E2 + (b33 − c32 )E3 Đặt: Rij = W ij − (αE1 − βE2 − γE3 ) Mỗi Rij ma trận cấp 5, mà hàng cuối cột cuối chứa phần tử không Như vậy, cần giải · · = 48 phương trình Việc giải hệ 48 phương trình với 28 tham số phức tạp nên phạm vi luận văn tác giả xem xét trường hợp a1 = 0; a2 = 0; a3 = 1; a4 = Định lý 2.2.1 Chỉ có họ đại số ma trận chiều Lie tương ứng với nghiệm hệ Hai số họ tham số, họ hai họ cịn lại mơ tả tham số Thực thay a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1, a4 = thu gọn, phân tích đa thức thành nhân tử vế trái phương trình U Z1, U Z4, U Z5, U Z6, U Z8, U Z9, U Z10, U Z12, U Z16, U Z17, U Z20, U Z22, U Z24, U Z25, U Z26, U Z28, U Z32, U Z33, U Z37, U Z40 Khi đó, phương trình viết lại sau: U Z1 := −b31 + a14 + b11 a11 − a22 b11 − c11 a32 + b31 c11 = U Z4 := −b34 + b11 a14 + a14 b22 − 2a22 b14 − c14 a32 + b31 c14 = U Z5 U Z6 := := −6b11 + a24 + 3b22 + a31 = a32 − b24 + a22 b11 − a22 b22 − a32 c22 + c22 b31 = U Z8 := −3b14 + 2b11 a24 + a34 − b24 a11 − a22 b24 − a32 c24 + c24 b31 = U Z9 := 2a31 b11 +a33 b31 +a34 −b31 a11 +3b32 −b33 a31 −a22 b31 −c31 a32 +c31 b31 =0 U Z10 := a32 b22 +a33 b32 −2b32 a22 −b33 a32 −b34 +b11 a32 −c32 a32 +c32 b31 = U Z12 := a31 b14 + a32 b24 + a33 b34 + 2b11 a34 + a34 b22 − b31 a14 − b32 a24 − b33 a34 − b34 a11 − 2a22 b34 − c34 a32 + c34 b31 = 10 U Z16 := b24 −a14 +b11 a11 −a22 b22 −a32 −c11 a32 −a32 c22 +b31 +b31 c11 +c22 b31 =0 U Z17 −c31 + a11 + a11 c11 − c11 a33 + c11 c31 := = U Z20 := −c34 + 2a14 + c11 a14 + a14 c22 − c14 a22 − c14 a33 + c14 c31 = U Z22 −c24 + a22 + a22 c11 − c22 a33 + c22 c31 := = U Z24 := −3c14 + 2a24 + 2a24 c11 − c24 a11 − c24 a33 + c24 c31 = U Z25 2a31 c11 − c31 a11 + 3c32 − c33 a31 + a31 + c231 := = U Z26 := a32 c22 − c32 a22 − c33 a32 − c34 + a32 + c11 a32 + c32 c31 = U Z28 := a31 c14 + a32 c24 + 2a34 + 2a34 c11 + a34 c22 − c31 a14 − c32 a24 − c33 a34 − c34 a11 − c34 a22 + c34 c31 = U Z32 := c24 + a11 + a22 + a11 c11 + a22 c11 − a33 − c11 a33 − c22 a33 + c31 + c11 c31 + c22 c31 = U Z33 U Z37 := := −c14 + b11 + b11 c22 − c11 b33 + c11 c32 −c32 + b22 + b22 c22 − c22 b33 = + c22 c32 U Z40 := b31 c11 − c31 b11 − c33 b31 − c34 + b31 + c22 b31 + c32 c31 = (3.1) Trước hết rút b32 , b33 , a33 , c32 , c33 , c22 từ phương trình U Z2, U Z3, U Z7, U Z18, U Z19, U