bài giảng xác xuất thống kê chương 4

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: X x1 x2……xk P 1/k 1/k…….1/k Phân phối không – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p)  X P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(P) E(X) = P, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k n k Định nghĩa 1.2:    n, p       k   Cn p q , k  1, n Định lý1.2:    n, p     X   np, D     npq, Mod   k0   n  1 p  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k nk Giải: CM C N M   k   C n N , k  0, n Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n)  H ( N , M , n)       np, Định lý 1.3: Giả sử N n M D     npq ,p N 1 N Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k a a Định nghĩa 1.4:    a       k   e k ! , k  0,1, Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson)    x  12  0,936204(cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  …)    X  12     X  12        5 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy:       e5 4! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn   a,   ,   Định nghĩa 2.1:    a,    f  x   e  2  x  a  2 2 Định lý 2.1: X có phân phối   a,   E(X) = a, D(X) =  Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn u /2 (hàm mật độ Gauss) tắc N(0,1) nếu: f u   2 e Định lý 2.2: u t /2 e dt  0,5   U  U có phân phối N(0,1) FU  u   0,5   2 với  U  tích phân Laplace (hàm lẻ) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1   u1  U  u2     u2     u1  ;     U     2   Định lý 2.4: Giả sử  Khoa Khoa Học Máy Tính   a,   U  X a  Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010   0,1    a,   Khi ta có:   a   a                             a     2.     Định lý 2.5: Giả sử Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, 52 ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn  160  165      X  160               1       0,34134  0,5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.2: Cho U   0,1 tính kỳ vọng U m • Giải:  u2 /2 m m  U    u e du  m lẻ cận đối xứng,  2  hàm dấu tích phân hàm lẻ  u / u /  U    u e du   u.u e du   2 2 u / u / dv  u e v e 2 2   u /  u2 / 2   U   u e  e du    2 2  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Tương tự: u /2  U    u u e du  2    u /2  u /2  u e  3. u e du  3. U   3.1;   2 2   U   5 U   5.3.1;  U n    2n  1!! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại gặp vàng dừng Tính xác suất để lấy trắng, đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C 63 C52 P  15 C 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK)  Phân phối mũ e :(Xem SGK) Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 §3 Các định lý giới hạn Định lý Chebyshev (Xem SGK) Định lý Bernoulli (Xem SGK) Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử 1 , 2 , , n đôi độc n lập E X k  E( X k )  lim k 1 0 3/2 n  n   D    k   k 1  Khi ta có: U n n i   E  i   n i 1 n i 1 n n  Dx  i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính  N  0,1 n đủ lớn  n  30  i Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i )  a, D( X i )   , i  1, n U  n (  X i  a) n n i 1   N (0,1) m  p) n U n  N (0,1) p(1  p) n đủ lớn ( Hệ 3.2: Khoa Khoa Học Máy Tính n đủ lớn Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 , 2 , n với phương sai: D  k    k  1, 2, n  Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n    i , E ( i )  a  E  X   a  D  i     n i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 a )    E     0, 01  0, 9973    a  n 0, 01 n     U     0, 9973       0, 01 n       0,  0, 9973    0, 01 n       0, 4973    2, 785     2,875  0, 01 n   2, 785  n     0, 01  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 b) ( U    E     0, 005)  0, 9973  0, 005 n   2.    0, 9973    0, 005 n  0, 9973       3       0, 005 n    n     0, 005  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 $4.Các cơng thức tính gần Cơng thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1:Khi n