BÀI 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K * Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Nhận xét: - Hàm số f ( x ) đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải * Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Nhận xét: Hàm số f ( x ) nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Định lý Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K Trang Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số khơng đổi khoảng K Định lí đảo Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y = f ( x ) Phương pháp giải Thực bước sau: Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′ ( x ) Bước Tìm giá trị x mà f ′ ( x ) = giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập Cho hàm số f ( x ) = ( − x ) 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) C Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) D Hàm số nghịch biến ¡ Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D = ¡ Đạo hàm f ′ ( x ) = 2019 ( − x ) Vì 2019 ( − x ) 2018 2018 ( − x ) ′ = 2019 ( − x ) 2018 ( −2 x ) ≥ , ∀x ∈ ¡ nên dấu đạo hàm dấu với ( − x ) x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔   x = ±1 Ta có bảng biến thiên Trang Vậy hàm số đồng biến ( −∞;0 ) Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến ( −∞;0 ) Bài tập Cho hàm số f ( x ) = x + x + x + cos x Với hai số thực a, b cho a < b Khẳng định sau đúng? A f ( a ) = f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) C f ( a ) < f ( b ) D f ( a ) ≥ f ( b ) Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D = ¡ 2 Ta có f ′ ( x ) = x + x + − sin x = ( x + x + 1) + ( − sin x ) > 0, ∀x ∈ ¡ Suy f ( x ) đồng biến ¡ Do a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) Bài tập Hàm số y = x − x − đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1;3) C ( 1; +∞ ) D ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D = ¡ Ta có y = x − x − = (x − x − 3) ⇒ y′ = ( x − ) ( x − x − 3) (x − x − 3) y ′ = ⇔ x − = ⇔ x = ; y ′ không xác định x = −1; x = Ta có bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) ( 3; +∞ ) Chú ý: - Vì f ( x ) = f ( x ) nên xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) để suy kết Trang - Đạo hàm y ′ = f ′( x) f ( x) f ( x) Dạng Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) cho hàm số y = f ′ ( x ) Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f ′ ( x ) = giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ f ′ ( x ) = x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng A ( 1; +∞ ) B ( −∞;0 ) ; ( 1; +∞ ) C ( 0;1) D ( −∞;1) Hướng dẫn giải Chọn A x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x ( x − 1) = ⇔  x =1 Ta có bảng xét dấu x f ′( x) −∞ 0 − − + +∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) Bài tập Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( − x ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A ( −1;1) B ( 1; ) C ( −∞; −1) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải Chọn B x = Ta có f ′ ( x ) = ⇔   x = ±1 Bảng xét dấu x f ′( x) −∞ − −1 − + − +∞ Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 1; ) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( 