Z21 theo tham số cịn lại, ta hệ phương trình (3.2) 11 Thay giá trị vừa tìm hệ (3.2) vào U Z4, U Z5, U Z6, U Z20, U Z22, U Z9, U Z25 (3.1) thực thu gọn vế trái phương trình Khi ta hệ phương trình (3.3) Rút b34 , b22 , b24 , c34 , c24 , b14 , c14 từ phương trình U Z4, U Z5, U Z6, U Z20, U Z22, U Z9, U Z25 hệ (3.3) theo tham số lại, ta hệ phương trình (3.4) Tiếp tục thay giá trị vừa thu hệ (3.2), hệ (3.4) vào phương trình U Z37, U Z33 (3.1) thực thu gọn, phân tích đa thức thành nhân tử vế trái Ta hệ phương trình: U Z37 := −(c11 + 1)(2c31 + a22 ) =0 U Z33 := (c11 + 1)(−2a31 c11 + c31 a11 − c31 − 2a31 + 6b11 ) = Do đó, ta chia thành hai trường hợp: ▷ Xét trường hợp 1: c11 = −1 Thay giá trị vừa tìm hệ (3.2), hệ (3.4), c11 = −1 vào phương trình U Z32 (3.1) thu gọn ta c31 = Thay giá trị tìm hệ (3.2), (3.4), c11 = −1, c31 = vào U Z1, U Z16 (3.1) thực thu gọn, ta hệ phương trình (3.5) Từ tìm b31 , a32 hệ (3.6) Thay giá trị tìm hệ (3.2), (3.4), (3.6), c11 = −1, c31 = vào U Z8, U Z10 (3.1) thực thu gọn ta được: U Z8 := b11 a211 − 2a31 + 2a24 − a222 = U Z10 := − a22 (−2a222 a24 − 2a222 a31 − 2a11 a22 a24 − 2a11 a22 a31 + 6a11 a22 b11 +12a22 a14 −12a31 b11 +12a11 a14 −a231 −12a34 −a224 −27b211 −2a24 a31 +6b11 a211 + 12b11 a24 ) = (3.7) Lúc này, việc giải hệ phương trình chia thành bốn trường hợp con: ◦ Xét trường hợp 1.1: b11 = 0; a22 = 12 Bộ nghiệm trường hợp là: a11 = a11 , a12 = 0, a13 = −1, a14 = a14 , a21 = −3, a22 = 0, a23 = 0, a24 = a24 , a31 = a31 , a32 = a14 , a33 = 0, a34 = a34 , a41 = 0, a42 = 1, a43 = 0, a44 = a11 , 1 1 b11 = 0, b12 = 0, b13 = 0, b14 = − a11 a14 + a34 , b21 = 0, b22 = − a24 − a31 , 3 3 1 b23 = −1, b24 = a14 , b31 = a14 , b32 = a11 a14 − a34 , b33 = 0, b34 = − a14 (a24 3 1 +a31 ), b41 = 1, b42 = 0, b43 = 0, b44 = − a24 − a31 , c11 = −1, c12 = 0, c13 = 0, 3 c14 = 0, c21 = 0, c22 = −1, c23 = 0, c24 = 0, c31 = 0, c32 = 0, c33 = −1, c34 = 0, c41 = 0, c42 = 0, c43 = 0, c44 = −1 ◦ Xét trường hợp 1.2: b11 = 0; a22 ̸= Bộ nghiệm trường hợp là: a11 = a11 , a12 = 0, a13 = −1, a14 = a14 , a21 = −3, a22 = a22 , a23 = 0, 1 a24 = a24 , a31 = a31 , a32 = − a22 a24 − a22 a31 +a14 , a33 = 0, a34 = − a11 a22 a24 3 1 1 1 − a11 a22 a31 − a222 a24 − a222 a31 +a11 a14 +a22 a14 − a224 − a24 a31 − a231 , 6 12 12 a41 = 0, a42 = 1, a43 = 0, a44 = a11 + a22 , a45 = 0, b11 = 0, b12 = 0, b13 = 0, 1 b14 = − (a24 + a31 )2 , b21 = 0, b22 = − a24 − a31 , b23 = −1, b24 = a14 36 3 1 1 − a22 a24 − a22 a31 , b31 = a14 − a22 a24 − a22 a31 , b32 = (a24 +a31 )2 , b33 = 6 6 36 b34 = − (a24 + a31 )(−a22 a24 − a22 a31 + 6a14 ), b41 = 1, b42 = 0, b43 = 0, 18 1 b44 = − a24 − a31 , c11 = −1, c12 = 0, c13 = 0, c14 = 0, a21 = 0, c22 = −1 3 c23 = 0, c24 = 0, c31 = 0, c32 = 0, c33 = −1, c34 = 0, c41 = 0, c42 = 0, c43 = 0, c44 = −1 ◦ Xét trường hợp 1.3: b11 ̸= 0; a22 = 13 Bộ nghiệm trường hợp là: a11 = a11 , a12 = 0, a13 = −1, a14 = a14 , a21 = −3, a22 = 0, a23 = 0, 1 a24 = − a211 + a31 , a31 = a31 , a32 = a14 , a33 = 0, a34 = − a411 + a211 a31 48 +a11 a14 − a231 , a41 = 0, a42 = 1, a43 = 0, a44 = a11 , b11 = b11 , b12 = 0, b13 = 0, b14 = − a211 − 4a31 a211 − 4a31 + 24b11 , b21 = 0, b22 = a211 − a31 144 1 (a + 2b11 , b23 = −1, b24 = a14 − a11 b11 , b31 = a11 b11 + a14 , b32 = 2 144 11 − 4a31 ) a211 − 4a31 + 24b11 , b33 = 0, b34 = a14 (a211 − 4a31 + 18b11 ), b41 = 1, 2 b42 = 0, b43 = 0, b44 = 3b11 + a11 − a31 , c11 = −1, c12 = 0, c13 = 0, c14 = 0, a21 = 0, c22 = −1, c23 = 0, c24 = 0, c31 = 0, c32 = 0, c33 = −1, c34 = 0, c41 = 0, c42 = 0, c43 = 0, c44 = −1 ◦ Xét trường hợp 1.4: b11 ̸= 0; a22 ̸= Hệ 48 phương trình vơ nghiệm ▷ Xét trường hợp 2: c31 = − 21 a22 b11 = 12 a11 a22 + 31 a31 c11 + 24 a22 + 31 a31 (3.8) Thay giá trị tìm hệ (3.2), hệ (3.4), hệ (3.8) vào U Z17, U Z24, U Z26, U Z40 (3.1) thực thu gọn ta hệ (3.9) Rút a11 , a31 , a14 , a32 từ phương trình U Z17, U Z24, U Z26, U Z40 (3.9), ta thu hệ phương trình (3.10) Tiếp tục thay giá trị tìm hệ (3.2), (3.4),hệ (3.8), hệ (3.10) vào phương trình U Z28 (3.1) thu gọn Từ tìm a34 nghiệm cịn lại Bộ nghiệm trường hợp là: a22 (−1 + c11 ) , a12 = 0, a13 = −1, c11 + 1 a322 c11 − 4a22 a24 c211 − 8a22 a24 c11 − 8b31 c211 − 4a22 a24 − 16b31 c11 − 8b31 =− , (c11 + 1)2 a222 c11 − 2a24 c211 − 4a24 c11 − 2a24 = −3, a22 = a22 , a23 = 0, a24 = a24 , a31 = − , (c11 + 1)2 a11 = a14 a21 14 a322 c11 − 4a22 a24 c211 − 8a22 a24 c11 + 24b31 c211 − 4a22 a24 + 48b31 c11 + 24b31 a32 = , 24 (c11 + 1)2 1 4 2 a33 = 0, a34 = − (3a22 c11 − 12a22 a24 c11 + 5a22 c11 − 48a22 a24 c11 48 (c11 + 1) −72a22 b31 c411 +16a224 c411 +a422 c11 −64a222 a24 c211 −240a22 b31 