BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ta thường vẽ hay biểu diễn mặt - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố cầu hay khối cầu hình sau: định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S ( O; R ) Khi S ( O; R ) = { M OM = R} - Khối cầu hay hình cầu S ( O; R ) tập hợp tất điểm M cho OM ≤ R Vị trí tương đối mặt cầu điểm Cho mặt cầu S ( O; R ) điểm A Nếu: +) OA = R điểm A nằm mặt cầu S ( O; R ) +) OA > R ta nói điểm A nằm mặt cầu S ( O; R ) +) OA < R ta nói điểm A nằm mặt cầu S ( O; R ) Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S ( I ; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu I lên ∆ hay d ( I ; ∆ ) = IH Nếu: +) IH > R : ∆ không cắt mặt cầu hay mặt cầu S ( I ; R ) đường thẳng ∆ khơng có điểm chung +) IH = R ∆ với mặt cầu S ( I ; R ) có điểm chung H Ta nói ∆ tiếp tuyến mặt cầu S ( I ; R ) H tiếp điểm +) IH < R : ∆ cắt mặt cầu S ( I ; R ) hai điểm phân biệt Trang 53 Nhận xét: +) ∆IAB cân I, điểm H trung điểm AB AB R = IH + AH = IH + ÷ 2 2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P ) hay d ( I ; ( P ) ) = IH Nếu: +) IH > R : Mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P) khơng có điểm chung +) Nếu IH = R : Mặt phẳng ( P) tiếp xúc mặt cầu S ( I ; R ) Lúc ta nói mặt phẳng ( P ) mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm Lưu ý: IH ⊥ ( P ) +) Nếu IH < R : Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I ′ ( I ′ ≡ H ) bán kính r = R − IH = R − I ′I Nhận xét: Đường tròn giao tuyến có diện tích lớn mặt phẳng ( P ) qua tâm I mặt cầu S ( I ; R ) Đường tròn ta gọi đường trịn lớn Cơng thức cần nhớ Cho mặt cầu S ( I ; R ) - Diện tích mặt cầu S = 4π R - Thể tích khối cầu V = π R B CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang 54 Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh hình đa diện - Trục đa giác: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác Mọi điểm nằm trục cách đỉnh đa giác ngược lại - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Mọi điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng cách hai điểm mút đoạn thẳng ngược lại Phương pháp giải Đối với tốn mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mấu chốt vấn đề phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp ta tính yếu tố cịn lại bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2a, 4a, 4a, với < a ∈ R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 6a B 4a C 3a D 2a Hướng dẫn giải Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Dễ thấy điểm O trung điểm AC’ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R = OA R= = = 1 AC ′ = 2 ( A′A ) + ( A′C ′ ) ( A′A) ( 2a ) + ( 4a ) + ( 4a ) = 3a + ( A′D′ ) + ( D′C ′ ) 2 2 Chọn C Bài tập mẫu Cách Tìm điểm cách đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD điểm I với A I trung điểm đoạn thẳng SD B I trung điểm đoạn thẳng AC C I trung điểm đoạn thẳng SC Trang 55 D I trung điểm đoạn thẳng SB Bài tập Cho khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp A V = 3π a B V = π a C V = π a3 D V = 3π a Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ ( ABCD ) SA = AB = a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a D a Bài tập Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2 B C 2 D Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông B Biết SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 3a B 2a C a D 6a Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B, AC = a 3, ·ACB = 30o Góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) 60° Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC A a 21 B a 21 C 3a D a 21 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (α) qua A M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Bài tập Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60° Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) 32π a A 81 32π a B 77 64π a C 77 72π a D 39 Bài tập Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a A 7π a B 7π a C 7π a D 3π a Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) AB = 2, AC = 4, SA = Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính A R = 25 B R = C R = D R = 10 Trang 56 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD B a A a C a D 2a Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60° Diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S mc = 25π a B S mc = 32π a C S mc = 8π a D S mc = a2 12 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ A R = a B R = a C