0;3) có tính chất Trang f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số f ( x ) không đổi khoảng ( 1; ) C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 1;3) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;3) Hướng dẫn giải Chọn B Vì f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) nên f ( x ) hàm khoảng ( 1; ) Trên khoảng ( 0; ) , ( 1;3) , ( 0;3 ) hàm số y = f ( x ) thỏa f ( x ) ≥ f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) nên f ( x ) không đồng biến khoảng Bài tập: Dạng 3: Tìm tham số để hàm số đơn điệu tập xác định Phương pháp giải * Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ta thực theo bước sau Bước Tính y ′ = 3ax + 2bx + c (1) Bước Xét hai trường hợp Trường hợp 1: a = , thay trực tiếp vào (1) để xét Trường hợp 2: a ≠ , tính ∆′ = b − 3ac a < Hàm số nghịch biến ¡ ⇔   ∆′ = b − 3ac ≤ a > Hàm số đồng biến ¡ ⇔   ∆′ = b − 3ac ≤ Bước Kết luận (chọn đáp án) * Đối với hàm số y = ax + b ta thực theo bước sau cx + d  d Bước Tập xác định D = ¡ \ −   c Bước Tính y ′ = ad − bc ( cx + d ) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad − bc > Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ ad − bc < Bước Kết luận Trang Bài tập: Bài tập Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −20; 2] để hàm số y = x − x + 3mx − đồng biến ¡ ? A 20 B C D 23 Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D = ¡ Ta có y ′ = x − x + 3m Hàm số đồng biến ¡ ⇔ x − x + 3m ≥ với x ∈ ¡ ⇔ { ∆′ ≤ ⇔ − 9m ≤ ⇔ m ≥ 3>0 Do m số nguyên thuộc đoạn [ −20; 2] nên có m = 1; m = Bài tập Có giá trị nguyên m để hàm số y = ( m − 1) x + ( m − 1) x − x + nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D = ¡ 2 Ta có y ′ = ( m − 1) x + ( m − 1) x − Hàm số cho nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ y′ ≤ với ∀x ∈ ¡ Với m = ta có y ′ = −1 < với ∀x ∈ ¡ nên hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) Vậy m = giá trị cần tìm Với m = −1 ta có y ′ = −4 x − ≤ ⇔ x ≥ − ⇒ m = −1 không thỏa mãn  −1 < m < m2 − <  ′ y ≤ ∀ x ∈ ¡ ⇔ ⇔ • Với m ≠ ±1 ta có với  − ≤ m ≤ ⇔ − ≤ m < 2  ∆′ = 4m − 2m − ≤  Từ trường hợp ta − ≤ m ≤ Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 0;1} Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn Bài tập Các giá trị tham số m để hàm số y = mx + đồng biến khoảng xác định x +1 Trang A m ≥ −1 B m > −1 C m > D m ≥ Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D = ¡ \ { −1} mx + m −1 Ta có y = x + ⇒ y′ = ( x − 1) Xét m = , hàm số trở thành y = (hàm hằng) Xét m ≠ , hàm số đồng biến khoảng xác định y ′ > 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m − > ⇔ m > Lưu ý: Với m = y ′ < 0, ∀x ∈ ¡ \ { 1} Bài tập Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + nghịch biến khoảng x+m xác định A ( −∞; −1) B ( −1;1) C ( 1; +∞ ) D ( −∞;1) Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D = ¡ \ { −m} Ta có y ′ = m2 − ( x + m) Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′ = m2 − ( x + m) < ⇔ m − < ⇔ −1 < m < Dạng 4: Xét tính đơn điệu hàm số bậc cao, thức, lượng giác có chứa tham số Phương pháp giải Sử dụng kiến thức Điều kiện cần để y = ( x − a ) m +1 g ( x ) ( m∈¥ ) khơng đổi dấu x qua a g ( a ) = f ( x) = A Cho hàm số y = f ( x ) liên tục K K Khi bất phương trình f ( x ) ≥ m nghiệm với x ∈ K m ≤ A f ( x) = B Cho hàm số y = f ( x ) liên tục K max K Khi bất phương trình f ( x ) ≤ m nghiệm với x ∈ K m ≥ B Bài tập Bài tập Có giá trị tham số m để hàm số Trang y = x + ( 3m − m ) x + ( m3 − 3m + 2m ) x + 2019 đồng biến ¡ A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D = ¡ 3 Ta có y ′ = x + ( 3m − m ) x + ( m − 3m + 2m ) x ⇒ y′ = x 9 x5 + ( 3m − m ) x + ( m3 − 3m + 2m )  = x g ( x ) với g ( x ) = x + ( 3m − m ) x + ( m − 3m + 2m ) m ≠ Nếu g ( ) ≠ ⇔  m ≠ m ≠  y ′ đổi dấu qua điểm x = ⇒ hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến Do để hàm số đồng biến ¡ điều kiện cần g ( ) = m = ⇔ m ( m − 3m + ) = ⇔  m = m =  Thử lại: + Với m = có y ′ = x8 ≥ , ∀x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ 4 + Với m = có y ′ = x ( x + 10 ) ≥ , ∀x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ 4 + Với m = có y ′ = x ( x + 50 ) ≥ , ∀x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ m = Vậy với  m = hàm số cho đồng biến ¡ m =  Lưu ý: Nếu g ( ) ≠ y ′ ln đổi dấu x qua 0, g ( x ) = vơ nghiệm thi ln có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Bài tập Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) = − m x − mx − ( m − m − 20 ) x + 2019 nghịch biến ¡ Tổng giá trị tất phần tử thuộc S A −4 B C −1 D Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D = ¡ Ta có Trang f ′ ( x ) = −5m x − 3mx − ( m − m − 20 ) x = x  −5m2 x3 − 3mx − ( m − m − 20 )  = x.g ( x ) Để hàm số nghịch biến ¡ f ′ ( x ) ≤ , ∀x ∈ ¡ (*) Nếu x = nghiệm g ( x ) f ′ ( x ) đổi dấu x qua x = , lúc điều kiện (*) khơng thỏa mãn Do điều kiện cần để hàm số đồng biến ¡ x = nghiệm  m = −4 g ( x ) = ⇔ m − m − 20 = ⇔  m = Thử lại: 2 + Với m = −4 f ′ ( x ) = −80 x + 12 x = x ( 12 − 80 x ) , m = −4 khơng thỏa mãn 2 + Với m = f ′ ( x ) = −125 x − 15 x = − x ( 125 x + 15 ) ≤ , ∀x ∈ ¡ m = thỏa mãn Vậy S = { 5} nên tổng phần tử S Lưu ý: f ′ ( x ) đổi dấu qua nghiệm phương trình 12 − 80 x = Bài tập Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2018; 2018] để hàm số y = x + − mx − đồng biến ( −∞; +∞ ) A 2018 B 2019 C 2020 D 2017 Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D = ¡ x Ta có y ′ = x2 + −m Theo yêu cầu toán y ′ = ⇔m≤ x x +1 x x2 + − m ≥ , ∀x ∈ ¡ , ∀x ∈ ¡ Xét hàm số g ( x ) = x x +1 ; g′( x ) = x x + ( x + 1) >0 Bảng biến thiên Trang Vậy m ≤ −1 mà m ∈ [ −2018; 2018] nên có 2018 giá trị nguyên Bài tập Tìm tất giá trị m ∈ ¡ để hàm số y = sin x + cos x + mx đồng biến ¡ A − ≤ m ≤ B − < m < C m ≥ D m > Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D = ¡ Ta có y ′ = cos x − sin x + m Hàm đồng biến ¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ cos x − sin x + m ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ sin x − cos x ≤ m, ∀x ∈ ¡ Xét hàm f ( x ) = sin x − cos x ¡ π  f ( x) = Ta có sin x − cos x = sin  x − ÷⇒ − ≤ f ( x ) ≤ 2, ∀x ∈ ¡ ⇒ max ¡ 4  f ( x) ≤ m ⇔ m ≥ Do f ( x ) ≤ m, ∀x ∈ ¡ ⇔ max ¡ Dạng Xét tính đơn điệu hàm số trên khoảng cho trước Phương pháp giải * Đối với hàm số y = ax + bx + cx + d Giả sử phương trình y = ax + bx + c ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 Ta nhắc lại mối liên hệ nghiệm tam thức bậc hai Khi x1 < α < x2 ⇔ af ( α ) <  x + x > 2α α ≤ x1 < x2 ⇔  ( x1 − α ) ( x2 − α ) ≥  x + x < 2β x1 < x2 ≤ β ⇔  ( x1 − β ) ( x2 − β ) ≥  af ( α ) < x1 < α < β < x2 ⇔   af ( β ) < Trang 10 Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y ′ ≥ 0, y ′ ≤ Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x) , y = f ( u ( x) ) , y = f ( u ( x) ) ± h ( x) … Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau x f ′( x) −∞ + −2 − 0 + − +∞ Hàm số y = f ( x + x ) đồng biến khoảng đây? A ( 1; +∞ ) B ( −3; −2 ) C ( 0;1) D ( −2;0 ) Hướng dẫn giải Chọn C Đặt g ( x ) = f ( x + x ) Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x + x ) ( x + )  x = −1  x = −1  x + x = −2  x =  x = −2 g′ ( x) = ⇔   x + 2x =  x =  x + x =  x =  Bảng xét dấu g ′ ( x ) Dựa vào bảng xét dấu g ′ ( x ) suy hàm số g ( x ) = f ( x + x ) đồng biến ( −∞; −3) , ( −2; −1) ( 0;1) , nên hàm số đồng biến ( 0;1) Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f ′ ( x ) → xác định nghiệm phương trình f ′ ( x ) = 2 - Hàm số y = f ( x + x ) đồng biến → đánh giá y ′ ≥ với y ′ = ( x + ) f ′ ( x + x ) (giải bất phương trình tích) Trang 19 Chú ý: Nếu f ( x ) = ⇔ x = a f ( u ( x ) ) = ⇔ u ( x ) = a - Bảng xét dấu g ′ ( x ) bảng xét dấu tích ( x + ) f ′ ( x + x ) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm f ′ ( x ) sau Hàm số y = g ( x ) = f ( − x + ) + x + 3x − x − nghịch biến khoảng sau đây? A ( −2;1) B ( 2; +∞ ) C ( 0; ) D ( −∞; −2 ) Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y ′ = g ′ ( x ) = x + x − − f ′ ( − x ) Hàm số y = g ( x ) nghịch biến y ′ = g ′ ( x ) ≤ ⇔ x + x − ≤ f ′ ( − x ) (1) Nhận xét: • Xét ( 2; +∞ ) Với x = ⇒ ( 1) ⇔ 12 ≤ f ′ ( −1) = ⇒ loại • Xét ( 0; ) Với x =  1 ⇒ ( 1) ⇔ ≤ f ′  − ÷ < ⇒ loại  2 • Xét ( −∞; −2 ) Với x = −4 ⇒ ( 1) ⇔ ≤ f ′ ( ) < ⇒ loại Xét ( −2;1) thỏa mãn (1)  x2 + 2x − ≤  −3 ≤ x ≤  x2 + x − ≤   ⇔ −3 ≤ x ≤  f ′ − x ≥ ⇔   − x ≤ −1 ⇔   x ≥ )  (  1 ≤ − x ≤   −3 ≤ x ≤ Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f ′ ( x ) → xác định nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ - Hàm số y = g ( x ) nghịch biến → đánh giá y ′ ≤ Trang 20  f ′( − x) ≥ Với dạng toán cần tìm giá trị x cho  − x − x + ≥ Dạng 8: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) biết đồ thị hàm số y = f ( x ) Phương pháp giải Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = f ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định hàm số y = f ( x ) (nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ ) Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y ′ ≥ 0, y ′ ≤ Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b, c , d ∈ ¡ ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số y = g ( x ) = f ( x − 1) Hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng A ( −1;0 ) B ( −8; −1) C ( 1; ) D ( 0;1) Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Hàm số y = g ( x ) = f ( x − 1) có y ′ = g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) Hàm số nghịch