Tích phân đại số ma trận trong r4 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HUỲNH QUANG NHẬT TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN TRONG R4 Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Trường Đại học Sư phạm vào ngày 00/00/2021 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Trường Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu tính đồng affine đồng chỉnh siêu diện thực không gian phức vấn đề cấp thiết giải tích phức đại Cơng trình E Cartan mơ tả đầy đủ siêu diện thực đồng không gian phức chiều Tuy nhiên số chiều tăng lên khơng gian C3 , C4 tốn mơ tả đầy đủ siêu diện thực đồng chưa giải quyết, toán mở cho nghiên cứu Tích phân đại số ma trận R4 vấn đề quan trọng liên quan đến tốn mơ tả đầy đủ Tích phân ma trận thường sử dụng số lĩnh vực Vật lý Tốn học, ví dụ: lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên Trong luận văn này, xây dựng phương pháp tính tích phân tập ma trân vng thực R4 với vài ví dụ nhằm chứng minh rõ ràng cách tính tích phân ma trận.m Nhận thấy việc tìm hiểu tích phân ma trận cần thiết có ý nghĩa thực tiễn nên tơi định chọn đề tài “TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN TRONG R4 " làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tính tích phân đại số ma trận mathbbR4 Để đạt mục tiêu trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Đại số Lie - Phương trình đạo hàm riêng - Phương trình vi phân - Chéo hóa ma trận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: + Đại số Lie, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, + Sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực: Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Đại số Lie, Phương trình vi phân, Mơ tả nghiệm tốn tích phân đại số ma trận R4 cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu số tính chất liên quan đến việc giải phương trình vi - tích phân Ứng dụng tính chất nghiên cứu vào giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hệ thống khoa học Trong luận văn có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực sau đây: Giải tích, đại số tuyến tính, đại số Lie, Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, Cấu trúc luận văn Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: khái niệm đại số Lie, định nghĩa, định lí phương trình đạo hàm riêng phương pháp tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Chương II: Giới thiệu tốn tích phân đại số ma trận R4 tìm nghiệm tốn cách giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng 3 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường L K - KGVT Ta nói L K - đại số Lie L trang bị thêm phép nhân gọi tích Lie (hay móc Lie) [., ]: LxL −→ L (x, y) −→[x, y] gọi tích Lie x với y thỏa mãn tiên đề sau: i) (L1 ): [., ] song tuyến tính ii) (L2 ) : [., ] phản xứng: [x, x] = 0, ∀x ∈ L iii) (L3 ) : [., ] thỏa mãn đồng Jacobi: [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = Nhận xét 