R = a D R = a 10 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD, SH = a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? A 16π a B 16π a C 4π a D 4π a Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) Gọi M, N hình chiếu A SB, · SC Biết BAC = α , BC = a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN A π a2 cos α B π a2 sin α C 4π a2 cos α D 4π a2 sin α Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải tốn liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh A π 12 B π C 2π D π Hướng dẫn giải Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương tiếp xúc với mặt hình lập phương tâm hình vng mặt hình lập phương Suy bán kính R = 4 1 π Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương V = π R = π ÷ = 3 2 Trang 57 Chọn D Bài tập mẫu Bài tập Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V = 64π a B V = 8π a C V = 32π a D V = 16π a Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = 8, BC = Biết SA = SA vng góc với mp(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC A 16 π B 625 π 81 C 256 π 81 D 25 π Dạng Bài toán cực trị Phương pháp giải Tương tự toán cực trị hình nón, hình trụ ta thường đánh giá trực tiếp dựa vào hình biểu diễn hay quy đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào yếu tố sau đánh giá tìm đáp án Ví dụ: Cho mặt cầu bán kính R = 5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 8πcm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc ( S ) ( D ∉ ( C ) ) tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD A 20 3cm3 B 32 3cm3 C 60 3cm3 D 96 3cm3 Bài tập mẫu Bài tập Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) có tâm I bán kính 10 Các điểm A, B thay đổi thuộc ( S1 ) C, D thay đổi thuộc ( S ) cho có tứ diện ABCD Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng AB CD A 10 B C D Bài tập 2: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi S điểm thay đổi đường thẳng d, H trực tâm tam giác SBC Biết S thay đổi đường thẳng d điểm H nằm đường (C) Trong số mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ A a B a C a 12 D a Dạng Bài toán thực tế Phương pháp giải Nắm vững kiến thức dạng toán để giải toán thực tế liên quan đến mặt cầu EV0 = π 33 = 36π ( cm3 ) Trang 58 Bài tập: Người ta thả viên bi có dạng hình cầu với bán kính 3cm vào ly dạng hình trụ chứa nước Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly chiều cao mực nước dâng lên thêm 1cm Biết chiều cao mực nước ban đầu ly 7,5cm Tính thể tích V khối nước ban đầu ly (kết lấy xấp xỉ) A V = 282, 74cm3 B V = 848, 23cm3 C V = 636,17cm3 D V = 1272,35cm3 Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi với đôi tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm hình cầu mặt phẳng lập thành tam giác có cạnh 4, Tích bán kính ba hình cầu A 12 B C D Bài tập Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đông 40πcm (tham khảo hình vẽ) Độ dài đường xích đạo là: A 40 3π cm B 40π cm C 80π cm D 80π cm Bài tập Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68,5cm Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49,83cm2 Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A ≈ 40 (miếng da) B ≈ 20 (miếng da) C ≈ 35 (miếng da) D ≈ 30 (miếng da) Dạng Dạng toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình nón, hình trụ, hình cầu dạng toán để giải toán tổng hợp Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I đường kính AA', M trung điểm BC Khi quay tam giác ABM với nửa hình trịn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta khối nón khối cầu tích V1 V2 Tỷ số A B 49 C 27 32 V1 V2 D 32 Bài tập Trang 59 Bài tập Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, tích V1 hình cầu có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi tỉ số thể tích A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 V1 bao nhiêu? V2 D V1 = V2 Bài tập Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước 128π m Tính diện tích xung quanh bồn chứa nước theo đơn vị m2 A 48π m2 B 50π m2 C 40π m2 D 64π m2 Trang 60 ... ) ( D ∉ ( C ) ) tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD A 20 3cm3 B 32 3cm3 C 60 3cm3 D 96 3cm3 Bài tập mẫu Bài tập Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) có tâm I bán kính 10 Các điểm A, B thay... khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải tốn liên quan... mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN A π a2 cos α B π a2 sin α C 4π a2 cos α D 4π a2 sin α Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối