BÀI 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K * Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Nhận xét: - Hàm số f ( x ) đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải * Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Nhận xét: Hàm số f ( x ) nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Định lý Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số khơng đổi khoảng K Định lí đảo Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y = f ( x ) Phương pháp giải Thực bước sau: Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′ ( x ) Bước Tìm giá trị x mà f ′ ( x ) = giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập Cho hàm số f ( x ) = ( − x ) 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) C Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) D Hàm số nghịch biến ¡ Bài tập Cho hàm số f ( x ) = x + x + x + cos x Với hai số thực a, b cho a < b Khẳng định sau đúng? A f ( a ) = f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) C f ( a ) < f ( b ) D f ( a ) ≥ f ( b ) Bài tập Hàm số y = x − x − đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1;3) C ( 1; +∞ ) D ( 3; +∞ ) Dạng Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) cho hàm số y = f ′ ( x ) Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f ′ ( x ) = giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ f ′ ( x ) = x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng A ( 1; +∞ ) B ( −∞;0 ) ; ( 1; +∞ ) C ( 0;1) Bài tập Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) D ( −∞;1) ( x − 1) ( − x ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A ( −1;1) B ( 1; ) C ( −∞; −1) D ( 2; +∞ ) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( 0;3) có tính chất f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) f ′ ( x ) = , ∀x ∈ ( 1; ) Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số f ( x ) không đổi khoảng ( 1; ) C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 1;3) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;3) Dạng 3: Tìm tham số để hàm số đơn điệu tập xác định Phương pháp giải * Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ta thực theo bước sau Bước Tính y ′ = 3ax + 2bx + c (1) Bước Xét hai trường hợp Trường hợp 1: a = , thay trực tiếp vào (1) để xét Trường hợp 2: a ≠ , tính ∆′ = b − 3ac a < Hàm số nghịch biến ¡ ⇔   ∆′ = b − 3ac ≤ a > Hàm số đồng biến ¡ ⇔   ∆′ = b − 3ac ≤ Bước Kết luận (chọn đáp án) * Đối với hàm số y = ax + b ta thực theo bước sau cx + d  d Bước Tập xác định D = ¡ \ −   c Bước Tính y ′ = ad − bc ( cx + d ) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad − bc > Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ ad − bc < Bước Kết luận Bài tập: Bài tập Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −20; 2] để hàm số y = x − x + 3mx − đồng biến ¡ ? A 20 C B D 23 Bài tập Có giá trị nguyên m để hàm số y = ( m − 1) x + ( m − 1) x − x + nghịch biến khoảng ( −∞; +∞ ) A B C Bài tập Các giá trị tham số m để hàm số y = D mx + đồng biến khoảng xác định x +1 A m ≥ −1 B m > −1 C m > Bài tập Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = D m ≥ mx + nghịch biến x+m khoảng xác định A ( −∞; −1) B ( −1;1) C ( 1; +∞ ) D ( −∞;1) Dạng 4: Xét tính đơn điệu hàm số bậc cao, thức, lượng giác có chứa tham số Phương pháp giải Sử dụng kiến thức Điều kiện cần để y = ( x − a ) m +1 g ( x ) ( m∈¥ ) khơng đổi dấu x qua a g ( a ) = f ( x) = A Cho hàm số y = f ( x ) liên tục K K Khi bất phương trình f ( x ) ≥ m nghiệm với x ∈ K m ≤ A f ( x) = B Cho hàm số y = f ( x ) liên tục K max K Khi bất phương trình f ( x ) ≤ m nghiệm với x ∈ K m ≥ B Bài tập Bài tập Có giá trị tham số m để hàm số y = x + ( 3m − m ) x + ( m3 − 3m + 2m ) x + 2019 đồng biến ¡ A B C D Bài tập Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) = − m x − mx − ( m − m − 20 ) x + 2019 nghịch biến ¡ Tổng giá trị tất phần tử thuộc S A −4 C −1 B D Bài tập Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2018; 2018] để hàm số y = x + − mx − đồng biến ( −∞; +∞ ) A 2018 B 2019 C 2020 D 2017 Bài tập Tìm tất giá trị m ∈ ¡ để hàm số y = sin x + cos x + mx đồng biến ¡ A − ≤ m ≤ B − < m < C m ≥ D m > Dạng Xét tính đơn điệu hàm số trên khoảng cho trước Phương pháp giải * Đối với hàm số y = ax + bx + cx + d Giả sử phương trình y = ax + bx + c ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 Ta nhắc lại mối liên hệ nghiệm tam thức bậc hai Khi x1 < α < x2 ⇔ af ( α ) <  x + x > 2α α ≤ x1 < x2 ⇔  ( x1 − α ) ( x2 − α ) ≥  x + x < 2β x1 < x2 ≤ β ⇔  ( x1 − β ) ( x2 − β ) ≥  af ( α ) < x1 < α < β < x2 ⇔   af ( β ) < * Để hàm số y = f ( x; m ) = ax + bx + cx + d đơn điệu đoạn có độ dài k Thực theo bước sau Bước Tính y ′ = f ′ ( x; m ) = 3ax + 2bx + c Bước Hàm số đơn điệu ( x1 ; x2 ) ⇔ y ′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ { ∆>0 a≠0 −b   x1 + x2 = a Theo định lý Vi-ét  c  x1 x2 = a  Bước Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài k ⇔ x1 − x2 = k ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = k 2 Bước Giải điều kiện để suy giá trị m cần tìm * Hàm số y = ax + b đơn điệu khoảng ( α ; β ) cho trước cx + d Thực theo bước sau Bước Hàm số xác định  d − ≤ α d ( α ; β ) ⇔ − ≠ ( α ; β ) ⇔  dc c − ≥ β  c Bước Tính y ′ = ad − bc ( cx + d ) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad − bc > Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ ad − bc < Bước Kết luận Bài tập Bài tập Các giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) A m < B m ≤ C m < D m > Bài tập Các giá trị thực tham số m để hàm số y = − x + ( m − 1) x + ( m + 3) x − 10 đồng biến khoảng ( 0;3) A m ≥ 12 B m < 12 C m ∈ ¡ D m > 12 Bài tập Các giá trị thực tham số m để f ( x ) = − x + x + ( m − 1) x + 2m − khoảng có độ dài lớn A m ≥ C − B m ≤ < m < D m > − Bài tập Các giá trị thực tham số m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x + nghịch biến khoảng có độ dài lớn A m > B m ∈ ( 0;6 ) C m < D m < 0; m > Bài tập Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = x+3 nghịch biến khoảng x + 4m ( 2; +∞ ) ? B A C vô số D Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+2 đồng biến x + 5m khoảng ( −∞; −10 ) ? A B Vô số D C Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = mx − nghịch biến m−x khoảng ( −3;1) ? B A C Bài tập Các giá trị thực tham số m để hàm số y = D cos x + nghịch biến khoảng cos x − m  π  0; ÷  3 A m ∈ ( −3;1] ∪ [ 2; +∞ ) B m ∈ ( −3; +∞ ) C m ∈ ( −∞; −3) D m ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 2; +∞ ) Dạng 6: Phương pháp cô lập tham số m, phương pháp hàm số Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Tính y ′ = f ′ ( x ) Bước Chuyển tốn tìm tham số bất phương trình nghiệm với x ∈ D Hàm số đồng biến D ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D , dấu hữu hạn điểm Hàm số nghịch biến D ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D , dấu hữu hạn điểm Bước Kết luận (chọn đáp án) Bài tập Bài tập Có giá trị ngun khơng âm tham số m cho hàm số y = − x + ( 2m − 3) x + m nghịch biến đoạn [ 1; 2] ? A C B Vô số D Bài tập Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x + mx − đồng biến 2x khoảng ( 0; +∞ ) ? A C B Bài tập Cho hàm số y = D 8m3 − 1) x − x + ( 2m − ) x − 12 x + 2018 với m tham số Số (  −1 −1  giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −2018; 2018] để hàm số cho đồng biến  ;  2 4 A 2016 B 2019 C 2010 D 2015 Bài tập Cho hàm số y = x − mx + Gọi S tập hợp số tự nhiên m cho hàm số đồng biến [ 1; +∞ ) Tổng phần tử S A C B D 10 Dạng Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … biết bảng biến thiên hàm số Phương pháp giải Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) ± h′ ( x ) Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y ′ ≥ 0, y ′ ≤ Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x) ) ± h ( x) … Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau −∞ x f ′( x) + −2 − 0 + − +∞ Hàm số y = f ( x + x ) đồng biến khoảng đây? A ( 1; +∞ ) B ( −3; −2 ) C ( 0;1) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm f ′ ( x ) sau D ( −2;0 ) Hàm số y = g ( x ) = f ( − x + ) + x + 3x − x − nghịch biến khoảng sau đây? A ( −2;1) B ( 2; +∞ ) C ( 0; ) D ( −∞; −2 ) Dạng 8: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) biết đồ thị hàm số y = f ( x ) Phương pháp giải Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = f ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định hàm số y = f ( x ) (nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ ) Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y ′ ≥ 0, y ′ ≤ Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b, c , d ∈ ¡ ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số y = g ( x ) = f ( x − 1) Hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng A ( −1;0 ) B ( −8; −1) C ( 1; ) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d y = g ( x ) = f ( x2 + x + 2) Chọn khẳng định khẳng định sau ( a , b, c , d ∈ ¡ ) D ( 0;1) có đồ thị hình bên Đặt A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 )   C g ( x ) nghịch biến khoảng  − ;0 ÷   D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Bài tập Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d y = g ( x ) = − f ( mx + 1) , m > có đồ thị hình vẽ Hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảngcó độ dài Giá trị m A B C D Dạng 9: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Phương pháp giải Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) ± h′ ( x ) Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) xác định nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≥ nghiệm bất phương trình f ′ ( x ) ≤ Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y ′ ≥ 0, y ′ ≤ Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x) ) ± h ( x) … Bài tập Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y = g ( x ) = f ( − x ) nghịch biến khoảng 10 hình vẽ Hàm số A ( −∞; −1) B ( 2; +∞ ) C ( 0; ) D ( 1;3) Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) + A ( 2;3) 2019 − 2018 x khoảng đây? 2018 B ( 0;1) C ( −1;0 ) D ( 1; ) Bài tập Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết hai hàm số f ( x − 1) g ( ax + b ) có khoảng nghịch biến ( m; n ) , m, n ∈ ¥ Khi giá trị biểu thức ( 4a + b ) A B −2 C −4 11 D Dạng 10 Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình, tìm điều kiện có nghiệm phương trình Phương pháp giải * Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D, ta có Với u , v ∈ D mà f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v Nhận xét: f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x = x0 Do phương trình f ( x ) = có nhiều nghiệm * Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) tập D , ta có Với u , v ∈ D : f ( u ) ≥ f ( v ) ⇔ u ≥ v Với u , v ∈ D : f ( u ) ≤ f ( v ) ⇔ u ≤ v f ( x ) = A , max = B phương trình f ( x ) = g ( m ) có * Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục có D D nghiệm thuộc tập hợp D ⇔ A ≤ g ( m ) ≤ B Bài tập Bài tập Biết phương trình 27 x − 23 x + = 26 x − có nghiệm thực dương x = a c + b d với b, c, d số nguyên tố Khẳng định A ( a + d ) = b + c + B ( a + d ) = b + c − C ( a + d ) = b + c − D ( a + d ) = b + c + Bài tập Biết phương trình x − 12 x + 10 x − = ( 10 x + 1) 10 x − có nghiệm thực dương x= a+ b với a, b, c ∈ ¥ a, c số nguyên tố c Khẳng định A ( a + c ) = b + B ( a + c ) = b − C ( a + c ) = b − D ( a + c ) = b + Bài tập Biết phương trình x +1 − a+ b = , có nghiệm thực x = , với a, b, c ∈ ¥ 2x +1 − x + 2 c số nguyên tố Khẳng định A 2ac = b + B ac = b − C 2ac = b − D ac = b + 12 Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ Tất giá trị thực x để 1 f  ÷ > f ( ) x  1 A x ∈  0; ÷  2 1  B x ∈ ( −∞;0 ) ∪  ; +∞ ÷ 2  1  C x ∈  −∞; ÷ 2   1 D x ∈ ( −∞;0 ) ∪  0; ÷  2 Bài tập Bất phương trình x + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Tổng a + b có giá trị A −2 C B D m Bài tập Cho f ( x ) = x + x − Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( f ( x ) ) = x có nghiệm đoạn [ 1; 4] A B C 21 D 22 Bài tập Cho hàm số f ( x ) = x + x − 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( A 15 ) f ( x ) + m = x − m có nghiệm đoạn [ 1; 2] ? C 17 B 16 D 18 Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m + m + 2sin x = sin x có nghiệm thực? A C B D Bài tập Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ , có đồ thị hình vẽ Có giá trị tham số m để phương trình phân biệt? 13 9m3 + m 3f ( x) + = f ( x ) + có nghiệm thực A C B 14 D ... 2 018 với m tham số Số (  ? ?1 ? ?1  giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −2 018 ; 2 018 ] để hàm số cho đồng biến  ;  2 4 A 2 016 B 2 019 C 2 010 D 2 015 Bài tập Cho hàm số y = x − mx + Gọi S tập hợp số. .. tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ f ′ ( x ) = x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng A ( 1; +∞ )... hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) (chọn đáp án) Bài tập Bài tập Cho hàm số f ( x ) = ( − x ) 2 019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) C Hàm