1.1.2 - Trên K bất kì, L trang bị tích Lie tầm thường [x, y] = 0, ∀x, y ∈ L để trở thành đại số Lie Khi đó, ta gọi L đại số Lie giao hoán - Trên K− KGVT L ta trang bị nhiều hay vô số đại số Lie khác thay đổi tích Lie khác - Mỗi đại số Lie KGVT nên số chiều đại số Lie số chiều KGVT Cho L không gian hữu hạn chiều trường K Giả sử số chiều L n Cấu trúc đại số Lie L cho móc Lie cặp vector thuộc sở e1 , e2 , , en chọn trước L sau: n ckij ek , ≤ i < j ≤ n [ei , ej ] = k=1 Các hệ số cki, , ≤ i < j ≤ n gọi số cấu trúc đại số Lie L sở chọn 1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp Định nghĩa 1.2.1 Một phương trình liên hệ biến độc lập: x1 , x2 , , xn ; ẩn hàm u2 (x1 , x2 , , xn ) uN (x1 , x2 , , xn ) đạo hàm riêng ẩn hàm đó, gọi phương trình đạo hàm riêng (PTDHR) Dạng tổng quát phương trình đạo hàm riêng ẩn hàm u1 , u2 , , uN biến độc lập: x1 , x2 , , xn là: F ∂ k ui x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , , uN , , ∂x1 k1 ∂xn kn i = 1, N , k ∈ Z∗ n i=1 ki =0 (1.1) = k , F hàm nhiều biến Định nghĩa 1.2.2 Cấp phương trình (1.1) cấp cao đao hàm có mặt phương trình (1.1) Một phương trình khơng có mặt đạo hàm riêng khơng phải phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng cấp cấp hai ẩn hàm u hai biến x, y có dạng: F F x, y, u, ∂u ∂u , ∂x ∂y =0 ∂u ∂u ∂ u ∂ u ∂ u x, y, u, , , , , ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y (1.2) =0 (1.3) Định nghĩa 1.2.3 Phương trình (1.1) gọi tuyến tính F hàm tuyến tính ẩn hàm u1 , u2 , , uN đạo hàm riêng chúng có mặt phương trình Phương trình khơng tuyến tính gọi phương trình phi tuyến Nếu F tuyến tính đạo hàm riêng cấp cao phương trình (1.1) gọi phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.2.4 Hệ (u1 , u2 , , uN ) gọi nghiệm (1.1) thay hệ vào (1.1), ta đồng thức biến độc lập 5 Định nghĩa 1.2.5 Phương trình tuyến tính cấp ẩn hàm u x1 , x2 , , xn phương trình có dạng: n Xi (x1 , x2 , , xn , u) i=1 ∂u = f (x1 , x2 , , xn , u) ∂xi (1.4) Xi , i = 1, n, f hàm x1 , x2 , , xn u Nếu (1.4) có dạng: n Xi (x1 , x2 , , xn , u) i=1 ∂u =0 ∂xi (1.5) gọi phương trình tuyến tính Phương trình tuyến tính Xét phương trình tuyến tính (1.5) Giả sử Xi , i = 1, n, hàm liên tục với đạo hàm riêng chúng lân cận v X , X = x01 , x02 , , x0n không đồng thời không X , chẳng hạn: Xn (X0 ) ̸= (1.6) Rõ ràng u = C(C số ) nghiệm (1.5) gọi nghiệm hiển nhiên Ta chứng minh rằng, với giả thiết thích hợp đó, phương trình (1.5) có vơ số nghiệm không hiển nhiên Tương ứng với (1.5), ta xét hệ phương trình vi phân thường dạng dối xứng: dx1 dx2 dxn = = = X1 X2 Xn (1.7) (1.7) gọi hệ đối xứng tương ứng với (1.5) Nếu với giả thiết (1.6) lân cận X hệ (1.7) tương đương với hệ dạng chuẩn tắc sau đây:    dx1 dxn = ··· dxn−1 dxn X1 Xn (1.8) = Xn−1 Xn Định nghĩa 1.2.6 Hàm φ (x1 , x2 , , xn ) khả vi liên tục không đồng số gọi tích phân hệ (1.7) hay (1.8) trở thành đồng số ta thay x1 , x2 , , xn−1 nghiệm riêng (1.7) hay (1.8) Giả sử φ (x1 , x2 , , xn ) tích phân (1.8) (x1 , x2 , , xn ), xi = xi (xn ) , i = 1, n − nghiệm riêng (1.7) Khi ta có: dφ = C, C số hay n ∂φ i=1 ∂xi dxi = n−1 ∂φ Xi ∂φ i=1 ∂xi Xn + ∂xn dxn = dφ = Vậy n i=1 ∂φ Xi = ∂xi (1.9) Định lý 1.2.1 Nếu hàm số φ (x1 , x2 , , xn ) tích phân khả vi liên tục hệ (1.7) u = φ (x1 , x2 , , xn ) nghiệm phưong trình (1.5) Ngược lại, u = φ (x1 , x2 , , xn ) khác số nghiệm (1.5) φ (x1 , x2 , , xn ) tích phân (1.7) Phương trình tuyến tính khơng Xét phương trình n Xi (x1 , x2 , , xn , u) i=1 ∂u = f (x1 , x2 , , xn , u) ∂xi (1.4) Giả thiết Xi , 1, n f liên tục đạo hàm riêng cấp chúng ˜ = x01 , x02 , , x0n , u0 Xn X ̸= lân cận điểm X Ta chứng minh nghiệm phương trình (1.4) có dạng ẩn: V (x1 , x2 , , xn , u) = V hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện: (*) ∂V ∂u u0 ̸= Thật vậy, theo định lí hàm ẩn, hàm u xác định từ (*) khả vi và: ∂V ∂u i = − ∂x , i = 1, n ∂V ∂xi ∂u Thế vào (1.4) ta được: n Xi i=1 ∂V ∂V +f =0 ∂xi ∂u (1.11) Như V (x1 , x2 , , xn , u) = nghiệm phương trình tuyến tính (1.11) Gọi φ1 (x1 , x2 , , xn ) , φ2 (x1 , x2 , , xn ) , , φn−1 (x1 , x2 , , xn ) n tích phân độc lập hệ đối xứng tương ứng với (1.11): dx2 dxn du dx1 = = = = X1 X2 Xn f Khi nghiệm tổng quát (1.11) có dạng: V = Φ (φ1 , φ2 , , φn ) Φ hàm khả vi liên tục Vậy nghiệm (1.4) có dạng V = Φ (φ1 , φ2 , , φn ) = Định lý 1.2.2 Nghiệm toán Cauchy Xét toán Cauchy sau đây: n Xi (x1 , x2 , , xn , u) i=1 ∂u =0 ∂xi u|xn =x0n = φ (x1 , x2 , xn−1 ) (1.5) (1.12) Xi , i = 1, n, liên tục đạo hàm riêng cấp chúng lân cận X = x01 , x02 , , x0n Φ hàm khả vi liên tục biến x1 , x2 , , xn−1 Gọi φ1 , φ2 , , φn−1 n − tích phân độc lập hệ vi phân (1.7) tương ứng với (1.5) Đặt   φ1 x1 , x2 , xn−1 , x0n = φ¯1 ··· φ ¯n−1 n−1 x1 , x2 , xn−1 , xn = φ Giải từ hệ ta xi , i = 1, n − 1, lân cận điểm X : x1 = ψ1 (φ¯1 , φ¯2 , , φ¯n−1 ) ··· xn−1 = ψn−1 (φ¯1 , φ¯2 , , φ¯n−1 ) Hàm số u = φ (ψ1 (φ1 , , φn−1 ) , , ψn−1 (φ1 , , φn−1 )) nghiệm toán (1.5)-(1.12) Thật vậy, theo (1.10), u thỏa mãn phương trình (2.10) Mặt khác, u|xn =x0n = φ (ψ1 (φ¯1 , φ¯2 , φ¯n−1 ) , , ψn−1 (φ¯1 , φ¯2 , φ¯n−1 )) = φ (x1 , xn−1 ) 1.3 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân Một phương trình vi phân phương trình hàm (một biến) có chứa đạo hàm hàm cần tìm Nếu bậc cao đạo hàm phương trình vi phân n, phương trình gọi phương trình vi phân cấp n Xét phương trình vi phân cấp n F x, y, y ′ , , y (n) = biểu thức F x, y, , y (il ) ) thực chứa y (n) Hàm số y = y(x) gọi nghiệm phương trình vi phân khoảng I (với I ⊂ R) hàm số y = y(x) thỏa tính chất ∀x ∈ I, F x, y(x), y ′ (x), , y (n) (x) = Tính chất bao hàm hai tính chất sau: Hàm số y khả vi tới cấp n I , tức đạo hàm y ′ (x), y ′′ (x), , y (n) (x) tồn với x ∈ I ∀x ∈ I, (x, y(x), , y (n) (x)) thuộc miền xác định F Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm phương trình vi phân Một hệ thức G(x, y) = gọi nghiệm ẩn khoảng I phương trình vi phân