biến y ′ = f ′ ( x − 1) ⇔ −1 < x − < ⇔ < x < Cách 2: Hàm số y = f ( x ) có dạng y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b, c , d ∈ ¡ ) Ta có f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Theo đồ thị, hai điểm A ( −1;3) B ( 1; −1) hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Trang 21 Ta có  f ( −1) =  − a + b − c + d = a =  f ( 1) = −1  a + b + c + d = −1 b =  ⇔ ⇔  ′ 3a − 2b + c = c = −3  f ( −1) =   a + b + c =  d =  f ′ ( 1) = Vậy f ( x ) = x − x + y = g ( x ) = f ( x − 1) = ( x − 1) − ( x − 1) + ; y ′ = g ′ ( x ) = ( x − 1) −  x − = −1  x = g′ ( x) = ⇔  ⇔ 2 x − = x = Bảng xét dấu x g′ ( x) −∞ 0 + − +∞ + Vậy hàm số y = g ( x ) nghịch biến ( 0;1) Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) → xác định hàm y = f ( x ) hàm y = f ( x − 1) → khảo sát tìm khoảng nghịch biến hàm số Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến ( a; b ) hàm số f ( mx + n ) :  a−n b−n ; Đồng biến  ÷ m > m   m b−n a−n ; Nghịch biến  ÷ m < m   m Bài tập ( a , b, c , d ∈ ¡ ) Cho có hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đồ thị hình bên Đặt y = g ( x ) = f ( x2 + x + 2) Chọn khẳng định khẳng định sau A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 )   C g ( x ) nghịch biến khoảng  − ;0 ÷   D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Hướng dẫn giải Trang 22 Chọn C Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , có đồ thị hình vẽ Nhận xét A ( 0; ) M ( 2;0 ) hai điểm cực trị hàm số  f ( 0) = d = a =  f ( 2) =  b = −3 8a + 4b + 2c + d =  ⇔ ⇔ Ta có  3a − 2b + c = c=0  f ′ ( 0) =   12a + 4b + c = d =  f ′ ( ) = Tìm hàm số y = x − x + Ta có y = g ( x ) = ( x + x + ) − ( x + x + ) + 2 y ′ = g ′ ( x ) = ( x + 1) 3 ( x + x + ) − ( x + x + )     x = − g′ ( x) = ⇔  x =   x = −1  Bảng xét dấu x −∞ g′ ( x) −1 − − + +∞ − 0 +  −1  Vậy y = g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0 ÷   Lưu ý: - Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định hàm y = f ( x ) hàm y = f ( x + x + ) → khảo sát tìm khoảng nghịch biến hàm số - Có thể sử dụng y ′ = ( x + 1) f ′ ( x + x + ) y′ = 2 x + = ⇔ ′  f ( x + x + 2) = 2 x + = ⇔  x2 + x + =  x + x + = Bài tập Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d y = g ( x ) = − f ( mx + 1) , m > có đồ thị hình vẽ Hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảngcó độ dài Giá trị m A B C D Trang 23 Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số y = g ( x ) = − f ( mx + 1) nghịch biến khoảng có độ dài nên g ′ ( x ) = − mf ′ ( mx + 1) ≤ ⇔ f ′ ( mx + 1) ≥ khoảng có độ dài  x = mx + =  ⇔ Ta có f ′ ( mx + 1) = ⇔   mx + = x =  −1 m m Bảng xét dấu f ′ ( mx + 1) −∞ x f ′ ( mx + 1) − −1 m + m +∞ −  1 f ′ ( mx + 1) ≥ ⇔ x ∈  − ;   m m 1 1 Yêu cầu tốn ⇔ =  + ÷ ⇔ m = m m Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) → xác định hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) = f ( mx + 1) kết hợp với phần nhận xét Bài tập cho kết  −1 −1  ; - Hàm số f ( x ) đồng biến ( 0; ) → Hàm số y = − f ( mx + 1) nghịch biến  ÷ có độ m   m dài 2 =3⇔ m= m Dạng 9: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Trang 24 Phương pháp giải Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) ± h′ ( x ) Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) xác định nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y ′ ≥ 0, y ′ ≤ Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x) , y = f ( u ( x) ) , y = f ( u ( x) ) ± h ( x) … Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( − x ) nghịch biến khoảng A ( −∞; −1) B ( 2; +∞ ) C ( 0; ) D ( 1;3) Hướng dẫn giải Chọn A  −2 < x < Từ đồ thị ( C ) : y = f ′ ( x ) ; f ′ ( x ) > ⇔  (1) x > Mà g ′ ( x ) = −2 f ′ ( − x ) (2) 1 ⇔ ⇔ ( ) Từ (1) (2) ta có ( ) 2 3 − x >  x < −1  1 5 Vậy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng  ; ÷ ( −∞; −1) 2 2 Lưu ý: Thông qua đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) → Trang 25  −2 ≤ x ≤ f ′( x) ≥ ⇔  5 ≤ x  x ≤ −2 f ′( x) ≤ ⇔  2 ≤ ≤ x Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến → đánh giá y ′ = −2 f ′ ( − x ) ≤ Chú ý: Dựa vào giao điểm đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với trục hoành → chọn hàm cụ thể thỏa mãn y = f ′ ( x ) = ( x + 2) ( x − ) ( x − 5) → y ′ = −2 f ′ ( − x ) Lập bảng xét dấu → Kết luận Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) + 2019 − 2018 x khoảng đây? 2018 A ( 2;3) B ( 0;1) C ( −1;0 ) D ( 1; ) Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) −  x − < −1  x < ⇔ Do y ′ > ⇔ f ′ ( x − 1) > ⇔   x −1 > x > Vậy hàm số đồng biến ( −1;0 ) Nhận xét: Hàm số g ( x ) có g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) −  x < −1 Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ta có f ′ ( x ) > ⇔  x > Trang 26 f ′ ( x ) ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Bài tập Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết hai hàm số f ( x − 1) g ( ax + b ) có khoảng nghịch biến ( m; n ) , m, n ∈ ¥ Khi giá trị biểu thức ( 4a + b ) B −2 A C −4 D Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 1;3) Hàm số y = f ( x − 1) có y ′ = f ′ ( x − 1) Với y ′ < ⇔ f ′ ( x − 1) < ⇔ f ′ ( x − 1) < ⇔ < x − < ⇔ < x < Vậy hàm số y = f ( x − 1) nghịch biến khoảng ( 1; ) Hàm số y = g ( ax + b ) có đạo hàm y ′ = a.g ′ ( ax + b ) b  x=−   ax + b = a y ′ = a.g ′ ( ax + b ) = ⇔  ⇔ 2−b  ax + b = x = a  Nếu a > ⇒ − b 2−b < a a b   2−b   ; +∞ ÷ (không thỏa mãn) Hàm số nghịch biến khoảng  −∞; − ÷;  a  a   Nếu a < ⇒ − b 2−b > a a  2−b b  ;− ÷ Hàm số nghịch biến khoảng  a  a 2 −b 2  a =  a = −1 a = −2 ⇔ ⇔ Do hàm số có khoảng nghịch biến ( 1; ) nên  b b b=4 − =  = −2  a a { Trang 27 Vậy 4a + b = −4 Dạng 10 Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình, tìm điều kiện có nghiệm phương trình Phương pháp giải * Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D, ta có Với u , v ∈ D mà f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v Nhận xét: f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x = x0 Do phương trình f ( x ) = có nhiều nghiệm * Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D , ta có Với u , v ∈ D : f ( u ) ≥ f ( v ) ⇔ u ≥ v Với u , v ∈ D : f ( u ) ≤ f ( v ) ⇔ u ≤ v f ( x ) = A , max = B phương trình f ( x ) = g ( m ) có * Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có D D nghiệm thuộc tập hợp D ⇔ A ≤ g ( m ) ≤ B Bài tập Bài tập Biết phương trình 27 x − 23 x + = 26 x − có nghiệm thực dương x = a c với + b d b, c, d số nguyên tố Khẳng định A ( a + d ) = b + c + B ( a + d ) = b + c − C ( a + d ) = b + c − D ( a + d ) = b + c + Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình 27 x − 23 x + = 26 x − ⇔ ( 3x ) + x = ( 26 x − 1) + 26 x − (1) 3 Xét hàm số f ( t ) = t + t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > , ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡ Phương trình (1): f ( 3x ) = f ( ) 26 x − ⇔ x = 26 x − ⇔ 27 x − 26 x + =  x = −1 < 1 23 ⇔ 1 23 ⇒ x = + nghiệm có dạng cho x = ± 6  ⇒ a = 1, b = 2, c = 23, d = ⇒ ( a + d ) = b + c −1 Trang 28 Bài tập Biết phương trình x − 12 x + 10 x − = ( 10 x + 1) 10 x − có nghiệm thực dương x= a+ b với a, b, c ∈ ¥ a, c số nguyên tố c Khẳng định A ( a + c ) = b + B ( a + c ) = b − C ( a + c ) = b − D ( a + c ) = b + Hướng dẫn giải Chọn D Nhận xét: - Vế trái đa thức bậc ba, vế phải chứa bậc hai nên ta biến đổi để xuất ( 10 x + 1) 10 x − = ( 10 x − 1) +  10 x − = ( ) ) 10 x − Ta có 10 x − + 10 x − Khi phương trình có dạng ( ax + b ) + ( ax + b ) = Điều kiện x ≥ ( ( ) 10 x − + 10 x − 1 10 Phương trình cho ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = ( ) 10 x − + 10 x − (1) Xét hàm số f ( t ) = t + 2t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + > , ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡ Phương trình ( 1) ⇔ f ( x − 1) = f ( 2 x − ≥ 10 x − ⇔ x − = 10 x − ⇔  ( x − 1) = 10 x − )  + 41 x ≥ ⇔ ⇔ x= 2 x − x + = ⇒ a = 7, b = 41, c = ⇒ ( a + c ) = b + Bài tập Biết phương trình x +1 − a+ b = , có nghiệm thực x = , với a, b, c ∈ ¥ c 2x +1 − x + 2 số nguyên tố Khẳng định A 2ac = b + B ac = b − C 2ac = b − D ac = b + Hướng dẫn giải Chọn C Trang 29 kiện { x ≠ 13 x ≥ −1 Phương trình cho ⇔ ( x + ) x + − ( x + ) = x + − ⇔ ( ) x +1 + x +1 = ( ) 2x + + 2x +1 ⇔ f ( ) x +1 = f ( ) x + (1) với f ( t ) = t + t Xét hàm số f ( t ) = t + t , có f ′ ( t ) = 3t + , ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡ 2 x + ≥ Do ( 1) ⇔ x + = x + ⇔   x + = ( ) ( 2x +1 ) −1  x ≥ ⇔  x3 − x − x = x = 1+ ⇔ ⇒ a = 1, b = 5, c = ⇒ 2ac = b − 1+ ⇔ x = x =  1 Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ Tất giá trị thực x để f  ÷ > f ( ) x  1 A x ∈  0; ÷  2 1  B x ∈ ( −∞;0 ) ∪  ; +∞ ÷ 2  1  C x ∈  −∞; ÷ 2   1 D x ∈ ( −∞;0 ) ∪  0; ÷  2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ nên hàm số y = f ( x ) nghịch biến ¡ 1− 2x 1 1  < ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪  ; +∞ ÷ Do f  ÷ > f ( ) ⇔ < ⇔ x x x 2  Bài tập Bất phương trình x + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Tổng a + b có giá trị A −2 C B D Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Xét f ( x ) = x + x + x + 16 − − x đoạn [ −2; 4] Có f ′ ( x ) = ( x + x + 1) x + 3x + x + 16 + , ∀x ∈ ( −2; ) , hàm số đồng biến [ −2; 4] 4− x Trang 30 Bất phương trình cho ⇔ f ( x ) ≥ f ( 1) = ⇔ x ≥ So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S = [ 1; 4] ⇒ a + b = m Bài tập Cho f ( x ) = x + x − Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( x ) ) = x có nghiệm đoạn [ 1; 4] A B C 21 D 22 Hướng dẫn giải Chọn C t = f ( x ) ⇒ f ( t ) + t = f ( x ) + x (1) Đặt t = f ( x ) ⇒   f ( t) = x m Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u = u + 2u − có g ′ ( u ) = 3u + > , ∀u ∈ ¡ m Do ( 1) ⇔ t = x ⇔ f ( x ) = x ⇔ x = (2) Phương trình f ( f ( x ) ) = x có nghiệm đoạn [ 1; 4] ⇔ ( ) có nghiệm đoạn [ 1; 4] ⇔ 13 ≤ 2m ≤ 43 ⇒ m ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6} Tổng giá trị ( + + + + + ) = 21 Bài tập Cho hàm số f ( x ) = x + x − 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + m = x − m có nghiệm đoạn [ 1; 2] ? A 15 C 17 B 16 D 18 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = f ( x ) + m ⇒ f ( x ) = t − m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình  f ( t ) = x3 − m ⇒ f ( t ) + t = f ( x ) + x (1)   f ( x) = t − m Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u = u + 4u − 4m ⇒ g ′ ( u ) = 5u + 12u > 0, ∀u ∈ [ 1; 2] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [ 1; 2] Do ( 1) ⇔ t = x ⇔ f ( x ) = x − m ⇔ x + x = 3m (2) Với x ∈ [ 1; 2] ,3 ≤ x + x ≤ 48 ⇒ Phương trình (2) có nghiệm đoạn [ 1; 2] ⇔ ≤ 3m ≤ 48 ⇔ ≤ m ≤ 16 Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m + m + 2sin x = sin x có nghiệm thực? Trang 31 A C B D Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện sin x ≥ Ta có m + m + 2sin x = sin x ⇔ m + m + 2sin x = sin x ⇔ m + 2sin x + m + 2sin x = sin x + 2sin x (1) Xét hàm số f ( t ) = t + 2t f ′ ( t ) = 2t + > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) Phương trình ( 1) ⇔ f ( ) m + 2sin x = f ( sin x ) ⇔ m + 2sin x = sin x ⇔ sin x − 2sin x = m Đặt sin x = t ⇒ t ∈ [ 0;1] Phương trình cho có nghiệm phương trình t − 2t = m có nghiệm [ 0;1] Xét hàm số g ( t ) = t − 2t , t ∈ [ 0;1] Ta có g ′ ( t ) = 2t − 2; g ′ ( t ) = ⇔ t = g ( t ) = 0; g ( t ) = −1 Suy max [ 0;1] [ 0;1] Do phương trình có nghiệm −1 ≤ m ≤ Mà m ∈ ¢ nên m = 0; m = −1 Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ , có đồ thị hình vẽ Có giá trị tham số m để phương trình 9m3 + m 3f ( x) + = f ( x ) + có nghiệm thực phân biệt? A B C D Hướng dẫn giải Trang 32 Chọn B Phương trình ⇔ 27 m3 + 3m = ( f ( x ) + ) f ( x ) + ⇔ ( 3m ) + 3m = ⇔ g ( 3m ) = g ( ( ) 3 f ( x) + + f ( x) + ) f ( x ) + (1) Xét hàm số g ( t ) = t + t ⇒ g ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡  9m − 3m ≥  f ( x) = ( 2)   ⇔ f x + = m ⇔ ⇔ ( ) Do ( )  9m −  9m −  f ( x ) = f x = − ( ) ( 3)   Dựa vào hình vẽ phương trình (3) vơ nghiệm (vì f ( x ) > 0, ∀x ) Do để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ ( ) có ba nghiệm phân biệt hay  9m −  = m =   ⇔  9m −  =1   m =  35 11 Trang 33 ... hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập Cho hàm số f ( x ) = ( − x ) 2 019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) C Hàm. .. tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ f ′ ( x ) = x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng A ( 1; +∞ )... mãn Bài tập Cho hàm số y = ( 8m3 − 1) x − x3 + ( 2m − ) x − 12 x + 2 018 với m tham số Số giá trị  ? ?1 ? ?1  nguyên m thuộc đoạn [ −2 018 ; 2 018 ] để hàm số cho đồng biến  ;  2 4 A 2 016 B 2 019