c311 +64a224 c311 −32a222 a24 c11 −288a22 b31 c211 +96a224 c211 −4a222 a24 −144a22 b31 c11 +64a224 c11 −24a22 b31 +16a224 ), a22 (−1 + c11 ) + a22 , a41 = 0, a42 = 1, a43 = 0, a44 = c11 + 1 a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 b11 = − , b12 = 0, b13 = 0, 12 c11 + (2c11 + 1) a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 b14 = , b21 = 0, 144 (c11 + 1)4 c11 a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 b22 = − , b23 = −1, (c11 + 1)2 a322 c11 − 4a22 a24 c211 − 8a22 a24 c11 − 12b31 c211 − 4a22 a24 − 24b31 c11 − 12b31 b24 = − , 12 (c11 + 1)2 (2c11 + 1)(a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 )2 b31 = b31 , b32 = − , 144 (c11 + 1)4 1 ((3c11 + 1)(a222 c11 b33 = 0, b34 = 288 (c11 + 1) −4a24 c11 −8a24 c11 −4a24 )(a22 c11 −4a22 a24 c211 −8a22 a24 c11 −24b31 c211 −4a22 a24 − 48b31 c11 − 24b31 )), b41 = 1, b42 = 0, b43 = 0, (3c11 + 1)(a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 ) , c11 = c11 , c12 = 0, b44 = − 12 (c11 + 1)2 a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 , c21 = 0, c22 = 2c11 + 1, c13 = 0, c14 = − c11 + 1 −1 a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 c23 = 0, c24 = a22 , c31 = a22 , c32 = , 2 c11 + c33 = −1, a3 c11 − 4a22 a24 c211 − 8a22 a24 c11 − 24b31 c211 − 4a22 a24 − 48b31 c11 − 24b31 c34 = − 22 , c11 + c41 = 0, c42 = 0, c43 = 0, c44 = + 3c11 2.3 Các bề mặt đồng R4 Các bề mặt đồng R4 tương ứng với đại số ma trận (trường vectơ) sau: 15 ▷ Đại số thứ có từ nghiệm trường hợp 1.1, phụ thuộc vào tham số a11 , a14 , a24 , a31 , a34 : a11 −1 a14 a24 −3 a a E1 = 31 14 a34 a11 0 0 E2 = 0 0 0 0 − 31 a11 a14 + 31 a34 − 13 a24 − 13 a31 −1 a14 1 a14 a11 a14 − a34 − a14 (a24 + a31 ) 0 − 13 a24 − 31 a31 0 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 1 E3 = 0 −1 0 0 0 0 ▷ Đại số thứ hai có từ nghiệm trường hợp 1.2, phụ thuộc vào tham số a11 , a14 , a22 , a24 , a31 : a11 −1 a14 a22 a24 0 −3 a 2b − a a 0 E1 = 24 14 34 31 a11 + a22 0 0 0 0 − 36 (a24 + a31 )2 − (a24 + a31 ) −1 b24 1 E2 = b24 (a24 + a31 ) − b24 (a24 + a11 ) 36 0 − 31 (a24 + a11 ) 0 0 −1 0 0 0 −1 E3 = 0 −1 0 −1 0 0 0 0 Với: 1 (a24 + a31 )2 a34 = − a22 (a24 + a31 ) (a11 + a22 ) + a14 (a11 + a22 ) − 12 a22 b24 = a14 − (a24 + a31 ) 16 ▷ Đại số thứ ba có đượcc từ nghiệm trường hợp 1.3, phụ thuộc vào tham số a11 , a14 , a31 , b11 : E1 = E2 = a11 −1 a14 −3 0 a31 − 21 a211 a31 a14 a11 a14 − R48 a11 0 0 b11 (R + 12b11 ) R(R+24b11 ) a11 b11 + a14 144 0 −1 0 −1 0 −1 E3 = 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 11 ) − R(R+24b 144 a14 − 12 a11 b11 a14 (R+18b11 ) 0 R+18b11 0 0 1 0 Với: R = a211 − 4a31 ▷ Đại số thứ tư có từ nghiệm trường hợp 2, phụ thuộc vào tham số a22 , a24 , b31 , c11 : E1 = a11 −1 −3 a22 a31 a32 0 0 0 3a22 R + b31 a24 a34 a11 + a22 0 R (c11 + 1) 0 R2 (2c11 + 1) 0 2Rc11 −1 Ra22 + b31 R a (3c +1) 22 11 E2 = + Rb31 (3c11 + 1) b31 −R (2c11 + 1) 0 R (3c11 + 1) 0 0 0 c11 0 2R (c11 + 1) 2c11 + 0 a22 3Ra (c +1) 22 11 E3 = − a22 −2R (c11 + 1) −1 + 3b (c + 1) 31 11 0 + 3c11 0 0 0 17 Với: a22 (−1 + c11 ) c11 + −1 a222 c11 − 2a24 c211 − 4a24 c11 − 2a24 = (c11 + 1)2 a11 = a31 a32 = a322 c11 − 4a22 a24 c211 − 8a22 a24 c11 + 24b31 c211 − 4a22 a24 + 48b31 c11 + 24b31 24 (c11 + 1)2 R= a34 = − 48 (c 11 +1) −1 a222 c11 − 4a24 c211 − 8a24 c11 − 4a24 12 (c11 + 1)2 (3a422 c311 − 12a222 a24 c411 + 5a422 c211 − 48a222 a24 c311 − 72a22 b31 c411 + 16a224 c411 + a422 c11 − 64a222 a24 c211 − 240a22 b31 c311 + 64a224 c311 − 32a222 a24 c11 −288a22 b31 c211 +96a224 c211 −4a222 a24 −144a22 b31 c11 +64a224 c11 −24a22 b31 +16a224 ) Như vậy, định lí 2.2.1 chứng minh 18 KẾT LUẬN Trong luận văn em tìm đại số ma trận tương ứng bề mặt đồng R4 Đồng thời, em đưa quy trình cụ thể để tìm kiếm ma trận với trợ giúp phần mềm Maple Tuy nhiên, kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực cịn nhiều hạn chế Rất mong góp ý, xây dựng quý thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! ... a 11 ? ?1 a14 −3 0 a 31 − 21 a 211 a 31 a14 a 11 a14 − R48 a 11 0 0 b 11 (R + 12 b 11 ) R(R+24b 11 ) a 11 b 11 + a14 14 4 0 ? ?1 0 ? ?1 0 ? ?1 E3 = 0 0 0 0 ? ?1 0 0 0 ? ?1 0 0 11 ) − R(R+24b 14 4 a14... b22 = a 211 − a 31 144 1 (a + 2b 11 , b23 = ? ?1, b24 = a14 − a 11 b 11 , b 31 = a 11 b 11 + a14 , b32 = 2 14 4 11 − 4a 31 ) a 211 − 4a 31 + 24b 11 , b33 = 0, b34 = a14 (a 211 − 4a 31 + 18 b 11 ), b 41 = 1, 2 b42... 24b 31 c 11 − 12 b 31 b24 = − , 12 (c 11 + 1) 2 (2c 11 + 1) (a222 c 11 − 4a24 c 211 − 8a24 c 11 − 4a24 )2 b 31 = b 31 , b32 = − , 14 4 (c 11 + 1) 4 1 ((3c 11 + 1) (a222 c 11 b33 = 0, b34 = 288 (c 11 + 1) −4a24 c11