tồn hàm số y vừa thỏa hệ thức G(x, y(x)) = vừa thỏa phương trình vi phân với x thuộc I Định nghĩa 1.3.3 Phương trình vi phân tồn phần Phương trình vi phân có dạng P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (1) gọi phương trình vi phân tồn phần tồn hàm hai biến U (x, y) cho dU (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy Khi đó: P (x, y) = Ux′ (x, y) Q(x, y) = Uy′ (x, y) (1) gọi phương trình vi phân toàn phần ∂Q ∂P (x, y) = (x, y) ∂y ∂x Nghiệm (1) có dạng U (x, y) = C Tìm hàm U (x, y): (1) ⇒ U (x, y) = P (x, y)dx = F (x, y) + C(y) ′ ⇒ U ′ (x, y) = Fy (x, y) + C ′ (y) ′ Vì Q(x, y) = Uy′ (x, y) nên Q(x, y) = Fy (x, y) + C ′ (y) Suy ′ C ′ (y) = Q(x, y) − Fy (x, y) 10 C(y) = C ′ (y)dy ⇒ U (x, y) = F (x, y) + C(y) ⇒ U (x, y) = C(C ∈ R) nghiệm phương trình (1) Phương trình đưa dạng phương trình vi phân tồn phần: Xét phương trình P (x, y)dx + Q(x, y)dy = hay P (x, y) + Q(x, y)y ′ = 0, đó, ∂P ∂y (x, y) ̸= ∂Q ∂x (x, y) Phương trình chưa phương trình vi phần toàn phần Ta biến đổi đưa dạng phương trình vi phân tồn phần cách nhân hai vế phương trình với thừa số tích phân m(x, y) (luôn khác miền xét), ta phương trình: m(x, y)P (x, y)dx + m(x, y)Q(x, y)dy = 1.4 Chéo hóa ma trận Định nghĩa 1.4.1 Ma trân đồng dạng Cho A, B ma trận vng cấp n Ta nói A đồng dạng với B , ký hiệu A ∼ B , tồn ma trận T vuông cấp n, không suy biến cho B = T −1 AT Quan hệ đồng dạng bảo tồn nhiều tính chất ma trận, chẳng hạn A ∼ B det A = det B, rank A = rank B, PA (λ) = PB (λ), giá trị riêng A B Định nghĩa 1.4.2 Chéo hóa ma trận Cho A ma trận vng cấp n Ta nói ma trận A chéo hóa A đồng dạng với ma trận chéo Như ma trận A chéo hóa tồn ma trận T vuông cấp n không 11 suy biến cho T −1 AT ma trận chéo Chéo hóa ma trận A tức tìm ma trận T vng cấp n không suy biến cho T −1 AT ma trận chéo Định lý 1.4.1 Điều kiện cần đủ để ma trận vng chéo hóa Ma trận A vng cấp n chéo hóa A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính, k i=1 dim Vλi = n, λ1 , , λk tất giá trị riêng A Cách tìm vector liên kết riêng ví dụ: Nếu λ0 giá trị riêng toán tử tuyến tính hệ vector thỏa mãn điều kiện Aˆ : Vn → Vn , hệ vector x⃗0 , x⃗1 , , x⃗k không gian Vn thỏa mãn điều kiện:  x⃗0 = λ0 x⃗0     x⃗1 = λ0 x⃗1 + x⃗0    x⃗i = λ0 x⃗i + x⃗i−1        x⃗k = λ0 x⃗k + xk−1 ⃗ Khi đó, x⃗i , i = 1, , k gọi vector liên kết riêng i, kí hiệu x⃗0 tốn tử tuyến tính Aˆ Định lí: Giả sử Vn khơng gian tuyến tính trường P Nếu tất số đặc trưng tốn tử tuyến tính Aˆ : Vn → Vn trường P , sở Vn có sở bao gồm giá trị riêng vector liên kết riêng toán tử Aˆ, giá trị riêng sở tương ứng với giá trị riêng liên kết với chúng, tính đa dạng giá trị riêng Ta chọn số sở không gian Vn biểu thị ma trận A tốn tử tuyến tính f : Vn → Vn sở này, Xi , i = 0, k - cột tọa độ vectơ x⃗i tương ứng sở Để tìm vectơ liên kết riêng, ta phải giải hệ phương trình tuyến tính (A − λ0 E)Xi = Xi−1 (1.12) 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN TRONG R4 2.1 Bài toán tích phân đại số ma trận Có thể xây dựng việc phân loại bề mặt đồng cách sử dụng kỹ thuật phương trình tắc ma trận Lie Kí hiệu tọa độ thực không gian R4 thông qua x1 , x2 , x3 , x4 Xem xét siêu diện thực giải tích M khơng gian R4 , cho phương trình: x4 = F1 (x1 , x2 , x3 ) = F2 + F3 + F4 + (2.1) Với: Fk đa thức bậc k Trong trường hợp mà siêu diện đồng đại số trường vecto có dạng sau, (Ak , Bk , Ck , Dk , p, q, r, s số thực): ∂ ∂x1 ∂ + (B1 x1 + B2 x2 + B3 x3 + B4 x4 + q) ∂x2 ∂ + (C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + C4 x4 + r) ∂x3 ∂ + (D1 x1 + D2 x2 + D3 x3 + D4 x4 + s) ∂x4 Z = (A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + A4 x4 + p) (2.2) trường vector tuyến tính tiếp xúc với bề mặt Bên cạnh đó, trường thỏa mãn điều kiện tiếp xúc với bề mặt thảo luận Fk (Φ)|M ≡ (2.3) đó, Φ = −x4 + F1 (x1 , x2 , x3 ) = −x4 + F2 + F3 + F4 + hàm xác định bề mặt thảo luận M , mà phương trình bề mặt chưa biết đến đầu lập luận Sự nghiên cứu phương trình (2.2) phụ thuộc vào hệ số phương trình ban đầu 2.1 cho phép thu số lượng lớn đại số 13 dạng cần tìm Để thuận tiện đại số biểu diễn dạng ma trận: A1 B  Z=  C1 D1  A2 B2 C2 D2 A3 B3 C3 D3 A4 B4 C4 D4  p q r  s Do dấu ngoặc ma trận (hoán tử) tương ứng với dấu ngoặc trường vector [Z1 , Z2 ] = Z1 Z2 − Z2 Z1 Bề mặt đồng affine R4 tương ứng với đại số ma trận Lie chiều, gồm có ma trận sở sau:  a11  a21  a31  a41  b11 b  21  b31  b41  c11  c21  c31  c41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44  0 0 ; 0  b12 b13 b14 b22 b23 b24  b32 b33 b34  ; b42 b43 b44 0 0  c12 c13 c14 c22 c23 c24  c32 c33 c34  ; c42 c43 c44 0 0 Bộ ba ma trận sở đại số Lie chúng thỏa mãn điều kiện đóng phép tốn ngoặc (bao tuyến tính ma trận này) Xét phép toán ngoặc Wij = Ei Ej − Ej Ei , (1 ≤ i, j ≤ 3) cho tất cặp ma trận sở cặp Ei , Ej cần thỏa mãn đẳng thức: Wij = [Ei , Ej ] = αE1 + βE2 + γE3 α, β, γ số thực Đặt Rij = Wij −(αE1 −βE2 −γE3 ) Khi đó, Rij có hàng cuối cột cuối chứa phần tử không phần tử khối (4 × 4) phía bên trái tất ma trận Rij khơng Do cần phải giải · · = 48 14 phương trình thu họ đại số ma trận Lie, hai số họ tham số, họ hai họ cịn lại mơ tả tham số Trong luận văn này, tơi tích phân họ đại số Cơ sở E1 , E2 , E3 có dạng sau: a −1 a14 1 11 a22 a24 0  −3 2  E1 =  a31 2a22 B + a14 a11 a22 B + a22 B + a11 a14 + a22 a14 − 3B   a11 + a22 0 0 0   0 −B 2B −1 a14 + a22 B 1 0   (2.7) E2 =  B(a14 + a22 B)  ;  a14 + a22 B B 18   0 2B 0 0 0   −1 0 0 0  −1  E3 =  0 −1   0 −1 0 0 0 1 Với B = − a24 − a31 6 2.2 Tính tích phân đại số ma trận R4 Trong phần tác giả tìm phương trình bề mặt đồng tương ứng với sở ban đầu (2.7) có hỗ trợ Maple Trong Maple ta nhập ma trận E1 , E2 , E3 Để đơn giản hóa cơng việc lấy tích phân hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng, ta đưa chúng họ đại số tương đương họ ban đầu Ta chuyển đổi ma trận sở sở E1∗ , E2∗ , E3∗ Ma trận Ek∗ sở tổ hợp tuyến tính ma trận sở: 1 E1∗ = E1 ; E2∗ = E2 + (− a24 − a31 )E3 ; E3∗ = E3 6 15 Sử dụng Maple ta kết a 11 −3 a 22  E1∗ =  a 2a B + a14 22  31 0 sau: −1 a14 a24 a11 a22 B + a22 B + a11 a14 + a22 a14 − 3B a11 + a22 0 −B 0  E2∗ =   a14 + a22 B   B B2 0 −B −1 a14 + a22 B −B B(a14 + a22 B) 18 B 0 0 0    B ;  0  −1 0 0 0  −1 0 −1 1 E3∗ =   ; 0 −1 0 0 0  (2.8) Để thuận lợi cho việc tính tốn, ta thực chéo hóa ma trận Xét ma trận −B 0  E2∗ =   a14 + a22 B   B B2 0 −B −1 a14 + a22 B B(a14 + a22 B) −B 18 B 0  1  0 ;  0 có giá trị riêng vector riêng ( 0 1 ) ; ( B 0 ) ; ( −B a14 + a22 B ) ; Vì ta bổ sung thêm vector liên kết riêng ma trận E2∗ Để tìm vector liên kết đầu tiên, ta mở rộng ma trận E2∗ cách thêm vector riêng tìm vào ma trận E2∗ − λi E dạng cột số hạng tự Thực giải hệ phương trình thu vector liên kết riêng là: ( 0 −1 0 ) ;   ;  16 ( 0 0 ); Ta xét ma trận đồng dạng sau:  −B   S =  a14 + a22 B 1 0 0  0 0 B −1  ; 0 0 bao gồm hàm riêng ma trận E2∗ Với ma trận đồng dạng trên, ma trận sở E1∗ , E2∗ , E3∗ có dạng đơn giản Trong Maple ta thực lệnh sau: D1 := S −1 E1∗ S; D2 := S −1 E2∗ S; D3 := S −1 E3∗ S;    D1 =   a11 + a22 1 a24 − a31 0  0 D2 =  0 0  0 D3 =  0 0 a11 −3 a22 1 a24 − a31 0  0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0  0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0    ;  Đại số ma trận D1 , D2 , D3 giao hoán a22 = Họ đại số tham số chứa họ đại số giao hoán Lie tham số Xét họ đại số Lie thamsố có ma trận  sở sau:  µ1 a µ2 b  µ µ   e1 =  µ c1 02  ; e2 =  µ3 0 0 0 0 0 0   0  ; e =   Định lý 2.2.1 Nếu µ1 = a1 + a2 ; µ2 = −a1 a2 họ đại số ma trận 0 0 0 0  0 ; (a1 > a2 ) quỹ đạo 17    µ1 a µ2 b  µ µ  0 e1 =  µ c1 02  ; e2 =  0 µ3 0 bề mặt mô tả (với độ    0 0 0 0 0 0 0  ; e3 =  0  ; 0 0 0 xác tương đương affine) phương trình: x1 x4 − x2 x3 = (x22 − µ1 x2 x4 − µ2 x24 ) ln x2 − a2 x4 x2 − a1 x4 Thật ta có ma trận e1 , e2 , e3 tương ứng với trường vector sau: ∂Φ ∂Φ ∂Φ e1 = (µ1 x1 + ax2 + µ2 x3 + bx4 ) + (µ1 x2 + µ2 x4 ) + (µ3 x1 + cx2 ) + ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂Φ µ3 x2 ; ∂x4 ∂Φ ∂Φ e2 = x2 + x4 ; ∂x1 ∂x3 ∂Φ e3 = x3 + x4 ∂x4 Tương ứng với e1 , e2 , e3 ta thu hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tiếp xúc:  ∂Φ ∂Φ ∂Φ   + (µ x + µ x ) + (µ x + cx ) (µ x + ax + µ x + bx )  2 1 2  ∂x1 ∂x2 ∂x3    ∂Φ    =0 +µ3 x2 ∂x (I) ∂Φ ∂Φ   x + x =0    ∂x1 ∂x3   ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ   x1 + x2 + x3 + x4 =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 Chúng ta giải hệ theo thứ tự, bước giảm số lượng phương trình số lượng biến hệ Giải phương trình thứ hai hệ (I) thu nghiệm tổng quát phương trình F (t1 , t2 , t3 ), đó, F hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào ba biến t1 , t2 , t3 với:  t1 = x1 x4 − x2 x3 t2 = x2  t3 = x4 Khi đó, ∂Φ ∂F = x4 ; ∂x1 ∂t1 ∂Φ ∂F ∂F = −x3 + ∂x2 ∂t1 ∂t2 18 ∂Φ ∂F ∂F = x1 + ∂x4 ∂t1 ∂t3 ∂Φ ∂F = −x2 ; ∂x3 ∂t1 Thay vào phương trình thứ nhất, thứ ba hệ (I) với kết thu được, ta hệ phương trình sau:  ∂F ∂F ∂F  (µ1 t1 + at2 t3 + bt23 − ct22 ) + (µ1 t2 + µ2 t3 ) + µ3 t2 =0 ∂t ∂t ∂t (II)  2t1 ∂F + t2 ∂F + t3 ∂F = ∂t1 ∂t2 ∂t3 Giải phương trình thứ hai hệ (II): 2t1 ∂F ∂F ∂F + t2 + t3 =0 ∂t1 ∂t2 ∂t3 ta thu nghiệm tổng quát phương trình (∗∗) H(s1 , s2 ), đó, H hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào hai biến s1 , s2 với: s1 = s2 = t1 t23 t2 t3 Khi đó, ∂H ∂F = ; ∂t1 t3 ∂s1 ∂F ∂H = ; ∂t2 t3 ∂s2 ∂F −2t1 ∂H t2 ∂H = − ∂t3 t3 ∂s1 t23 ∂s2 Thay vào phương trình thứ hệ (II) ta có phương trình sau: (µ1 s1 + as2 + b − cs22 − 2µ3 s1 s2 ) ∂H ∂H + (µ1 s2 + µ2 − µ3 s22 ) =0 ∂s1 ∂s2 Phương trình vi phân tổng quát đặc trưng tương ứng với phương trình đạo hàm riêng là: ds1 ds2 = µ1 s1 + as2 + b − cs2 − 2µ3 s1 s2 µ1 s2 + µ2 − µ3 s22 Hoặc ds1 µ1 s1 + as2 + b − cs22 − 2µ3 s1 s2 = ds2 µ1 s2 + µ2 − µ3 s22 (1) Các cơng thức để tìm nghiệm phương trình vi phân tổng quát (cũng phương trình hệ (I)) phụ thuộc vào trường hợp nghiệm tam thức bậc hai mẫu số vế phải phương trình 19 Chúng tơi xem xét trường hợp mà đa thức có nghiệm phân biệt Cụ thể giả sử µ1 = a1 + a2 ; µ2 = −a1 a2 , µ3 = 1, a = 0, b = 1, c = với a1 > a2 số thức Khi đó, phương trình (1) viết lại: (a1 + a2 )s1 + − 2s1 s2 ds1 = ds2 (a1 + a2 )s2 − a1 a2 − s22 ⇔ (−(a1 + a2 )s2 + a1 a2 + s22 )ds1 + (a1 + a2 )s1 + − 2s1 s2 ds2 = (2) (3) Nhân hai vế phương trình (3) với thừa số tích phân m(s2 ) = (s22 − (a1 + a2 ))2 ta có: (3) ⇔ ( (a1 + a2 )s1 − 21 s2 + )ds + ds2 = s22 − (a1 + a2 )s2 + a1 a2 (s22 − (a1 + a2 )s2 + a1 a2 )2 phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình vi phân ta thu nghiệm phương trình (3) s1 1 ( − ) − s22 − (a1 + a2 )s2 + a1 a2 (a1 − a2 )2 s2 − a1 s2 − a2 + (a1 − a2 )3 [ln(s2 − a1 ) − ln(s2 − a2 )] = C với C số Điều có nghĩa nghiệm hệ phương trình (I) thu cách thay để đưa biến ban đầu Sau phép tính (tương đối rườm rà) liên quan đến phép biến đổi ta thu phương trình bề mặt định lý 2.2.1 20 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Đưa phương pháp để tích phân đại số ma trận R4 chéo hóa ma trận để đưa ma trận dạng đơn giản hơn, giải tìm nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng tìm phương trình bề mặt đồng tương ứng với sở ban đầu Chứng minh tường minh làm rõ kết đạt liên quan đến việc tính tích phân đại số ma trận R4 ... E)Xi = Xi? ?1 (1. 12) 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN TRONG R4 2 .1 Bài tốn tích phân đại số ma trận Có thể xây dựng việc phân loại bề mặt đồng cách sử dụng kỹ thuật phương trình tắc ma trận Lie... a 41  b 11 b  21  b 31  b 41  c 11  c 21  c 31  c 41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44  0 0 ; 0  b12 b13 b14 b22 b23 b24  b32 b33 b34  ; b42 b43 b44 0 0  c12 c13 c14 c22... = 48 14 phương trình thu họ đại số ma trận Lie, hai số họ tham số, họ hai họ lại mô tả tham số Trong luận văn này, tơi tích phân họ đại số Cơ sở E1 , E2 , E3 có dạng sau: a ? ?1 a14 1? ?? 11 a22